3.4 Övningar
Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 28 juni 2007 kl. 14.22 (redigera) KTH.SE:u1rp004j (Diskussion | bidrag) (→Övning 2.5:7) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (24 juli 2007 kl. 12.54) (redigera) (ogör) Mikael (Diskussion | bidrag) |
||
| (6 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| ==Övning 3.4:1== | ==Övning 3.4:1== | ||
| - | <div class="ovning">Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde | + | <div class="ovning">Utför följande polynomdivisioner (alla går inte jämnt ut) |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}$</td> |
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$</td> |
| <td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a}$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a}$</td> |
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">d)</td> | <td class="ntext">d)</td> | ||
| <td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{x^3 +x+2}{x+1}$</td> | <td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{x^3 +x+2}{x+1}$</td> | ||
| - | </tr> | ||
| <td class="ntext">e)</td> | <td class="ntext">e)</td> | ||
| <td class="ntext" >$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1}$</td> | <td class="ntext" >$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1}$</td> | ||
| - | mplexa talen $1+i, 3+2i$ och $3i$ bil<tr align="left"> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| Rad 22: | Rad 22: | ||
| <div class=NavHead>Facit </div> | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Facit till alla delfrågorna<br \> | + | Facit till alla delfrågor<br \> |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="33%">$0$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$x+1$</td> |
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="33%">$0$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x-1+\frac{1}{x+1}$</td> |
| <td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="33%">$ 0 $</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$x^2-ax+a^2$</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">d)</td> | <td class="ntext">d)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">$0$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$x^2-x+2$</td> |
| <td class="ntext">e)</td> | <td class="ntext">e)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">$0$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x-1+\frac{2x+2}{x^2+3x+1}$</td> |
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_1a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_1b.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_1c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning d </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga d | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_1d.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning e </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga e | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_1e.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| Rad 44: | Rad 114: | ||
| ==Övning 3.4:2== | ==Övning 3.4:2== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Ekvationen $z^3-3z^2+4z-2=0$ har roten $z=1$. Bestäm övriga rötter. | + | Ekvationen $\,z^3-3z^2+4z-2=0\,$ har roten $\,z=1\,$. Bestäm övriga rötter. |
| </div> | </div> | ||
| Rad 50: | Rad 120: | ||
| <div class=NavHead>Facit </div> | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Facit till alla delfrågorna<br \> | + | Facit till alla delfrågor<br \> |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext"> | <td class="ntext"> | ||
| - | $ z = \left\{ \begin{matrix} 1+i \\ 1-i \end{matrix} \right.$ | + | $ z = \Bigl\{\eqalign{&1+i\cr &1-i}$ |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 61: | Rad 131: | ||
| </div> | </div> | ||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning </div> | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_2.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| ==Övning 3.4:3== | ==Övning 3.4:3== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Ekvationen $z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0$ har roten $z=2i$ och $z=-1+i$. Lös ekvationen. | + | Ekvationen $\,z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0\,$ har rötterna $\,z=2i\,$ och $\,z=-1-i\,$. Lös ekvationen. |
| </div> | </div> | ||
| Rad 70: | Rad 150: | ||
| <div class=NavHead>Facit </div> | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Facit till alla delfrågorna<br \> | + | Facit till alla delfrågor<br \> |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext"> | <td class="ntext"> | ||
| - | $z = \left\{ \begin{matrix} -2i \\ -1-i \\ 2i \\ 1+i \end{matrix} \right.$ | + | $z = \left\{\begin{matrix}-1+i\cr -1-i\cr \phantom{-}2i\cr -2i\end{matrix}\right.$ |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning </div> | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_3.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| ==Övning 3.4:4== | ==Övning 3.4:4== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Bestäm två reella tal $a$ och $b$ så att ekvationen $z^3+az+b=0$ har roten $z=1-2i$. Lös sedan ekvationen. | + | Bestäm två reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^3+az+b=0\ $ har roten $\,z=1-2i\,$. Lös sedan ekvationen. |
| </div> | </div> | ||
| Rad 89: | Rad 180: | ||
| <div class=NavHead>Facit </div> | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Facit till alla delfrågorna<br \> | + | Facit till alla delfrågor<br \> |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext"> | <td class="ntext"> | ||
| - | $ \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 10 \end{matrix} \right.$ | + | Välj $\,a=1\,$ och $\,b=10\,$. Lösningarna är $\ z = \left\{ \begin{matrix} 1-2i \\ 1+2i \\ -2 \end{matrix} \right.$ |
| - | </td> | + | |
| - | <td class="ntext"> | + | |
| - | $ z = \left\{ \begin{matrix} 1-2i \\ 1+2i \\ -2 \end{matrix} \right.$ | + | |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning </div> | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_4.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| ==Övning 3.4:5== | ==Övning 3.4:5== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Bestäm $a$ och $b$ så att ekvationen $z^4-6z^2+az+b=0$ har en trippelrot. Lös sedan ekvationen. | + | Bestäm $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^4-6z^2+az+b=0\ $ har en trippelrot. Lös sedan ekvationen. |
| </div> | </div> | ||
| Rad 111: | Rad 210: | ||
| <div class=NavHead>Facit </div> | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Facit till alla delfrågorna<br \> | + | Facit till alla delfrågor<br \> |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext"> | <td class="ntext"> | ||
| - | $ \left\{ \begin{matrix} a = 8 \\ b = -3 \end{matrix} \right.$ | + | Två fall: |
| - | </td> | + | * Välj $\,a=8\,$ och $\,b=-3\,$. Lösningarna är $\,z=1\,$ (trippelroten) och $\,z=-3\,$. |
| - | <td class="ntext"> | + | * Välj $\,a=-8\,$ och $\,b=-3\,$. Lösningarna är $\,z=-1\,$ (trippelroten) och $\,z=3\,$. |
| - | $ z = \left\{ \begin{matrix} 1\\ -3 \\ \end{matrix} \right.$ | + | |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 125: | Rad 223: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 3.5:6== | + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> |
| + | <div class=NavHead>Lösning </div> | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_5.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 3.4:6== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Ekvationen $z^4+3z^3+z^2+18z-30=0$ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter. | + | Ekvationen $\ z^4+3z^3+z^2+18z-30=0\ $ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter. |
| </div> | </div> | ||
| Rad 133: | Rad 242: | ||
| <div class=NavHead>Facit </div> | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Facit till alla delfrågorna<br \> | + | Facit till alla delfrågor<br \> |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext"> | <td class="ntext"> | ||
| - | $ z = \left\{ \begin{matrix} i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{29}}{2} \\ -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{29}}{2} \end{matrix} \right.$ | + | $ z = \left\{ \begin{matrix} \phantom{-}i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{29} \\ -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{29} \end{matrix} \right.$ |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 144: | Rad 253: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 2.5:7== | + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> |
| + | <div class=NavHead>Lösning </div> | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_6.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 3.4:7== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| Bestäm polynom som har följande nollställen | Bestäm polynom som har följande nollställen | ||
| Rad 150: | Rad 270: | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">$1$ , $2$ och $4$</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$1\,$, $\,2\,$ och $\,4$</td> |
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">$-1+ i$ och $-1-i$</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$-1+ i\,$ och $\,-1-i$</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| Rad 160: | Rad 280: | ||
| <div class=NavHead>Facit </div> | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Facit till alla delfrågorna<br \> | + | Facit till alla delfrågor<br \> |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">$(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$</td> | + | <td class="ntext" width="100%">$(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$</td> |
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">$(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $</td> | + | <td class="ntext" width="100%">$(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $</td> |
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_7a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td width="100%" align="center"> | ||
| + | [[Bild:3_4_7b.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
Nuvarande version
Innehåll |
[redigera] Övning 3.4:1
Utför följande polynomdivisioner (alla går inte jämnt ut)
| a) | $\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}$ | b) | $\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$ | c) | $\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{x^3 +x+2}{x+1}$ | e) | $\displaystyle \frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1}$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $x+1$ | b) | $\displaystyle x-1+\frac{1}{x+1}$ | c) | $x^2-ax+a^2$ |
| d) | $x^2-x+2$ | e) | $\displaystyle x-1+\frac{2x+2}{x^2+3x+1}$ |
Lösning a
Lösning till delfråga a
|
|
Lösning b
Lösning till delfråga b
|
|
Lösning c
Lösning till delfråga c
|
|
Lösning d
Lösning till delfråga d
|
|
Lösning e
Lösning till delfråga e
|
|
[redigera] Övning 3.4:2
Ekvationen $\,z^3-3z^2+4z-2=0\,$ har roten $\,z=1\,$. Bestäm övriga rötter.
Facit
Facit till alla delfrågor
|
$ z = \Bigl\{\eqalign{&1+i\cr &1-i}$ |
Lösning
|
|
[redigera] Övning 3.4:3
Ekvationen $\,z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0\,$ har rötterna $\,z=2i\,$ och $\,z=-1-i\,$. Lös ekvationen.
Facit
Facit till alla delfrågor
|
$z = \left\{\begin{matrix}-1+i\cr -1-i\cr \phantom{-}2i\cr -2i\end{matrix}\right.$ |
Lösning
|
|
[redigera] Övning 3.4:4
Bestäm två reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^3+az+b=0\ $ har roten $\,z=1-2i\,$. Lös sedan ekvationen.
Facit
Facit till alla delfrågor
|
Välj $\,a=1\,$ och $\,b=10\,$. Lösningarna är $\ z = \left\{ \begin{matrix} 1-2i \\ 1+2i \\ -2 \end{matrix} \right.$ |
Lösning
|
|
[redigera] Övning 3.4:5
Bestäm $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^4-6z^2+az+b=0\ $ har en trippelrot. Lös sedan ekvationen.
Facit
Facit till alla delfrågor
|
Två fall:
|
Lösning
|
|
[redigera] Övning 3.4:6
Ekvationen $\ z^4+3z^3+z^2+18z-30=0\ $ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter.
Facit
Facit till alla delfrågor
|
$ z = \left\{ \begin{matrix} \phantom{-}i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{29} \\ -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{29} \end{matrix} \right.$ |
Lösning
|
|
[redigera] Övning 3.4:7
Bestäm polynom som har följande nollställen
| a) | $1\,$, $\,2\,$ och $\,4$ | b) | $-1+ i\,$ och $\,-1-i$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$ |
| b) | $(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $ |
Lösning a
Lösning till delfråga a
|
|
Lösning b
Lösning till delfråga b
|
|
