Övn 1
Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.02 (redigera) KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag) (→Övning 1.2:4) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (30 juni 2007 kl. 21.52) (redigera) (ogör) KTH.SE:u1m1gion (Diskussion | bidrag) (→Övning 1.3:1 - Lade till "... för funktionerna som beskrivs i graferna nedan". /Johan T) |
||
| (11 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 285: | Rad 285: | ||
| ==Övning 1.3:1== | ==Övning 1.3:1== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Bestäm kritiska punkter, terasspunkter, lokala extrempunkter och globala extrempunkter. Ange också de intervall där funktionen är strängt växande respektive strängt avtagande. | + | Bestäm kritiska punkter, terasspunkter, lokala extrempunkter och globala extrempunkter för funktionerna som beskrivs i graferna nedan. Ange också de intervall där funktionen är strängt växande respektive strängt avtagande. |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| - | <tr align="left"> | + | <tr align="left"> |
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a)</td> |
| - | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1a.gif]]</td> | + | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1a.gif]]</td> |
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b)</td> |
| - | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1b.gif]]</td> | + | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1b.gif]]</td> |
| - | </tr> | + | </tr> |
| - | <tr align="left"> | + | <tr align="left"> |
| - | <td class="ntext">c)</td> | + | <td class="ntext">c)</td> |
| - | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1c.gif]]</td> | + | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1c.gif]]</td> |
| - | <td class="ntext">d)</td> | + | <td class="ntext">d)</td> |
| - | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1d.gif]]</td> | + | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1d.gif]]</td> |
| - | </tr> | + | </tr> |
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | + | <tr><td height="5px"/></tr> |
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
| - | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | + | <table width="100%" cellspacing="5px"> |
| - | <div class=NavContent> | + | <tr align="left"> |
| - | Lösning till delfråga a) | + | <td class="ntext">a)</td> |
| - | <table width="100%"> | + | <td class="ntext">Kritiska punkter</td> |
| - | <tr> | + | <td> </td> |
| - | <td align="center"> | + | <td class="ntext" width="100%">$x=0$</td> |
| - | [[Bild:1_3_1a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1a-2(2).gif]] | + | </tr> |
| - | </td> | + | <tr align="left"> |
| - | </tr> | + | <td class="ntext"></td> |
| + | <td class="ntext">Terasspunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">saknas</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Lokala extrempunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=0$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Globala extrempunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=0$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Strängt växande</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x\ge 0$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Strängt avtagande</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x\le 0$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext">Kritiska punkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=-1$, $x=1$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Terasspunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">saknas</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Lokala extrempunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=-3$, $x=-1$, $x=1$, $x=3$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Globala extrempunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=-3$, $x=3$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Strängt växande</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$-3\le x\le -1$ och $1\le x\le 3$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Strängt avtagande</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$-1\le x\le 1$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext">Kritiska punkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=-2$, $x=-1$, $x=\frac{1}{2}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Terasspunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=-1$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Lokala extrempunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=-3$, $x=-2$, $x=\frac{1}{2}$, $x=2$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Globala extrempunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=\frac{1}{2}$, $x=2$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Strängt växande</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$-2\le x\le \frac{1}{2}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Strängt avtagande</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$-3\le x\le -2$ och $\frac{1}{2}\le x\le 2$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext">Kritiska punkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=-\frac{5}{2}$, $x=\frac{1}{2}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Terasspunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">saknas</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Lokala extrempunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=-\frac{5}{2}$, $x=-\frac{4}{5}$, $x=-\frac{1}{2}$, $x=\frac{1}{2}$, $x=2$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Globala extrempunkter</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$x=-\frac{5}{2}$, $x=-\frac{4}{5}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Strängt växande</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$-\frac{5}{2}\le x\le -\frac{4}{5}$ och $-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext"></td> | ||
| + | <td class="ntext">Strängt avtagande</td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$-3\le x\le -\frac{5}{2}$, $-\frac{4}{5}\le x\le -\frac{1}{2}$ och $\frac{1}{2}\le x\le 2$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga b) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_1b-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1b-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1b-3(3).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga c) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_1c-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1c-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1c-3(3).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning d) </DIV> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga d) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_1d-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1d-2(2).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 380: | Rad 476: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
| - | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
| - | <div class=NavContent> | + | |
| - | Facit till alla delfrågor | + | |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left" valign="top"> | <tr align="left" valign="top"> | ||
| Rad 400: | Rad 493: | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga a) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_2a-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2a-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2a-3(3).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga b) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_2b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2b-2(2).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga c) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_2c-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2c-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2c-3(3).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning d) </DIV> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga d) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_2d-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2d-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2d-3(3).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 484: | Rad 519: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
| - | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
| - | <div class=NavContent> | + | |
| - | Facit till alla delfrågor | + | |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left" valign="top"> | <tr align="left" valign="top"> | ||
| Rad 509: | Rad 541: | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga a) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_3a-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_3a-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_3a-3(3).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga b) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_3b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_3_3b-2(2).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga c) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_3c.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning d) </DIV> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga d) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_3d.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning e) </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga e) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_3e.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 589: | Rad 549: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
| - | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
| - | <div class=NavContent> | + | |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| Rad 599: | Rad 557: | ||
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_4.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| ==Övning 1.3:5== | ==Övning 1.3:5== | ||
| Rad 621: | Rad 564: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
| - | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
| - | <div class=NavContent> | + | |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| Rad 630: | Rad 571: | ||
| <tr><td height="5px"/>$\alpha=\pi/6$</tr> | <tr><td height="5px"/>$\alpha=\pi/6$</tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_5.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 651: | Rad 578: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
| - | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
| - | <div class=NavContent> | + | |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| Rad 660: | Rad 585: | ||
| <tr><td height="5px"/>radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ </tr> | <tr><td height="5px"/>radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ </tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_6.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 681: | Rad 592: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
| - | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
| - | <div class=NavContent> | + | |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| Rad 690: | Rad 599: | ||
| <tr><td height="5px"/>Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort.</tr> | <tr><td height="5px"/>Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort.</tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_7.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
Nuvarande version
[redigera] Övning 1.1:1
Grafen till $f(x)$ är ritad i figuren. BILD
| a) | Vilket tecken har $f'(-4)$ respektive $f'(1)$? |
| b) | För vilka $x$-värden är $f'(x)=0$? |
| c) | I vilket eller vilka intervall är $f'(x)$ negativ? |
| a) | $f'(-4)>0, \,\,\,\, f'(1)<0$ |
| b) | $x=-3$ och $x=2$ |
| c) | $-3\le x \le 2$ |
[redigera] Övning 1.1:2
Bestäm $f'(x)$ om
| a) | $f(x) = x^2 -3x +1$ | b) | $f(x)=\cos x -\sin x$ | c) | $f(x)= e^x-\ln x$ |
| d) | $f(x)=\sqrt{x}$ | e) | $f(x) = (x^2-1)^2$ | f) | $f(x)= \cos (x+\pi/3)$ |
| a) $f'(x)=2x-3$ |
| b) $f'(x)=-\sin x -\cos x$ |
| c) $f'(x)=e^x-\displaystyle\frac{1}{x}$ |
| d) $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}$ |
| e) $f'(x)=4x(x^2-1)$ |
| f) $f'(x)=-\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ |
[redigera] Övning 1.1:3
En liten boll som släpps från höjden $h=10$m ovanför marken vid tidpunkten $t=0$, har vid tiden $t$ (mätt i sekunder) höjden $h(t)=10-\displaystyle\frac{9,\!82}{2}\,t^2$. Vilken fart har bollen när den slår i backen?
| $14{,}0\,$ m/s |
[redigera] Övning 1.1:4
Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan $y=x^2$ i punkten $(1,1)$.
|
Tangentens ekvation: $\ y=2x-1$ |
[redigera] Övning 1.1:5
Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$.
| $\bigl(1-\sqrt2, -3+2\sqrt2\bigr)\,$ och $\,\bigl(1+\sqrt2, -3-2\sqrt2\bigr)$ |
[redigera] Övning 1.2:1
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $\cos x \cdot \sin x$ | b) | $x^2\ln x$ | c) | $\displaystyle\frac{x^2+1}{x+1}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ | e) | $\displaystyle\frac{x}{\ln x}$ | f) | $\displaystyle\frac{x \ln x}{\sin x}$ |
| a) | $\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$ | b) | $2x\ln x+ x$ | c) | $\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=1-\frac{2}{(x+1)^2}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$ | e) | $\displaystyle\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{(\ln x)^2}$ | f) | $\displaystyle \frac{\ln x + 1}{\sin x}-\frac{x\ln x \cos x}{\sin^2x}$ |
[redigera] Övning 1.2:2
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $ \sin x^2$ | b) | $e^{x^2+x}$ | c) | $\sqrt{\cos x}$ |
| d) | $\ln \ln x$ | e) | $x(2x+1)^4$ | f) | $\cos \sqrt{1-x}$ |
| a) | $\cos x^2 \cdot 2x$ | b) | $e^{x^2+x}(2x+1)$ | c) | $\displaystyle - \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{1}{x\ln x}$ | e) | $(2x+1)^3(10x+1)$ | f) | $\displaystyle\frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}$ |
[redigera] Övning 1.2:3
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $ \ln (\sqrt{x} + \sqrt{x+1})$ | b) | $\sqrt{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$ | c) | $\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$ |
| d) | $\sin \cos \sin x$ | e) | $e^{\sin x^2}$ | f) | $x^{\tan x}$ |
| a) | $\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ | b) | $\displaystyle - \frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}$ | c) | $\displaystyle - \frac{1-2x^2}{x^2(1-x^2)^{3/2}}$ |
| d) | $-\cos\cos\sin x \cdot \sin\sin x \cdot \cos x$ | e) | $e^{\sin x^2}\cdot \cos x^2 \cdot 2x$ | f) | $\displaystyle x^{\tan x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2x}+\frac{\tan x}{x}\Bigr)$ |
[redigera] Övning 1.2:4
Beräkna andraderivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $ \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ | b) | $x ( \sin \ln x +\cos \ln x )$ |
| a) | $\displaystyle\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}$ | b) | $\displaystyle - \frac{2\sin \ln x}{x}$ |
[redigera] Övning 1.3:1
Bestäm kritiska punkter, terasspunkter, lokala extrempunkter och globala extrempunkter för funktionerna som beskrivs i graferna nedan. Ange också de intervall där funktionen är strängt växande respektive strängt avtagande.
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
d) |  |
| a) | Kritiska punkter | $x=0$ | |
| Terasspunkter | saknas | ||
| Lokala extrempunkter | $x=0$ | ||
| Globala extrempunkter | $x=0$ | ||
| Strängt växande | $x\ge 0$ | ||
| Strängt avtagande | $x\le 0$ | ||
| b) | Kritiska punkter | $x=-1$, $x=1$ | |
| Terasspunkter | saknas | ||
| Lokala extrempunkter | $x=-3$, $x=-1$, $x=1$, $x=3$ | ||
| Globala extrempunkter | $x=-3$, $x=3$ | ||
| Strängt växande | $-3\le x\le -1$ och $1\le x\le 3$ | ||
| Strängt avtagande | $-1\le x\le 1$ | ||
| c) | Kritiska punkter | $x=-2$, $x=-1$, $x=\frac{1}{2}$ | |
| Terasspunkter | $x=-1$ | ||
| Lokala extrempunkter | $x=-3$, $x=-2$, $x=\frac{1}{2}$, $x=2$ | ||
| Globala extrempunkter | $x=\frac{1}{2}$, $x=2$ | ||
| Strängt växande | $-2\le x\le \frac{1}{2}$ | ||
| Strängt avtagande | $-3\le x\le -2$ och $\frac{1}{2}\le x\le 2$ | ||
| d) | Kritiska punkter | $x=-\frac{5}{2}$, $x=\frac{1}{2}$ | |
| Terasspunkter | saknas | ||
| Lokala extrempunkter | $x=-\frac{5}{2}$, $x=-\frac{4}{5}$, $x=-\frac{1}{2}$, $x=\frac{1}{2}$, $x=2$ | ||
| Globala extrempunkter | $x=-\frac{5}{2}$, $x=-\frac{4}{5}$ | ||
| Strängt växande | $-\frac{5}{2}\le x\le -\frac{4}{5}$ och $-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$ | ||
| Strängt avtagande | $-3\le x\le -\frac{5}{2}$, $-\frac{4}{5}\le x\le -\frac{1}{2}$ och $\frac{1}{2}\le x\le 2$ | ||
[redigera] Övning 1.3:2
Bestäm lokala extrempunkter och skissera funktionsgrafen till
| a) | $f(x)= x^2 -2x+1$ | b) | $f(x)=2+3x-x^2$ |
| c) | $f(x)= 2x^3+3x^2-12x+1$ | d) | $f(x)=x^3-9x^2+30x-15$ |
| a) | $x=1\,$ (lokal minimipunkt) | b) | $x=\frac{3}{2}\,$ (lokal maximipunkt) |
| c) | $x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt) |
d) | lokal extrempunkt saknas |
[redigera] Övning 1.3:3
Bestäm alla lokala extrempunkter till
| a) | $f(x)=-x^4+8x^3-18x^2$ | b) | $f(x)=e^{-3x} +5x$ |
| c) | $f(x)= x\ln x -9$ | d) | $f(x)=\displaystyle\frac{1+x^2}{1+x^4}$ |
| e) | $f(x)=(x^2-x-1)e^x$ då $-3\le x\le 3$ | ||
| a) | $x=0\,$ (lokal maximipunkt) | b) | $x=-\frac{1}{3}\ln\frac{5}{3}\,$ (lokal minimipunkt) |
| c) | $x=1/e\,$ (lokal minimipunkt) | d) | $x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt) $x=0\,$ (lokal minimipunkt) $x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt) |
| e) | $x=-3\,$ (lokal minimipunkt) $x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt) $x=3\,$ (lokal maximipunkt) |
||
[redigera] Övning 1.3:4
Var på kurvan $y=1-x^2$ i första kvadranten ska punkten $P$ väljas för att rektangeln i figuren till höger ska ha maximal area?
| Svar |
| $P = \bigl(1/\sqrt{3},2/3\bigr)$ |
[redigera] Övning 1.3:5
En $30$ cm bred pilt ska användas för att tillverka en ränna. Parallellt med plåtens långsidor viks kanterna upp enligt figuren. Hur stor ska vinkeln $\alpha$ vara för att ränna ska rymma så mycket vatten som möjligt?
| Svar |
| $\alpha=\pi/6$ |
[redigera] Övning 1.3:6
En plåtmugg som har formen av en rät cirkulär cylinder ska tillverkas. Vilken radie och höjd ska muggen ha om man vill att den har en bestämd volym $V$ samtidigt som man använder så lite plåt som möjligt.
| Svar |
| radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ |
[redigera] Övning 1.3:7
Ur en cirkulär skiva skärs en cirkelsektor bort och de två radiella kanter som uppstår fästs ihop så att man får en konformad strut. Hur stor vinkel ska den borttagna cirkelsektorn ha för att konen ska få maximal volym?
| Svar |
| Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort. |
