3.4 Komplexa polynom

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 4 juli 2007 kl. 14.40

Innehåll:

Faktorsatsen
Polynomdivision
Algebrans fundamentalsats

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Utföra polynomdivision.
Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom.
Veta att en polynomekvation av grad n har n rötter (räknade med multiplicitet).
Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.

Övningar

Kvadratkomplettering

Kvadreringsreglerna, $$\left\{\eqalign{(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\cr (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2}\right.$$ som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck. Exempelvis är $$\eqalign{x^2+4x+4&=(x+2)^2\,\mbox{,}\cr x^2-10x+25&=(x-5)^2\,\mbox{.}}$$ Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex. $$\eqalign{x^2+4x+4&=9\,\mbox{,}\cr (x+2)^2&=9\,\mbox{.}}$$ Rotutdragning ger sedan att $\,x+2=\pm\sqrt{9}\,$ och därmed att $\,x=-2\pm 3\,$, dvs. $\,x=1\,$ eller $\,x=-5\,$.

Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven $$x^2-4x-5=0\,\mbox{.}$$ Genom att addera $\,9\,$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led: $$\eqalign{x^2-4x-5+9&=0+9\,\mbox{,}\cr x^2-4x+4\phantom{{}+9}&=9\,\mbox{.}}$$ Metoden kallas kvadratkomplettering.

Exempel 1

Lös ekvationen $\ x^2-6x+7=2\,$.

Koefficienten framför $\,x\,$ är $\,-6\,$ och det visar att vi måste ha talet $\,(-3)^2=9\,$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $\,2\,$ på båda sidor åstadkommer vi detta: $$\eqalign{x^2-6x+7+2&=2+2\cr x^2-6x+9\phantom{{}+2}&=4\cr \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{}&=4}$$ Rotutdragning ger sedan att $\,x-3=\pm 2\,$, vilket betyder att $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$.

Lös ekvationen $\ z^2+21=4-8z\,$.

Ekvationen kan skrivas $\,z^2+8z+17=0\,$. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led: $$\eqalign{z^2+8z+17-1&=0-1\cr z^2+8z+16\phantom{{}-1}&=-1\cr \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{}&=-1}$$ och därför är $\,z+4=\pm\sqrt{-1}\,$. Med andra ord är lösningarna $\,z=-4-i\,$ och $\,z=-4+i\,$.

Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas. Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.

Exempel 2

Lös ekvationen $\ \displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,$.

Halva koefficienten för $\,x\,$ är $\,-\frac{4}{3}\,$. Vi lägger alltså till $\,\bigl(-\frac{4}{3}\bigr)^2=\frac{16}{9}\,$ i båda led $$\eqalign{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1&=2+{\textstyle\frac{16}{9}}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}}{}+1&={\textstyle\frac{34}{9}}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1}&={\textstyle\frac{25}{9}}}$$ Nu är det enkelt att få fram att $\,x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}\,$ och därmed att $\,x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\,$, dvs. $\,x=-\frac{1}{3}\,$ och $\,x=3\,$.

Exempel 3

Lös ekvationen $\ x^2+px+q=0\,$.

Kvadratkomplettering ger $$\eqalign{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\cr \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\cr \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}}$$ Detta ger den vanliga formeln, pq-formeln, för lösningar till andragradsekvationer $$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}$$

Exempel 4

Lös ekvationen $\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,$.

Halva koefficienten för $\,z\,$ är $\,-(6+2i)\,$ så vi adderar kvadraten på detta uttryck till båda led $$z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}$$ Räknar vi ut kvadraten $\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ $ i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås $$\eqalign{(z-(6+2i))^2-4+24i&=32+24i\cr \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{}&=36}$$ Efter en rotutdragning har vi att $\ z-(6+2i)=\pm 6\ $ och därmed är lösningarna $\,z=12+2i\,$ och $\,z=2i\,$.

Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis $$\eqalign{x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\cr &= (x+5)^2-22}$$

Exempel 5

Kvadratkomplettera uttrycket $\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,$.

Lägg till och dra ifrån termen $\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i$ $$\eqalign{z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}}$$

Lösning med formel

Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\,\sqrt{a+bi}\,$. Man kan då ansätta $$z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}$$ Genom att kvadrera båda led får vi att $$\eqalign{(x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2yxi &= a+ib\,\mbox{.}}$$ Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att $$\left\{\eqalign{&x^2 - y^2 = a\cr &2xy=b}\right.$$ Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. $\,y= b/(2x)\,$ som kan sättas in i den första ekvationen.

Exempel 6

Beräkna $\ \sqrt{-3-4i}\,$.

Sätt $\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ $ där $\,x\,$ och $\,y\,$ är reella tal. Kvadrering av båda led ger $$\eqalign{(x+yi)^2 &= -3-4i\cr x^2 - y^2 + 2yxi &= -3-4i}$$ vilket leder till ekvationssystemet $$\Bigl\{\eqalign{x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\cr 2xy&= -4\,\mbox{.}}$$ Ur den andra ekvationen kan vi lösa ut $\ y=-4/(2x) = -2/x\ $ och sätts detta in i den första ekvationen fås att $$x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}$$ Denna ekvation är en andragradsekvation i $\,x^2\,$ vilket man ser lättare genom att sätta $\,t=x^2$ $$t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}$$ Lösningarna är $\,t = 1\,$ och $\,t = -4\,$. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom $x$ och $y$ är reella tal och då kan inte $\,x^2=-4\,$. Vi får att $\,x=\pm\sqrt{1}\,$, vilket ger oss två möjligheter

$\ x=-1\ $ som ger att $\ y=-2/(-1)=2\,$.
$\ x=1\ $ som ger att $\ y=-2/1=-2\,$.

Vi har alltså kommit fram till att $$\sqrt{-3-4i} = \Bigl\{\eqalign{&\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\cr &-1+2i\,\mbox{.}\cr}$$

Exempel 7

Lös ekvationerna

Lös ekvationen $\ z^2-2z+10=0\,$.

Formeln för lösningar till en andragradsekvation (se exempel 3) ger att $$z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}$$

Lös ekvationen $\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}$

Även här ger pq-formeln lösningarna direkt $$z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}$$

Lös ekvationen $\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}$

Division av båda led med $i$ ger att $$\eqalign{z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\cr z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}}$$ Applicerar vi sedan pq-formeln så fås att $$\eqalign{z&=-3+i \pm \sqrt{(-3+i)^2 -(11-2i)}\cr z&=-3+i \pm \sqrt{-3-4i}\cr z&= -3+i\pm(1-2i)}$$ där vi använt att $\ \sqrt{-3-4i}=\pm(1-2i)\ $ enligt exempel 6. Lösningarna är alltså $$z=\biggl\{\eqalign{&-2-i\,\mbox{,}\cr &-4+3i\,\mbox{.}}$$

Polynom och ekvationer

Ett uttryck på formen $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0$$

där $\,n\,$ är ett naturligt tal, kallas ett polynom av grad $\,n\,$ i en obestämd variabel $\,x\,$. Talet $\,a_1\,$ kallas koefficienten för $\,x\,$, $\,a_2\,$ koefficienten för $\,x^2\,$ , etc. Konstanten $\,a_0\,$ kallas konstantterm.

Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.

Exempel 8

Jämför följande heltal skrivet i basen 10, $$1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3$$ med ett polynom i $\,x\,$ $$x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3$$ och sedan följande divisioner,

$\quad\displaystyle\frac{1353}{11} = 123 \qquad$ eftersom $\ 1353= 123\cdot 11\,$,

$\quad\displaystyle\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad$ eftersom $\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,$.

Om $\,p(x)\,$ är ett polynom av grad $\,n\,$ så kallas $\,p(x)=0\,$ en polynomekvation av grad $\,n\,$. Om $\,x=a\,$ är ett tal sådant att $\,p(a)=0\,$ så kallas $\,x=a\,$ en rot, eller lösning till ekvationen. Man säger också att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$.

Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. $\,37\,$ divideras med $\,5\,$, får man $$\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}$$ Uträkningen kan även kan skrivas $\ 37= 7\cdot 5+2\,$. Talet 7 kallas kvot och talet 2 rest. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.

Om $\,p(x)\,$ och $\,q(x)\,$ är polynom så kan man på liknande sätt dividera $\,p(x)\,$ med $\,q(x)\,$ och entydigt bestämma polynom $\,k(x)\,$ och $\,r(x)\,$ så att $$\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{f(x)}\,\mbox{,}$$ eller $\ p(x)= k(x)\cdot q(x)+r(x)\,$. Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten $\,k(x)\,$ och resten $\,r(x)\,$.

Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt: Om $\,r(x)=0\,$ så är $\,p(x)\,$ delbart med $\,q(x)\,$, eller, $\,q(x)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$. Man skriver $$\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}$$ eller $\ p(x) = k(x)\cdot q(x)\,$.

Polynomdivision

Om $\,p(x)\,$ är ett polynom med högre grad än polynomet $\,q(x)\,$ så kan man dividera $\,p(x)\,$ med $\,q(x)\,$. Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multiplar av $\,q(x)\,$ från $\,p(x)\,$ tills den återstående täljaren har lägre grad än $\,q(x)\,$ i nämnaren.

Exempel 9

Utför polynomdivisionen $\ \displaystyle\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,$.

Det första steget är att vi lägger till och drar ifrån en lämplig $\,x^2\,$-term i täljaren $$\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}$$ Anledningen till att vi gör detta är att nu kan deluttrycket $\,x^3+2x^2\,$ skrivas som $\,x^2(x+2)\,$ och förkortas med nämnaren $$\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}$$ Sedan lägger vi till och drar ifrån en lämplig $\,x\,$-term så att $\,x^2\,$-termen kan förkortas bort $$\eqalign{x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\cr &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}}$$ Det sista steget är att vi lägger till och drar ifrån en konstant $$x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$ Alltså gäller att $$\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$ Kvoten är $\,x^2 -x + 1\,$ och resten är $\,2\,$. Eftersom resten inte är noll går divisionen inte jämnt upp, dvs. $\,q(x)= x+2\,$ är inte en delare till $\,p(x)=x^3 + x^2 -x +4\,$.

Samband mellan faktorer och nollställen

Om $\,q(x)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så gäller alltså att $\,p(x)=k(x)\cdot q(x)\,$. Vi har därmed faktoriserat $\,p(x)\,$ . Man säger att $\,q(x)\,$ är en faktor i $\,p(x)\,$. Speciellt gäller att om förstagradspolynomet $\,(x-a)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så är $\,(x-a)\,$ en faktor i $\,p(x)\,$ , dvs. $$p(x)= q(x)\cdot (x-a)\,\mbox{.}$$ Eftersom $\ p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0\ $ så betyder detta att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$. Detta är precis innehållet i den s.k. faktorsatsen

Faktorsatsen
$(x-a)\,$ är en delare till polynomet $\,p(x)\,$ om och endast om $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$.

Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$ så vet man automatiskt att $\,p(x)\,$ är delbart med $\,(x-a)\,$.

Exempel 10

Polynomet $\,p(x) = x^2-6x+8\,$ kan faktoriseras som $$x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$$ och har därför nollställena $\,x=2\,$ och $\,x_2=4\,$ (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen $\ x^2-6x+8 = 0\,$.

Exempel 11

Faktorisera polynomet $\ x^2-3x-10\,$.

Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer. Andragradsekvationen $\ x^2-3x-10=0\ $ har lösningarna $$x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}$$ dvs. $\,x=-2\,$ och $\,x=5\,$. Detta betyder att $\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,$.

Faktorisera polynomet $\ x^2+6x+9\,$.

Detta polynom har en dubbelrot $$x= -3 \pm \sqrt{(-3)^2 -9} = -3$$ och därmed är $\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,$.

Faktorisera polynomet $\ x^2 -4x+5\,$.

I detta fall har polynomet två komplexa rötter $$x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i$$ och faktoriseringen blir $\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,$.

Exempel 12

Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena $\,1\,$ , $\,-1\,$ och $\,3\,$.

Polynomet ska enligt faktorsatsen ha faktorerna $\,(x-1)\,$, $\,(x+1)\,$ och $\,(x-3)\,$. Multiplicerar vi ihop dessa faktorer får vi just ett tredjegradspolynom $$(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}$$

Algebrans fundamentalsats

Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen $\,x^2=-1\,$ och man kan nu ställa sig den lite mer teoretiska frågan om detta räcker, eller behöver vi införa flera typer av tal för att kunna lösa andra mer komplicerade polynomekvationer. Svaret på den frågan är att det behöver vi inte göra utan det räcker med de komplexa tal. Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss bevisade år 1799 algebrans fundamentalsats som säger följande:

Varje polynom av grad $\,n\ge1\,$ har minst ett nollställe bland de komplexa talen.

Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:

Varje polynom av grad $\,n\ge1\,$ har exakt $\,n\,$ stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin multiplicitet.

(Med multiplicitet menas att ett dubbelt nollställe räknas 2 gånger, ett trippelnollställe 3 gånger, osv.)

Notera att dessa satser bara säger att det finns komplexa rötter till polynom men inte hur man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller sig till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.

Exempel 14

Visa att polynomet $\,p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5\,$ har nollställena $\,x=i\,$ och $\,x = 2-i\,$. Bestäm därefter övriga nollställen.

Vi har att $$\eqalign{p(i)&=i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\cr p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5}$$ För att räkna ut det sista uttrycket behöver vi bestämma $$\eqalign{(2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\cr (2-i)^3&=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\cr (2-i)^4&= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}}$$ Detta ger att $$\eqalign{p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\cr &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}}$$ vilket visar att $\,i\,$ och $\,2-i\,$ är nollställen till polynomet.

Eftersom polynomet har reella koefficienter kan vi direkt säga att de två andra nollställena är komplexkonjugatet av de två första nollställena, dvs. de två andra rötterna är $\,z=-i\,$ och $\,z=2+i\,$.

En konsekvens ..... (fortsättning följer). ((Fast det är väl ingen som läser detta just nu?))

kan man dessutom visa att

- varje polynom av grad $\ge2$ kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella koefficienter.

- om ett polynom av grad $2$ saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs. varandras komplexa konjugat.

Exempel 13
Visa att $x = 1$ är ett nollställe till $p(x)= x^3+x^2-2$. Faktorisera därefter $p(x)$ i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.

Lösning:
$p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0 \quad \rightarrow \quad (x-1)$ är en faktor i $p(x) \quad \rightarrow \quad p(x)$ är delbart med $(x-1)$.

$\displaystyle\frac{x^3+x^2-2}{x-1} = \displaystyle\frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2x-2}{x-1}=$

$= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2$

$p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)$

Återstår att faktorisera $x^2+2x+2$ . Ekvationen $x^2+2x+2=0$ har lösningarna

$x=-1\pm \sqrt{(-1)^2 -2} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i$ (saknar alltså reella nollställen)

$x^3+x^2-2= (x-1)(x^2+2x+2) = (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)$

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.4_Komplexa_polynom

3.4 Komplexa polynom

Sommarmatte 2

Versionen från 4 juli 2007 kl. 14.40

Kvadratkomplettering

Lösning med formel

Polynom och ekvationer

Polynomdivision

Samband mellan faktorer och nollställen

Algebrans fundamentalsats

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

 {{Info|
-'''Färdigheter:'''
+'''Lärandemål:'''
 Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-* Utföra polynomdivision
+* Utföra polynomdivision.
-* Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom
+* Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom.
-* Veta att en polynomekvation av grad $n$ har $n$ rötter (räknade med multiplicitet)
+* Veta att en polynomekvation av grad ''n'' har ''n'' rötter (räknade med multiplicitet).
-* Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter
+* Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.
 }}
 ==Kvadratkomplettering==
-Kvadreringsreglerna, $\qquad \left\{ \begin{matrix} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{matrix} \right.$ <br\>
+Kvadreringsreglerna,
-som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck.<br\>
+$$\left\{\eqalign{(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\cr (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2}\right.$$
-Exempelvis är
+som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck. Exempelvis är
+$$\eqalign{x^2+4x+4&=(x+2)^2\,\mbox{,}\cr x^2-10x+25&=(x-5)^2\,\mbox{.}}$$
+Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
+$$\eqalign{x^2+4x+4&=9\,\mbox{,}\cr (x+2)^2&=9\,\mbox{.}}$$
+Rotutdragning ger sedan att $\,x+2=\pm\sqrt{9}\,$ och därmed att $\,x=-2\pm 3\,$, dvs. $\,x=1\,$ eller $\,x=-5\,$.
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\;$ och <br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$ <br\><br\>
-Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.<br\><br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+4x+4=9$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad (x+2)^2=9$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x+2=\pm 3$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x=-2\pm 3,\quad$ dvs $\quad x_1=1 \quad$ och $\quad x_2=-5$<br\><br\>
 Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
+$$x^2-4x-5=0\,\mbox{.}$$
+Genom att addera $\,9\,$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
+$$\eqalign{x^2-4x-5+9&=0+9\,\mbox{,}\cr x^2-4x+4\phantom{{}+9}&=9\,\mbox{.}}$$
+Metoden kallas <i>kvadratkomplettering</i>.
-$$x^2-4x-5=0$$
-Genom att addera $9$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:<br\><br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-4x-5+9=9$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-4x+4=9\quad$ osv. <br\>
-Metoden kallas <i>kvadratkomplettering</i>.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 1'''<br\>
+'''Exempel 1'''
-Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering:
+<br/>
+<br/>
 <ol type="a">
-<li> $\quad x^2-6x+7=2$
+<li> Lös ekvationen $\ x^2-6x+7=2\,$.
-<li> $\quad z^2+21=4-8z$
+<br/>
-</ol>
+<br/>
+Koefficienten framför $\,x\,$ är $\,-6\,$ och det visar att vi måste ha talet $\,(-3)^2=9\,$  som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $\,2\,$ på båda sidor åstadkommer vi detta:
-<i>Lösning</i>:<br\>
+$$\eqalign{x^2-6x+7+2&=2+2\cr x^2-6x+9\phantom{{}+2}&=4\cr \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{}&=4}$$
-<ol type="a">
+Rotutdragning ger sedan att $\,x-3=\pm 2\,$, vilket betyder att $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$.
-<li> Koefficienten framför $x$, dvs. $-6$, visar att vi måste ha talet $(-3)^2=9$  som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $2$ på båda sidor åstadkommer vi detta:<br>
+</li>
+<br/>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad   x^2-6x+7+2=2+2$<br\>
+<li> Lös ekvationen $\ z^2+21=4-8z\,$.
-$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad   x^2-6x+9=4$<br\>
+<br/>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad   (x-3)^2=4$<br\>
+<br/>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad   x-3=\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x=3\pm 2 \quad\Rightarrow\quad  x_1=5, \; x_2=1$<br\><br\>
+Ekvationen kan skrivas $\,z^2+8z+17=0\,$. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
+$$\eqalign{z^2+8z+17-1&=0-1\cr z^2+8z+16\phantom{{}-1}&=-1\cr \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{}&=-1}$$
-<li> Ekvationen kan skrivas $z^2+8z+17=0$.<br\>
+och därför är $\,z+4=\pm\sqrt{-1}\,$. Med andra ord är lösningarna $\,z=-4-i\,$ och $\,z=-4+i\,$.
-Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led: <br\>
+</li>
+<br/>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad   z^2+8z+16=-1$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad   (z+4)^2=-1$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad   z+4=\pm \sqrt{-1}=\pm i\quad\Rightarrow\quad z=-4\pm i$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad   \Rightarrow\quad z_1=-4+i, \; z_2=-4-i$<br\><br\>
 </ol>
 </div>
-Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.<br\>
+Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.
 Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 2'''<br\>
+'''Exempel 2'''
-Lös ekvationen  $\;\displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2$.<br\>
+<br/>
-<i>Lösning</i>:<br\>
+<br/>
-Halva koefficienten för $x$ är $\displaystyle -\frac{4}{3}$. Vi lägger alltså till $\displaystyle \left(-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}$  i båda led:<br\><br\>
+Lös ekvationen  $\ \displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,$.
-$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}+1=2+\frac{16}{9}$<br\><br\>
+<br/>
-$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2+1=\frac{34}{9}$<br\><br\>
+<br/>
-$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$<br\><br\>
+Halva koefficienten för $\,x\,$ är $\,-\frac{4}{3}\,$. Vi lägger alltså till $\,\bigl(-\frac{4}{3}\bigr)^2=\frac{16}{9}\,$ i båda led
-$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad x_1=3,\; x_2=-\frac{1}{3}$<br\>
+$$\eqalign{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1&=2+{\textstyle\frac{16}{9}}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}}{}+1&={\textstyle\frac{34}{9}}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1}&={\textstyle\frac{25}{9}}}$$
+Nu är det enkelt att få fram att $\,x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}\,$ och därmed att $\,x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\,$, dvs. $\,x=-\frac{1}{3}\,$ och $\,x=3\,$.
 </div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 3'''<br\>
+'''Exempel 3'''
-Lös ekvationen $\; x^2+px+q=0$.<br\>
+<br/>
+<br/>
+Lös ekvationen $\ x^2+px+q=0\,$.
+<br/>
+<br/>
+Kvadratkomplettering ger
+$$\eqalign{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\cr \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\cr \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}}$$
+Detta ger den vanliga formeln, <i>pq-formeln</i>, för lösningar till andragradsekvationer
+$$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}$$
-<i>Lösning</i>:<br\>
-Kvadratkomplettering ger <br\>
-$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2+q=\left(\frac{p}{2}\right)^2$<br\><br\>
-$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$<br\><br\>
-$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$<br\><br\><br\>
-vilket är den vanliga formeln, <i>PQ-formeln</i>, för lösning av andragradsekvationer.
 </div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 4'''<br\>
+'''Exempel 4'''
-Lös ekvationen $z^2-(12+4i)z-4+24i=0$.<br\><br\>
+<br/>
-<i>Lösning</i>:<br\>
+<br/>
-Halva koefficienten för $z$ är $-(6+2i)$. Kvadratkomplettering ger <br\>
+Lös ekvationen $\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,$.
+<br/>
+<br/>
+Halva koefficienten för $\,z\,$ är $\,-(6+2i)\,$ så vi adderar kvadraten på detta uttryck till båda led
+$$z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}$$
+Räknar vi ut kvadraten $\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ $ i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås
+$$\eqalign{(z-(6+2i))^2-4+24i&=32+24i\cr \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{}&=36}$$
+Efter en rotutdragning har vi att $\ z-(6+2i)=\pm 6\ $ och därmed är lösningarna $\,z=12+2i\,$ och $\,z=2i\,$.
-$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad \left( \; (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i \; \right)$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2-4+24i=32+24i$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2=36$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad z-(6+2i)=\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z=(6+2i)\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z_1=12+2i, \; z_2=2i$<br\>
 </div>
-Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis<br\><br\>
+Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis
+$$\eqalign{x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\cr &= (x+5)^2-22}$$
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+10x+3$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+3+25-25$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+25+3-25$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad =(x+5)^2-22$<br\>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 5'''<br\>
+'''Exempel 5'''
-Kvadratkomplettera uttrycket $\; z^2+(2-4i)z+1-3i$.<br\>
+<br/>
+<br/>
-<i>Lösning</i>:<br\>
+Kvadratkomplettera uttrycket $\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,$.
-Lägg till och dra ifrån termen $\displaystyle \left(\frac{2-4i}{2}\right)^2=(1-2i)^2=-3-4i\;$ :<br\>
+<br/>
+<br/>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+1-3i$<br\>
+Lägg till och dra ifrån termen $\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i$
-$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i$<br\>
+$$\eqalign{z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}}$$
-$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(1-2i)^2+1-3i$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(-3-4i)+1-3i$<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2+4+i$<br\>
 </div>
 ==Lösning med formel==
-Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\sqrt{a+bi}$ . Man kan då göra på följande sätt:
+Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\,\sqrt{a+bi}\,$. Man kan då ansätta
-::Ansätt $\quad z=x+yi=\sqrt{a+bi}$
+$$z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}$$
-:::$\quad \matrix {\rightarrow \; (x+yi)^2 = a+bi \\ \qquad x^2 - y^2 + 2yxi = a+bi}$
+Genom att kvadrera båda led får vi att
+$$\eqalign{(x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2yxi &= a+ib\,\mbox{.}}$$
 Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att
+$$\left\{\eqalign{&x^2 - y^2 = a\cr &2xy=b}\right.$$
-::::$ \cases {x^2 - y^2 = a \\ 2xy=b}$
+Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. $\,y= b/(2x)\,$ som kan sättas in i den första ekvationen.
-Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. $y= \displaystyle\frac{b}{2x}$  som kan insättes i den första ekvationen.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 6'''<br\>
+'''Exempel 6'''
-Beräkna $\sqrt{-3-4i}$ <br\>
+<br/>
+<br/>
-<i>Lösning</i>:<br\>
+Beräkna $\ \sqrt{-3-4i}\,$.
-Sätt $x+yi=\sqrt{-3-4i}\quad$  ($x$, $y$ reella tal).
+<br/>
+<br/>
-Kvadrering av båda led ger
+Sätt $\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ $ där $\,x\,$ och $\,y\,$ är reella tal. Kvadrering av båda led ger
+$$\eqalign{(x+yi)^2 &= -3-4i\cr x^2 - y^2 + 2yxi &= -3-4i}$$
-$\qquad\qquad\qquad\qquad(x+yi)^2 = -3-4i $<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2 - y^2 + 2yxi = -3-4i $<br\>
 vilket leder till ekvationssystemet
+$$\Bigl\{\eqalign{x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\cr 2xy&= -4\,\mbox{.}}$$
+Ur den andra ekvationen kan vi lösa ut $\ y=-4/(2x) = -2/x\ $ och sätts detta in i den första ekvationen fås att
+$$x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}$$
+Denna ekvation är en andragradsekvation i $\,x^2\,$ vilket man ser lättare genom att sätta $\,t=x^2$
+$$t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}$$
+Lösningarna är $\,t = 1\,$ och $\,t = -4\,$. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom  $x$ och $y$ är reella tal och då kan inte $\,x^2=-4\,$. Vi får att $\,x=\pm\sqrt{1}\,$, vilket ger oss två möjligheter
+* $\ x=-1\ $ som ger att $\ y=-2/(-1)=2\,$.
+* $\ x=1\ $ som ger att $\ y=-2/1=-2\,$.
-$\qquad\qquad\qquad\qquad \cases {x^2 - y^2 = -3 \\ 2xy= -4 \quad \rightarrow \quad y = - \displaystyle\frac{4}{2x} = - \displaystyle\frac{2}{x}}$
-Insättning i den första ekvationen ger
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2 -\displaystyle\frac{4}{x^2} = -3 \quad \rightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0 $
-Denna ekvation kan lösas genom att sätta  $x^2=t$ :
-$\qquad\qquad\qquad\qquad t^2 +3t -4=0 $<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad t= -\displaystyle\frac{3}{2} \pm \sqrt{\displaystyle\frac{9}{4} -(-4)} =-\displaystyle\frac{3}{2} \pm \sqrt{\displaystyle\frac{25}{4}} = -\displaystyle\frac{3}{2} \pm \displaystyle\frac{5}{2} $<br\>
-vilket ger att  $t = 1$  eller  $t = -4$ , vilket dock förkastas, eftersom  $x$ och $y$ är reella tal.
-$\qquad\qquad\qquad\qquad t=1= x^2 \quad \rightarrow \quad x=\pm 1 $<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x=1 \quad \rightarrow \quad y = - \displaystyle\frac{2}{1} = -2 $<br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x=-1 \quad \rightarrow \quad y = - \displaystyle\frac{2}{-1} = 2$
 Vi har alltså kommit fram till att
+$$\sqrt{-3-4i} = \Bigl\{\eqalign{&\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\cr &-1+2i\,\mbox{.}\cr}$$
-$\qquad\qquad\qquad\qquad \sqrt{-3-4i} = 1-2i \quad$ eller $\quad-1+2i= \pm (1-2i)$
 </div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 7'''<br\>
+'''Exempel 7'''
+<br/>
+<br/>
 Lös ekvationerna
 <ol type="a">
-  <li> $z^2-2z+10=0$</li>
+<li> Lös ekvationen $\ z^2-2z+10=0\,$.
-  <li> $z^2 + (4-2i)z -4i=0$</li>
+<br/>
- <li> $iz^2+(2+6i)z+2+11i=0$</li>
+<br/>
+Formeln för lösningar till en andragradsekvation (se exempel 3) ger att
+$$z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}$$
+</li>
+<br/>
+<li> Lös ekvationen $\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}$
+<br/>
+<br/>
+Även här ger ''pq''-formeln lösningarna direkt
+$$z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}$$
+</li>
+<br/>
+<li> Lös ekvationen $\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}$
+<br/>
+<br/>
+Division av båda led med $i$ ger att
+$$\eqalign{z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\cr z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}}$$
+Applicerar vi sedan ''pq''-formeln så fås att
+$$\eqalign{z&=-3+i \pm \sqrt{(-3+i)^2 -(11-2i)}\cr z&=-3+i \pm \sqrt{-3-4i}\cr z&= -3+i\pm(1-2i)}$$
+där vi använt att $\ \sqrt{-3-4i}=\pm(1-2i)\ $ enligt exempel 6. Lösningarna är alltså
+$$z=\biggl\{\eqalign{&-2-i\,\mbox{,}\cr &-4+3i\,\mbox{.}}$$
+</li>
 </ol>
-<i>Lösning</i>:<br\>
-<ol type="a">
-  <li> $z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i$</li>
-  <li> $z=-2+i \pm \sqrt{(-2+i)^2 -(-4i)}=-2+i\pm \sqrt{3-4i+4i} = -2 +i\pm \sqrt{3} = -2 \pm \sqrt{3}+i$ </li>
- <li> Division med $i$ ger <br\>
-$z^2 + \displaystyle\frac{2+6i}{i}z +\displaystyle\frac{2+11i}{i} = 0$ <br\>
-$z^2+ (6-2i)z + 11-2i=0$<br\>
-$z=-3+i \pm \sqrt{(-3+i)^2 -(11-2i)} = -3+i \pm \sqrt{8-6i-11+2i} = -3+i \pm \sqrt{-3-4i}=$<br\>
-$=-3+i\pm(1-2i) \quad (\sqrt{-3-4i}=\pm(1-2i)$ enligt exemplet ovan) <br\>
-$ \cases {z_1=-3+i+1-2i= -2-i \\ z_2 = -3+i-1+2i= -4+3i}$</li>
-</ol>
 </div>
 ==Polynom och ekvationer==
 Ett uttryck på formen
-$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a-1x+a_0$$
+$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0$$
-där $n$ är ett naturligt tal, kallas ett ''polynom'' av grad $n$ i en obestämd variabel $x$. Talet $a_1$  kallas koefficienten för $x$, $a_2$ koefficienten för $x^2$ , etc. $a_0$  kallas ''konstantterm''. <br>
+där $\,n\,$ är ett naturligt tal, kallas ett ''polynom'' av grad $\,n\,$ i en obestämd variabel $\,x\,$. Talet $\,a_1\,$  kallas koefficienten för $\,x\,$, $\,a_2\,$ koefficienten för $\,x^2\,$ , etc. Konstanten $\,a_0\,$  kallas ''konstantterm''.
 Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 8'''<br\>
+'''Exempel 8'''
-Jämför följande polynom och heltal, <br\>
+<br/>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad 1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3 \qquad \qquad \qquad \quad$ (ett heltal i basen $10$)<br\>
+<br/>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3 \qquad \qquad $ (ett polynom i $x$)<br\>
+Jämför följande heltal skrivet i basen 10,
-och följande divisioner, <br\>
+$$1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3$$
+med ett polynom i $\,x\,$
+$$x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3$$
+och sedan följande divisioner,
-$\quad \displaystyle\frac{1353}{11} = 123 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \quad$ eftersom $1353= 123\cdot 11$ <br\><br\>
+*$\quad\displaystyle\frac{1353}{11} = 123 \qquad$ eftersom $\ 1353= 123\cdot 11\,$,
+*$\quad\displaystyle\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad$ eftersom $\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,$.
-$\quad \displaystyle\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3 \qquad \quad \;$ eftersom $x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)$ <br\>
 </div>
-Om $p(x)$ är ett polynom av grad $n$ så kallas $p(x)=0$ en ''polynomekvation'' av grad $n$. Om $x_1$ är ett tal sådant att $p(x_1)=0$  så kallas $x_1$ en ''rot'', eller lösning till ekvationen. Man säger också att $x_1$ är ett ''nollställe'' till $p(x)$. <br\>
+Om $\,p(x)\,$ är ett polynom av grad $\,n\,$ så kallas $\,p(x)=0\,$ en ''polynomekvation'' av grad $\,n\,$. Om $\,x=a\,$ är ett tal sådant att $\,p(a)=0\,$  så kallas $\,x=a\,$ en ''rot'', eller lösning till ekvationen. Man säger också att $\,x=a\,$ är ett ''nollställe'' till $\,p(x)\,$.
-Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. $37$ divideras med $5$, får man <br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle\frac{37}{5} = 7+ \displaystyle\frac{2}{5} \;$, vilket även kan skrivas <br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad 37= 7\cdot 5+2 $<br\>
-Talet 7 kallas ''kvot'' och talet 2 ''rest''. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2. <br\>
-Om $p(x)$ och $f(x)$ är polynom så kan man på liknande sätt dividera $p(x)$ med $f(x)$ och entydigt bestämma polynom $q(x)$ och $r(x)$ så att <br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle\frac{p(x)}{f(x)} = q(x)+ \displaystyle\frac{r(x)}{f(x)} \;$,   eller <br\>
+Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. $\,37\,$ divideras med $\,5\,$, får man
+$$\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}$$
+Uträkningen kan även kan skrivas $\ 37= 7\cdot 5+2\,$. Talet 7 kallas ''kvot'' och talet 2 ''rest''. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.
-$\qquad\qquad\qquad\qquad p(x)= q(x)\cdot f(x)+r(x) $<br\>
-Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten $q(x)$ och resten $r(x)$.
+Om $\,p(x)\,$ och $\,q(x)\,$ är polynom så kan man på liknande sätt dividera $\,p(x)\,$ med $\,q(x)\,$ och entydigt bestämma polynom $\,k(x)\,$ och $\,r(x)\,$ så att
+$$\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{f(x)}\,\mbox{,}$$
+eller $\ p(x)= k(x)\cdot q(x)+r(x)\,$.  Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten $\,k(x)\,$ och resten $\,r(x)\,$.
-Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt:<br\>
-Om $r(x)=0$ så är $p(x)$ delbart med $f(x)$ , eller, $f(x)$ är en ''delare'' till $p(x)$. Man skriver <br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle\frac{p(x)}{f(x)} = q(x) \;$,   eller $\; p(x) = q(x)\cdot f(x)$ <br\>
-==Polynomdivision==
+Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt:
-Om $p(x)$ är ett polynom med högre grad än polynomet $f(x)$  så kan man dividera $p(x)$ med $f(x)$. Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multiplar av $f(x)$ från $p(x)$ tills den återstående täljaren har lägre grad än $f(x)$ i nämnaren.
+Om $\,r(x)=0\,$ så är $\,p(x)\,$ delbart med $\,q(x)\,$, eller, $\,q(x)\,$ är en ''delare'' till $\,p(x)\,$. Man skriver
+$$\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}$$
+eller $\ p(x) = k(x)\cdot q(x)\,$.
-<div class="exempel">
-'''Exempel 9'''<br\>
-$p(x) = x^3 + x^2 -x +4\quad$ och $\quad f(x)= x+2$<br\>
-$\displaystyle\frac{p(x)}{f(x)} = \displaystyle\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \displaystyle\frac{x^2(x+2) + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 + \displaystyle\frac{ -x^2 -x +4}{x+2} = x^2 + \displaystyle\frac{-x(x+2) -x +4}{x+2}= $<br\>
+==Polynomdivision==
-$= x^2 -x + \displaystyle\frac{1\cdot (x+2) + 2}{x+2}= x^2 -x + 1 + \displaystyle\frac{2}{x+2} $<br\>
+Om $\,p(x)\,$ är ett polynom med högre grad än polynomet $\,q(x)\,$  så kan man dividera $\,p(x)\,$ med $\,q(x)\,$. Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multiplar av $\,q(x)\,$ från $\,p(x)\,$ tills den återstående täljaren har lägre grad än $\,q(x)\,$ i nämnaren.
+<div class="exempel">
+'''Exempel 9'''
+<br/>
+<br/>
+Utför polynomdivisionen $\ \displaystyle\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,$.
+<br/>
+<br/>
+Det första steget är att vi ''lägger till och drar ifrån'' en lämplig $\,x^2\,$-term i täljaren
+$$\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}$$
+Anledningen till att vi gör detta är att nu kan deluttrycket $\,x^3+2x^2\,$ skrivas som $\,x^2(x+2)\,$ och förkortas med nämnaren
+$$\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}$$
+Sedan lägger vi till och drar ifrån en lämplig $\,x\,$-term så att $\,x^2\,$-termen kan förkortas bort
+$$\eqalign{x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\cr &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}}$$
+Det sista steget är att vi lägger till och drar ifrån en konstant
+$$x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$
 Alltså gäller att
+$$\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$
+Kvoten är $\,x^2 -x + 1\,$ och resten är $\,2\,$. Eftersom resten inte är noll går divisionen inte jämnt upp, dvs. $\,q(x)= x+2\,$ är inte en ''delare'' till $\,p(x)=x^3 + x^2 -x +4\,$.
-$\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \displaystyle\frac{2}{x+2}$, eller <br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^3 + x^2 -x +4 = (x^2 -x + 1)(x+2) + 2$<br\>
-Kvoten $q(x) =x^2 -x + 1$ och resten $r(x)= 2$. <br\>
-Divisionen går inte jämnt upp, dvs. $f(x)= x+2$ är inte en ''delare'' till $p(x)=x^3 + x^2 -x +4$ .
 </div>
 ==Samband mellan faktorer och nollställen==
-Om $f(x)$ är en delare till $p(x)$ så gäller alltså att $p(x)=q(x)\cdot f(x)$. Vi har därmed ''faktoriserat'' $p(x)$ . Man säger att  $f(x)$ är en faktor i $p(x)$. Speciellt gäller att om förstagradspolynomet $(x-a)$ är en delare till $p(x)$ så är $(x-a)$ en faktor i  $p(x)$ , dvs.
+Om $\,q(x)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så gäller alltså att $\,p(x)=k(x)\cdot q(x)\,$. Vi har därmed ''faktoriserat'' $\,p(x)\,$ . Man säger att  $\,q(x)\,$ är en faktor i $\,p(x)\,$. Speciellt gäller att om förstagradspolynomet $\,(x-a)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så är $\,(x-a)\,$ en faktor i $\,p(x)\,$ , dvs.
-$$p(x)= q(x)\cdot (x-a)$$
+$$p(x)= q(x)\cdot (x-a)\,\mbox{.}$$
-Eftersom $p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0$ så måste detta betyda att $x=a$ då är ett nollställe till $p(x)$. Detta är precis innehållet i den s.k. ''faktorsatsen'':
+Eftersom $\ p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0\ $ så betyder detta att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$. Detta är precis innehållet i den s.k. ''faktorsatsen''
 <div class="regel">
-'''Fakorsatsen'''<br\>
+'''Faktorsatsen'''<br\>
-$(x-a)$ är en delare till polynomet $p(x)$ om och endast om $x=a$ är ett
+$(x-a)\,$ är en delare till polynomet $\,p(x)\,$ om och endast om $\,x=a\,$ är ett
-nollställe till $p(x)$ , dvs. $p(x)=q(x)\cdot (x-a) \quad \leftrightarrow \quad p(a)=0$
+nollställe till $\,p(x)\,$.
 </div>
-Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att $x=a$ är ett nollställe till $p(x)$ så vet man automatiskt att $p(x)$ är delbart med $(x-a)$ .
+Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$ så vet man automatiskt att $\,p(x)\,$ är delbart med $\,(x-a)\,$.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 10'''<br\>
+'''Exempel 10'''
-$p(x) = x^2-6x+8$ kan faktoriseras
+<br/>
+<br/>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$<br\>
+Polynomet $\,p(x) = x^2-6x+8\,$ kan faktoriseras som
-och har därför nollställena $x_1=2$ och $x_2=4$ (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen
+$$x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$$
+och har därför nollställena $\,x=2\,$ och $\,x_2=4\,$ (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen $\ x^2-6x+8 = 0\,$.
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+8 = 0 \qquad \qquad $ , nämligen <br\>
-$\qquad\qquad\qquad\qquad x= 3\pm \sqrt{3^2 -8} = 3 \pm 1$<br\>
 </div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 11'''<br\>
+'''Exempel 11'''
-Faktorisera följande polynom:
+<br/>
+<br/>
 <ol type="a">
-  <li> $x^2-3x-10$</li>
+<li> Faktorisera polynomet $\ x^2-3x-10\,$.
-  <li> $x^2+6x+9$</li>
+<br/>
- <li> $x^2 -4x+5$</li>
+<br/>
+Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer. Andragradsekvationen $\ x^2-3x-10=0\ $ har lösningarna
+$$x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}$$
+dvs. $\,x=-2\,$ och $\,x=5\,$. Detta betyder att $\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,$.
+</li>
+<br/>
+<li> Faktorisera polynomet $\ x^2+6x+9\,$.
+<br/>
+<br/>
+Detta polynom har en dubbelrot
+$$x= -3 \pm \sqrt{(-3)^2 -9} = -3$$
+och därmed är $\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,$.
+</li>
+<br/>
+<li> Faktorisera polynomet $\ x^2 -4x+5\,$.
+<br/>
+<br/>
+I detta fall har polynomet två komplexa rötter
+$$x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i$$
+och faktoriseringen blir $\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,$.
+</li>
+<br/>
 </ol>
-<i>Lösning</i>:<br\>
-Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer.
-<ol type="a">
-  <li> $x^2-3x-10= 0 \quad \rightarrow \quad x= \displaystyle\frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2 - (-10)} = \displaystyle\frac{3}{2} \pm \displaystyle\frac{7}{2}$<br\><br\>
-$x_1= 5 \; , \; x_2=-2 \quad \rightarrow \quad x^2-3x-10= (x-5)(x-(-2))= (x-5)(x+2)$</li> <br\>
-  <li> $x^2+6x+9= 0 \quad \rightarrow \quad x= -3 \pm \sqrt{(-3)^2 -9} = -3 \quad$ (dubbelrot)<br\><br\>
-$x_1= x_2= -3 \quad \rightarrow \quad x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))= (x+3)^2$ </li><br\>
- <li> $x^2 -4x+5= 0 \quad \rightarrow \quad x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i$<br\><br\>
-$x_1=2+i \; , \; x_2= 2-i \quad \rightarrow \quad x^2 -4x+5= (x-(2+i))(x-(2-i)) = (x-2-i)(x-2+i)$</li><br\>
-</ol>
 </div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 12'''<br\>
+'''Exempel 12'''
-Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena $1$ , $-1$ och $3$.
+<br/>
+<br/>
+Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena $\,1\,$ , $\,-1\,$ och $\,3\,$.
+<br/>
+<br/>
+Polynomet ska enligt faktorsatsen ha faktorerna $\,(x-1)\,$, $\,(x+1)\,$ och $\,(x-3)\,$. Multiplicerar vi ihop dessa faktorer får vi just ett tredjegradspolynom
+$$(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}$$
-<i>Lösning</i>:<br\>
-Polynomet ska enligt faktorsatsen ha faktorerna $(x-1)$, $(x+1)$ och $(x-3)$ .<br\>
-$(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3$
 </div>
 ==Algebrans fundamentalsats==
-Införandet av de komplexa talen innebär att varje polynomekvation har en lösning. Detta är innehållet i ''algebrans fundamentalsats'', som bevisades av Gauss 1799:
+Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen $\,x^2=-1\,$ och  man kan nu ställa sig den lite mer teoretiska frågan om detta räcker, eller behöver vi införa flera typer av tal för att kunna lösa andra mer komplicerade polynomekvationer. Svaret på den frågan är att det behöver vi inte göra utan det räcker med de komplexa tal. Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss bevisade år 1799 ''algebrans fundamentalsats'' som säger följande:
 <div class="regel">
-Varje polynom av grad $n\ge1$ har minst ett nollställe bland de komplexa talen.
+Varje polynom av grad $\,n\ge1\,$ har minst ett nollställe bland de komplexa talen.
 </div>
 <div class="regel">
-Varje polynom av grad $n\ge1$ har exakt $n$ stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin ''multiplicitet'' *.
+Varje polynom av grad $\,n\ge1\,$ har exakt $\,n\,$ stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin ''multiplicitet''.
 </div>
-( *Ett dubbelt nollställe räknas 2 ggr, trippelnollställe 3 ggr, etc.)
+(Med multiplicitet menas att ett dubbelt nollställe räknas 2 gånger, ett trippelnollställe 3 gånger, osv.)
-Om man håller sig till polynom med reella koefficienter så kan man dessutom visa att
+Notera att dessa satser bara säger att det ''finns'' komplexa rötter till polynom men inte ''hur'' man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller sig till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.
+<div class="exempel">
+'''Exempel 14'''
+<br/>
+<br/>
+Visa att polynomet $\,p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5\,$ har nollställena  $\,x=i\,$  och  $\,x = 2-i\,$. Bestäm därefter övriga nollställen.
+<br/>
+<br/>
+Vi har att
+$$\eqalign{p(i)&=i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\cr p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5}$$
+För att räkna ut det sista uttrycket behöver vi bestämma
+$$\eqalign{(2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\cr (2-i)^3&=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\cr (2-i)^4&= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}}$$
+Detta ger att
+$$\eqalign{p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\cr &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}}$$
+vilket visar att $\,i\,$ och $\,2-i\,$ är nollställen till polynomet.
+Eftersom polynomet har reella koefficienter kan vi direkt säga att de två andra nollställena är komplexkonjugatet av de två första nollställena, dvs. de två andra rötterna är $\,z=-i\,$ och $\,z=2+i\,$.
+</div>
+En konsekvens .....  (fortsättning följer). ((Fast det är väl ingen som läser detta just nu?))
+kan man dessutom visa att
 :- varje polynom av grad $\ge2$  kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella koefficienter.
 $x^3+x^2-2= (x-1)(x^2+2x+2) = (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)$
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 14'''<br\>
-Visa att polynomet $p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5$ har nollställena  $x = i$  och  $x = 2 - i$ .
-Bestäm därefter övriga nollställen.
-<i>Lösning</i>:<br\>
-$p(i)= i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0$
-$p(2-i) = (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5=$
-$\left[\matrix{(2-i)^2 = 4-4i+i^2 = 3-4i \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad\\ (2-i)^3=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i  \qquad \\ (2-i)^4= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i}\right]$
-$=-7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5 = -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0$
-$p(x)$ är av grad $4$ med reella koefficienter. Övriga nollställen är därför konjugaten till $x = i$  och  $x = 2 - i$ , dvs. $x = -i $ och $x = 2 + i$.
 </div>