Kvadratkomplettering
Kvadreringsreglerna, $\qquad \left\{ \begin{matrix} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{matrix} \right.$
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck.
Exempelvis är
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\;$ och
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$
Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+4x+4=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (x+2)^2=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x+2=\pm 3$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x=-2\pm 3,\quad$ dvs $\quad x_1=1 \quad$ och $\quad x_2=-5$
Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
$$x^2-4x-5=0$$
Genom att addera $9$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-4x-5+9=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-4x+4=9\quad$ osv.
Metoden kallas kvadratkomplettering.
Exempel 1
Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering:
- $\quad x^2-6x+7=2$
- $\quad z^2+21=4-8z$
Lösning:
- Koefficienten framför $x$, dvs. $-6$, visar att vi måste ha talet $(-3)^2=9$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $2$ på båda sidor åstadkommer vi detta:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+7+2=2+2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+9=4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (x-3)^2=4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x-3=\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x=3\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x_1=5, \; x_2=1$
- Ekvationen kan skrivas $z^2+8z+17=0$.
Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+8z+16=-1$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (z+4)^2=-1$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z+4=\pm \sqrt{-1}=\pm i\quad\Rightarrow\quad z=-4\pm i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Rightarrow\quad z_1=-4+i, \; z_2=-4-i$
Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.
Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.
Exempel 2
Lös ekvationen $\;\displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2$.
Lösning:
Halva koefficienten för $x$ är $\displaystyle -\frac{4}{3}$. Vi lägger alltså till $\displaystyle \left(-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}$ i båda led:
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}+1=2+\frac{16}{9}$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2+1=\frac{34}{9}$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad x_1=3,\; x_2=-\frac{1}{3}$
Exempel 3
Lös ekvationen $\; x^2+px+q=0$.
Lösning:
Kvadratkomplettering ger
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2+q=\left(\frac{p}{2}\right)^2$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
vilket är den vanliga formeln, PQ-formeln, för lösning av andragradsekvationer.
Exempel 4
Lös ekvationen $z^2-(12+4i)z-4+24i=0$.
Lösning:
Halva koefficienten för $z$ är $-(6+2i)$. Kvadratkomplettering ger
$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left( \; (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i \; \right)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2-4+24i=32+24i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2=36$
$\qquad\qquad\qquad\qquad z-(6+2i)=\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z=(6+2i)\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z_1=12+2i, \; z_2=2i$
Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+10x+3$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+3+25-25$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+25+3-25$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =(x+5)^2-22$
Exempel 5
Kvadratkomplettera uttrycket $\; z^2+(2-4i)z+1-3i$.
Lösning:
Lägg till och dra ifrån termen $\displaystyle \left(\frac{2-4i}{2}\right)^2=(1-2i)^2=-3-4i\;$ :
$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(1-2i)^2+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(-3-4i)+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2+4+i$
Lösning med formel
Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\sqrt{a+bi}$ . Man kan då göra på följande sätt:
- Ansätt $\quad z=x+yi=\sqrt{a+bi}$
- $\quad \matrix {\rightarrow \; (x+yi)^2 = a+bi \\ \qquad x^2 - y^2 + 2yxi = a+bi}$
Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att
- $ \cases {x^2 - y^2 = a \\ 2xy=b}$
Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. $y= \displaystyle\frac{b}{2x}$ som kan insättes i den första ekvationen.
Exempel 6
Beräkna $\sqrt{-3-4i}$
Lösning:
Sätt $x+yi=\sqrt{-3-4i}\quad$ ($x$, $y$ reella tal).
Kvadrering av båda led ger
$\qquad\qquad\qquad\qquad(x+yi)^2 = -3-4i $
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2 - y^2 + 2yxi = -3-4i $
vilket leder till ekvationssystemet
$\qquad\qquad\qquad\qquad \cases {x^2 - y^2 = -3 \\ 2xy= -4 \quad \rightarrow \quad y = - \displaystyle\frac{4}{2x} = - \displaystyle\frac{2}{x}}$
Insättning i den första ekvationen ger
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2 -\displaystyle\frac{4}{x^2} = -3 \quad \rightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0 $
Denna ekvation kan lösas genom att sätta $x^2=t$ :
$\qquad\qquad\qquad\qquad t^2 +3t -4=0 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad t= -\displaystyle\frac{3}{2} \pm \sqrt{\displaystyle\frac{9}{4} -(-4)} =-\displaystyle\frac{3}{2} \pm \sqrt{\displaystyle\frac{25}{4}} = -\displaystyle\frac{3}{2} \pm \displaystyle\frac{5}{2} $
vilket ger att $t = 1$ eller $t = -4$ , vilket dock förkastas, eftersom $x$ och $y$ är reella tal.
$\qquad\qquad\qquad\qquad t=1= x^2 \quad \rightarrow \quad x=\pm 1 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad x=1 \quad \rightarrow \quad y = - \displaystyle\frac{2}{1} = -2 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad x=-1 \quad \rightarrow \quad y = - \displaystyle\frac{2}{-1} = 2$
Vi har alltså kommit fram till att
$\qquad\qquad\qquad\qquad \sqrt{-3-4i} = 1-2i \quad$ eller $\quad-1+2i= \pm (1-2i)$
Exempel 7
Lös ekvationerna
- $z^2-2z+10=0$
- $z^2 + (4-2i)z -4i=0$
- $iz^2+(2+6i)z+2+11i=0$
Lösning:
- $z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i$
- $z=-2+i \pm \sqrt{(-2+i)^2 -(-4i)}=-2+i\pm \sqrt{3-4i+4i} = -2 +i\pm \sqrt{3} = -2 \pm \sqrt{3}+i$
- Division med $i$ ger
$z^2 + \displaystyle\frac{2+6i}{i}z +\displaystyle\frac{2+11i}{i} = 0$
$z^2+ (6-2i)z + 11-2i=0$
$z=-3+i \pm \sqrt{(-3+i)^2 -(11-2i)} = -3+i \pm \sqrt{8-6i-11+2i} = -3+i \pm \sqrt{-3-4i}=$
$=-3+i\pm(1-2i) \quad (\sqrt{-3-4i}=\pm(1-2i)$ enligt exemplet ovan)
$ \cases {z_1=-3+i+1-2i= -2-i \\ z_2 = -3+i-1+2i= -4+3i}$
Polynom och ekvationer
Ett uttryck på formen
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a-1x+a_0$$
där $n$ är ett naturligt tal, kallas ett polynom av grad $n$ i en obestämd variabel $x$. Talet $a_1$ kallas koefficienten för $x$, $a_2$ koefficienten för $x^2$ , etc. $a_0$ kallas konstantterm.
Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.
Exempel 8
Jämför följande polynom och heltal,
$\qquad\qquad\qquad\qquad 1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3 \qquad \qquad \qquad \quad$ (ett heltal i basen $10$)
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3 \qquad \qquad $ (ett polynom i $x$)
och följande divisioner,
$\quad \displaystyle\frac{1353}{11} = 123 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \quad$ eftersom $1353= 123\cdot 11$
$\quad \displaystyle\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3 \qquad \quad \;$ eftersom $x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)$
Om $p(x)$ är ett polynom av grad $n$ så kallas $p(x)=0$ en polynomekvation av grad $n$. Om $x_1$ är ett tal sådant att $p(x_1)=0$ så kallas $x_1$ en rot, eller lösning till ekvationen. Man säger också att $x_1$ är ett nollställe till $p(x)$.
Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. $37$ divideras med $5$, får man
$\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle\frac{37}{5} = 7+ \displaystyle\frac{2}{5} \;$, vilket även kan skrivas
$\qquad\qquad\qquad\qquad 37= 7\cdot 5+2 $
Talet 7 kallas kvot och talet 2 rest. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.
Om $p(x)$ och $f(x)$ är polynom så kan man på liknande sätt dividera $p(x)$ med $f(x)$ och entydigt bestämma polynom $q(x)$ och $r(x)$ så att
$\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle\frac{p(x)}{f(x)} = q(x)+ \displaystyle\frac{r(x)}{f(x)} \;$, eller
$\qquad\qquad\qquad\qquad p(x)= q(x)\cdot f(x)+r(x) $
Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten $q(x)$ och resten $r(x)$.
Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt:
Om $r(x)=0$ så är $p(x)$ delbart med $f(x)$ , eller, $f(x)$ är en delare till $p(x)$. Man skriver
$\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle\frac{p(x)}{f(x)} = q(x) \;$, eller $\; p(x) = q(x)\cdot f(x)$
Polynomdivision
Om $p(x)$ är ett polynom med högre grad än polynomet $f(x)$ så kan man dividera $p(x)$ med $f(x)$. Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multiplar av $f(x)$ från $p(x)$ tills den återstående täljaren har lägre grad än $f(x)$ i nämnaren.
Exempel 9
$p(x) = x^3 + x^2 -x +4\quad$ och $\quad f(x)= x+2$
$\displaystyle\frac{p(x)}{f(x)} = \displaystyle\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \displaystyle\frac{x^2(x+2) + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 + \displaystyle\frac{ -x^2 -x +4}{x+2} = x^2 + \displaystyle\frac{-x(x+2) -x +4}{x+2}= $
$= x^2 -x + \displaystyle\frac{1\cdot (x+2) + 2}{x+2}= x^2 -x + 1 + \displaystyle\frac{2}{x+2} $
Alltså gäller att
$\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \displaystyle\frac{2}{x+2}$, eller
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^3 + x^2 -x +4 = (x^2 -x + 1)(x+2) + 2$
Kvoten $q(x) =x^2 -x + 1$ och resten $r(x)= 2$.
Divisionen går inte jämnt upp, dvs. $f(x)= x+2$ är inte en delare till $p(x)=x^3 + x^2 -x +4$ .
Samband mellan faktorer och nollställen
Om $f(x)$ är en delare till $p(x)$ så gäller alltså att $p(x)=q(x)\cdot f(x)$. Vi har därmed faktoriserat $p(x)$ . Man säger att $f(x)$ är en faktor i $p(x)$. Speciellt gäller att om förstagradspolynomet $(x-a)$ är en delare till $p(x)$ så är $(x-a)$ en faktor i $p(x)$ , dvs.
$$p(x)= q(x)\cdot (x-a)$$
Eftersom $p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0$ så måste detta betyda att $x=a$ då är ett nollställe till $p(x)$. Detta är precis innehållet i den s.k. faktorsatsen:
Fakorsatsen
$(x-a)$ är en delare till polynomet $p(x)$ om och endast om $x=a$ är ett
nollställe till $p(x)$ , dvs. $p(x)=q(x)\cdot (x-a) \quad \leftrightarrow \quad p(a)=0$
Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att $x=a$ är ett nollställe till $p(x)$ så vet man automatiskt att $p(x)$ är delbart med $(x-a)$ .
Exempel 10
$p(x) = x^2-6x+8$ kan faktoriseras
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$
och har därför nollställena $x_1=2$ och $x_2=4$ (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+8 = 0 \qquad \qquad $ , nämligen
$\qquad\qquad\qquad\qquad x= 3\pm \sqrt{3^2 -8} = 3 \pm 1$
Exempel 11
Faktorisera följande polynom:
- $x^2-3x-10$
- $x^2+6x+9$
- $x^2 -4x+5$
Lösning:
Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer.
- $x^2-3x-10= 0 \quad \rightarrow \quad x= \displaystyle\frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2 - (-10)} = \displaystyle\frac{3}{2} \pm \displaystyle\frac{7}{2}$
$x_1= 5 \; , \; x_2=-2 \quad \rightarrow \quad x^2-3x-10= (x-5)(x-(-2))= (x-5)(x+2)$
- $x^2+6x+9= 0 \quad \rightarrow \quad x= -3 \pm \sqrt{(-3)^2 -9} = -3 \quad$ (dubbelrot)
$x_1= x_2= -3 \quad \rightarrow \quad x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))= (x+3)^2$
- $x^2 -4x+5= 0 \quad \rightarrow \quad x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i$
$x_1=2+i \; , \; x_2= 2-i \quad \rightarrow \quad x^2 -4x+5= (x-(2+i))(x-(2-i)) = (x-2-i)(x-2+i)$
Exempel 12
Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena $1$ , $-1$ och $3$.
Lösning:
Polynomet ska enligt faktorsatsen ha faktorerna $(x-1)$, $(x+1)$ och $(x-3)$ .
$(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3$
Algebrans fundamentalsats
Införandet av de komplexa talen innebär att varje polynomekvation har en lösning. Detta är innehållet i algebrans fundamentalsats, som bevisades av Gauss 1799:
Varje polynom av grad $n\ge1$ har minst ett nollställe bland de komplexa talen.
Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:
Varje polynom av grad $n\ge1$ har exakt $n$ stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin multiplicitet *.
( *Ett dubbelt nollställe räknas 2 ggr, trippelnollställe 3 ggr, etc.)
Om man håller sig till polynom med reella koefficienter så kan man dessutom visa att
- - varje polynom av grad $\ge2$ kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella koefficienter.
- - om ett polynom av grad $2$ saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs. varandras komplexa konjugat.
Exempel 13
Visa att $x = 1$ är ett nollställe till $p(x)= x^3+x^2-2$. Faktorisera därefter $p(x)$ i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.
Lösning:
$p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0 \quad \rightarrow \quad (x-1)$ är en faktor i $p(x) \quad \rightarrow \quad p(x)$ är delbart med $(x-1)$.
$\displaystyle\frac{x^3+x^2-2}{x-1} = \displaystyle\frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2x-2}{x-1}=$
$= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2$
$p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)$
Återstår att faktorisera $x^2+2x+2$ . Ekvationen $x^2+2x+2=0$ har lösningarna
$x=-1\pm \sqrt{(-1)^2 -2} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i$ (saknar alltså reella nollställen)
$x^3+x^2-2= (x-1)(x^2+2x+2) = (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)$
Exempel 14
Visa att polynomet $p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5$ har nollställena $x = i$ och $x = 2 - i$ .
Bestäm därefter övriga nollställen.
Lösning:
$p(i)= i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0$
$p(2-i) = (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5=
\left[\matrix{(2-i)^2 = 4-4i+i^2 = 3-4i \\ (2-i)^3=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i \\ (2-i)^4= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i}\right]
$=-7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5 = -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0$
$p(x)$ är av grad $4$ med reella koefficienter. Övriga nollställen är därför konjugaten till $x = i$ och $x = 2 - i$ , dvs. $x = -i $ och $x = 2 + i$.
|
