3.2 Polär form

Exempel 1

Givet $\,z=2+i\,$ och $\,w=-3-i\,$. Markera $\,z\,$, $\,w\,$, $\,\overline{z}\,$, $\,\overline{z}-\overline{w}\,$ och $\,z-w\,$ i det komplexa talplanet.

Vi har att

• $\overline{z}=2-i$
• $\overline{w}=-3+i$
• $z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$
• $\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})$

Exempel 2
Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller följande villkor:

1. $\mathop{\rm Re} z \ge 3$
2. $ -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2$

Den första olikheten definierar området markerat med A i figuren nedan och den andra olikheten området B.

Exempel 3

Markera följande talmängder i det komplexa talplanet:

1. $\,\, |\,z\,|=2$
   
   Ekvationen beskriver alla tal vars avstånd till origo är 2. Dessa tal bildar i det komplexa talplanet en cirkel med radien 2 och medelpunkt i origo.




2. $\,\, |\,z-3\,|=1$
   
   Denna ekvation uppfylls av alla tal vars avstånd till talet 3 är 1, dvs. en cirkel med radien 1 och medelpunkt i $\,z = 3\,$.




3. $\,\, |\,z+2-i\,|\le 2$
   
   Vänsterledet kan skrivas $\,|\,z-(-2+i)\,|\,$, vilket innebär alla tal på avståndet ${}\le 2$ från talet $\,-2+i\,$, dvs. en cirkelskiva med radien 2 och medelpunkt i $\,-2+i\,$.




4. $\,\, \frac{1}{2}\le |\,z-(2+3i)\,|\le 1$
   
   Mängden ges av alla tal vars avstånd till $\,z=2+3i\,$ är mellan $\,\frac{1}{2}\,$ och $\,1\,$.
   
   

Exempel 4

Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller villkoren

1. $\, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.$
   
   Den första olikheten ger punkterna på och innanför cirkeln med radie 3 och medelpunkt i $\,2i\,$. Den andra olikheten ger ett vertikalt band av punkter med realdel mellan 1 och 2. Det område som uppfyller de båda olikheterna ges av de punkter som samtidigt ligger inom cirkeln och bandet.




2. $\, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|$
   
   Ekvationen kan skrivas $\,|\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,|\,$. Man ser då att $\,z\,$ ska ligga på samma avstånd från $\,-1\,$ som från $\,2\,$. Detta villkor uppfylls av alla tal $\,z\,$ som har realdel $\,1/2\,$.

Exempel 5

Skriv följande komplexa tal i polär form:

1. $\,\,-3$
   
   Vi har att $\,|\,-3\,|=3\,$ och $\,\arg (-3)=\pi\,$, vilket betyder att $\ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi)\,$.




2. $\,i$
   
   Vi har att $\,|\,i\,|=1\,$ och $\,\arg i = \pi/2\,$ så i polär form är $\ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,$.




3. $\,1-i$
   
   Formeln för beloppet av ett komplext tal ger att $\,|\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\,$. Det komplexa talet ligger i den fjärde kvadranten och bildar vinkeln $\,\pi/4\,$ med den positiva reella axeln, vilket ger att $\,\arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4$. Alltså är $\ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr)\,$.




4. $\,2\sqrt{3}+2i$
   
   Beloppet är enklast att räkna ut $$|\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}$$ Om vi kallar argumentet för $\,\alpha\,$ så uppfyller det sambandet $$\tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ och eftersom talet ligger i den första kvadranten (positiv real- och imaginärdel) så är $\,\alpha=\pi/6\,$ och vi har att $$2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}$$

Exempel 6

Beräkna följande uttryck och genom att skriva om på polär form:

1. $\Bigl(\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)$
   
   Vi skriver täljaren och nämnaren i polär form $$\eqalign{\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\cr \Bigr(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)}$$ och då följer att $$\eqalign{&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\displaystyle\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\displaystyle\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\cr &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\vphantom{\Biggr)^{\Bigl(}}}$$




2. $(-2-2i)(1+i)$
   
   Faktorerna i uttrycket skriver vi i polär form $$\eqalign{(-2-2i)&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{,}\cr (1+i)&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}}$$ Genom att utföra multiplikationen i polär form får vi att $$\eqalign{(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\cr &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}}$$

Exempel 7

1. Beräkna $\,iz\,$ och $\,\displaystyle\frac{z}{i}\,$ om $\ \displaystyle z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)\,$. Svara på polär form.
   
   Eftersom $\ \displaystyle i=1\cdot \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ $ så är $$\eqalign{iz&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\cr \frac{z}{i}&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}}$$




2. Beräkna $\,iz\,$ och $\,\displaystyle\frac{z}{i}\,$ om $\ \displaystyle z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)\,$. Svara på polär form.
   
   Använder vi den polära formen av $\,i\,$ så fås att $$\eqalign{iz&=3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) =3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\cr &=3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\cr \frac{z}{i}&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}}$$

Vi ser här att multiplikation med $\,i\,$ innebär en rotation $\,\pi/2\,$ moturs, medan division med $\,i\,$ medför en rotation $\,\pi/2\,$ medurs.