2.2 Övningar

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 5 juni 2007 kl. 06.32 (redigera)
KTH.SE:u1rp004j (Diskussion | bidrag)
(→Övning 2.2:2)
← Gå till föregående ändring		 Nuvarande version (19 juli 2007 kl. 10.30) (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(→Övning 2.2:4)
 
(31 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 5: Rad 5:
<tr align="left" valign="top"> <tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{(3x-1)^4}$ genom att använda substitution $u=3x-1$</td>+<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{(3x-1)^4}\quad$ genom att använda substitution $u=3x-1$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left" valign="top"> <tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int (x^2+3)^5x \, dx$ genom att använda substitution $u=x^2+3$</td>+<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int (x^2+3)^5x \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^2+3$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left" valign="top"> <tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \, dx$ genom att använda substitution $u=x^3$</td>+<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^3$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Facit till alla delfrågorna<br \>
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{13}{1000}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{(x^2+3)^6}{12}+C$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{1}{3}e^{\scriptstyle x^3}+C$</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_1a-1(3).gif]]<br\>[[Bild:2_2_1a-2(3).gif]]<br\>[[Bild:2_2_1a-3(3).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_1b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_2_1b-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_1c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
</div> </div>
Rad 35: Rad 99:
</tr> </tr>
</table> </table>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Facit till alla delfrågorna<br \>
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$0$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}(e^4-e^3)$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$14$</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3}{4}$</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_2a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_2_2a-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_2b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_2c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga d
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_2d.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
</div> </div>
Rad 42: Rad 183:
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \sin x\, dx$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2x \sin x^2\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \sin x \cos x\, dx$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx$</td>+<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{\ln x}{x}\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2+2x+2}\, dx$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{3x}{x^2+1}\, dx$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
 +</div>
 +
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Facit till alla delfrågorna<br \>
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$-\cos x^2+C$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{\sin^2x}{2}+C$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\frac{1}{2}(\ln x)^2+C$</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2x+2\right)+C$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$-2\cos\sqrt{x}+C$</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga d
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3d.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning e&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga e
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3e.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning f&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga f
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3f.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
</div> </div>
==Övning 2.2:4== ==Övning 2.2:4==
-<div class="ovning">Beräkna integralerna+<div class="ovning">Använd formeln $$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$$ för att beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \sin x\, dx$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4}$</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx$</td>+<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4x+8}$</td>
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{x^2}{x^2 +1}\, dx$</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Facit till alla delfrågorna<br \>
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt3}\right)+C$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right)+C$</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$x-\arctan x + C$</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_4a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_4b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_2_4b-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_4c-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_2_4c-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga d
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_4d.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
</div> </div>

Nuvarande version

Innehåll

[redigera] Övning 2.2:1

Beräkna integralerna

a) $\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{(3x-1)^4}\quad$ genom att använda substitution $u=3x-1$
b) $\displaystyle \int (x^2+3)^5x \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^2+3$
c) $\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^3$
Facit 

Facit till alla delfrågorna

a) $\displaystyle\frac{13}{1000}$
b) $\displaystyle\frac{(x^2+3)^6}{12}+C$
c) $\displaystyle\frac{1}{3}e^{\scriptstyle x^3}+C$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_2_1a-1(3).gif
Bild:2_2_1a-2(3).gif
Bild:2_2_1a-3(3).gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_2_1b-1(2).gif
Bild:2_2_1b-2(2).gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:2_2_1c.gif

[redigera] Övning 2.2:2

Beräkna integralerna
a) $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos 5x\, dx$ b) $\displaystyle\int_{0}^{1/2} e^{2x+3}\, dx$
c) $ \displaystyle\int_{0}^{5} \sqrt{3x + 1} \, dx$ d) $\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[\scriptstyle3]{1 - x}\, dx$
Facit 

Facit till alla delfrågorna

a) $0$ b) $\displaystyle\frac{1}{2}(e^4-e^3)$
c) $14$ d) $\displaystyle\frac{3}{4}$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_2_2a-1(2).gif
Bild:2_2_2a-2(2).gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_2_2b.gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:2_2_2c.gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:2_2_2d.gif

[redigera] Övning 2.2:3

Beräkna integralerna
a) $\displaystyle\int 2x \sin x^2\, dx$ b) $\displaystyle\int \sin x \cos x\, dx$
c) $ \displaystyle\int \displaystyle\frac{\ln x}{x}\, dx$ d) $\displaystyle\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2+2x+2}\, dx$
e) $ \displaystyle\int \displaystyle\frac{3x}{x^2+1}\, dx$ f) $\displaystyle\int \displaystyle\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$


Facit 

Facit till alla delfrågorna

a) $-\cos x^2+C$ b) $\displaystyle\frac{\sin^2x}{2}+C$
c) $\frac{1}{2}(\ln x)^2+C$ d) $\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2x+2\right)+C$
e) $\displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C$ f) $-2\cos\sqrt{x}+C$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_2_3a.gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_2_3b.gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:2_2_3c.gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:2_2_3d.gif

Lösning e 

Lösning till delfråga e

Bild:2_2_3e.gif

Lösning f 

Lösning till delfråga f

Bild:2_2_3f.gif

[redigera] Övning 2.2:4

Använd formeln $$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$$ för att beräkna integralerna
a) $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4}$ b) $\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}$
c) $ \displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4x+8}$ d) $\displaystyle\int \frac{x^2}{x^2 +1}\, dx$
Facit 

Facit till alla delfrågorna

a) $\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C$ b) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt3}\right)+C$
c) $\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right)+C$ d) $x-\arctan x + C$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_2_4a.gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_2_4b-1(2).gif
Bild:2_2_4b-2(2).gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:2_2_4c-1(2).gif
Bild:2_2_4c-2(2).gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:2_2_4d.gif

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/2.2_%C3%96vningar
Personliga verktyg