3.4 Komplexa polynom
Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 4 juli 2007 kl. 14.40 (redigera) KTH.SE:u1tyze7e (Diskussion | bidrag) (Korrekturläst (delvis)) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 5 juli 2007 kl. 08.41 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1tyze7e (Diskussion | bidrag) (Korrekturläst) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 44: | Rad 44: | ||
| Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven | Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven | ||
| - | $$x^2-4x-5=0\,\mbox{.}$$ | + | $$x^2+4x-5=0\,\mbox{.}$$ |
| Genom att addera $\,9\,$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led: | Genom att addera $\,9\,$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led: | ||
| - | $$\eqalign{x^2-4x-5+9&=0+9\,\mbox{,}\cr x^2-4x+4\phantom{{}+9}&=9\,\mbox{.}}$$ | + | $$\eqalign{x^2+4x-5+9&=0+9\,\mbox{,}\cr x^2+4x+4\phantom{{}+9}&=9\,\mbox{.}}$$ |
| Metoden kallas <i>kvadratkomplettering</i>. | Metoden kallas <i>kvadratkomplettering</i>. | ||
| Rad 59: | Rad 59: | ||
| <br/> | <br/> | ||
| Koefficienten framför $\,x\,$ är $\,-6\,$ och det visar att vi måste ha talet $\,(-3)^2=9\,$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $\,2\,$ på båda sidor åstadkommer vi detta: | Koefficienten framför $\,x\,$ är $\,-6\,$ och det visar att vi måste ha talet $\,(-3)^2=9\,$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $\,2\,$ på båda sidor åstadkommer vi detta: | ||
| - | $$\eqalign{x^2-6x+7+2&=2+2\cr x^2-6x+9\phantom{{}+2}&=4\cr \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{}&=4}$$ | + | $$\eqalign{x^2-6x+7+2&=2+2\,\mbox{,}\cr x^2-6x+9\phantom{{}+2}&=4\,\mbox{,}\cr \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{}&=4\,\mbox{.}}$$ |
| Rotutdragning ger sedan att $\,x-3=\pm 2\,$, vilket betyder att $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$. | Rotutdragning ger sedan att $\,x-3=\pm 2\,$, vilket betyder att $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$. | ||
| </li> | </li> | ||
| Rad 67: | Rad 67: | ||
| <br/> | <br/> | ||
| Ekvationen kan skrivas $\,z^2+8z+17=0\,$. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led: | Ekvationen kan skrivas $\,z^2+8z+17=0\,$. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led: | ||
| - | $$\eqalign{z^2+8z+17-1&=0-1\cr z^2+8z+16\phantom{{}-1}&=-1\cr \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{}&=-1}$$ | + | $$\eqalign{z^2+8z+17-1&=0-1\,\mbox{,}\cr z^2+8z+16\phantom{{}-1}&=-1\,\mbox{,}\cr \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{}&=-1\,\mbox{,}}$$ |
| och därför är $\,z+4=\pm\sqrt{-1}\,$. Med andra ord är lösningarna $\,z=-4-i\,$ och $\,z=-4+i\,$. | och därför är $\,z+4=\pm\sqrt{-1}\,$. Med andra ord är lösningarna $\,z=-4-i\,$ och $\,z=-4+i\,$. | ||
| </li> | </li> | ||
| Rad 87: | Rad 87: | ||
| <br/> | <br/> | ||
| Halva koefficienten för $\,x\,$ är $\,-\frac{4}{3}\,$. Vi lägger alltså till $\,\bigl(-\frac{4}{3}\bigr)^2=\frac{16}{9}\,$ i båda led | Halva koefficienten för $\,x\,$ är $\,-\frac{4}{3}\,$. Vi lägger alltså till $\,\bigl(-\frac{4}{3}\bigr)^2=\frac{16}{9}\,$ i båda led | ||
| - | $$\eqalign{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1&=2+{\textstyle\frac{16}{9}}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}}{}+1&={\textstyle\frac{34}{9}}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1}&={\textstyle\frac{25}{9}}}$$ | + | $$\eqalign{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1&=2+{\textstyle\frac{16}{9}}\,\mbox{,}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}}{}+1&={\textstyle\frac{34}{9}}\,\mbox{,}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1}&={\textstyle\frac{25}{9}}\,\mbox{.}}$$ |
| Nu är det enkelt att få fram att $\,x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}\,$ och därmed att $\,x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\,$, dvs. $\,x=-\frac{1}{3}\,$ och $\,x=3\,$. | Nu är det enkelt att få fram att $\,x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}\,$ och därmed att $\,x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\,$, dvs. $\,x=-\frac{1}{3}\,$ och $\,x=3\,$. | ||
| Rad 100: | Rad 100: | ||
| <br/> | <br/> | ||
| Kvadratkomplettering ger | Kvadratkomplettering ger | ||
| - | $$\eqalign{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\cr \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\cr \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}}$$ | + | $$\eqalign{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\cr \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\cr \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}}$$ |
| Detta ger den vanliga formeln, <i>pq-formeln</i>, för lösningar till andragradsekvationer | Detta ger den vanliga formeln, <i>pq-formeln</i>, för lösningar till andragradsekvationer | ||
| $$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}$$ | $$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}$$ | ||
| Rad 116: | Rad 116: | ||
| $$z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}$$ | $$z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}$$ | ||
| Räknar vi ut kvadraten $\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ $ i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås | Räknar vi ut kvadraten $\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ $ i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås | ||
| - | $$\eqalign{(z-(6+2i))^2-4+24i&=32+24i\cr \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{}&=36}$$ | + | $$\eqalign{(z-(6+2i))^2-4+24i&=32+24i\,\mbox{,}\cr \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{}&=36\,\mbox{.}}$$ |
| Efter en rotutdragning har vi att $\ z-(6+2i)=\pm 6\ $ och därmed är lösningarna $\,z=12+2i\,$ och $\,z=2i\,$. | Efter en rotutdragning har vi att $\ z-(6+2i)=\pm 6\ $ och därmed är lösningarna $\,z=12+2i\,$ och $\,z=2i\,$. | ||
| Rad 122: | Rad 122: | ||
| Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis | Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis | ||
| - | $$\eqalign{x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\cr &= (x+5)^2-22}$$ | + | $$\eqalign{x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\cr &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}}$$ |
| Rad 132: | Rad 132: | ||
| <br/> | <br/> | ||
| <br/> | <br/> | ||
| - | Lägg till och dra ifrån termen $\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i$ | + | Lägg till och dra ifrån termen $\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,$, |
| $$\eqalign{z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}}$$ | $$\eqalign{z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}}$$ | ||
| Rad 138: | Rad 138: | ||
| ==Lösning med formel== | ==Lösning med formel== | ||
| - | Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\,\sqrt{a+bi}\,$. Man kan då ansätta | + | Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\,\sqrt{a+ib}\,$. Man kan då ansätta |
| $$z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}$$ | $$z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}$$ | ||
| Genom att kvadrera båda led får vi att | Genom att kvadrera båda led får vi att | ||
| - | $$\eqalign{(x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2yxi &= a+ib\,\mbox{.}}$$ | + | $$\eqalign{(x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}}$$ |
| Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att | Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att | ||
| - | $$\left\{\eqalign{&x^2 - y^2 = a\cr &2xy=b}\right.$$ | + | $$\left\{\eqalign{&x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\cr &2xy=b\,\mbox{.}}\right.$$ |
| Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. $\,y= b/(2x)\,$ som kan sättas in i den första ekvationen. | Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. $\,y= b/(2x)\,$ som kan sättas in i den första ekvationen. | ||
| + | |||
| <div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Rad 154: | Rad 155: | ||
| <br/> | <br/> | ||
| Sätt $\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ $ där $\,x\,$ och $\,y\,$ är reella tal. Kvadrering av båda led ger | Sätt $\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ $ där $\,x\,$ och $\,y\,$ är reella tal. Kvadrering av båda led ger | ||
| - | $$\eqalign{(x+yi)^2 &= -3-4i\cr x^2 - y^2 + 2yxi &= -3-4i}$$ | + | $$\eqalign{(x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}}$$ |
| vilket leder till ekvationssystemet | vilket leder till ekvationssystemet | ||
| $$\Bigl\{\eqalign{x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\cr 2xy&= -4\,\mbox{.}}$$ | $$\Bigl\{\eqalign{x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\cr 2xy&= -4\,\mbox{.}}$$ | ||
| Rad 187: | Rad 188: | ||
| <br/> | <br/> | ||
| Även här ger ''pq''-formeln lösningarna direkt | Även här ger ''pq''-formeln lösningarna direkt | ||
| - | $$z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}$$ | + | $$\eqalign{z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\cr &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}}$$ |
| </li> | </li> | ||
| <br/> | <br/> | ||
| Rad 196: | Rad 197: | ||
| $$\eqalign{z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\cr z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}}$$ | $$\eqalign{z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\cr z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}}$$ | ||
| Applicerar vi sedan ''pq''-formeln så fås att | Applicerar vi sedan ''pq''-formeln så fås att | ||
| - | $$\eqalign{z&=-3+i \pm \sqrt{(-3+i)^2 -(11-2i)}\cr z&=-3+i \pm \sqrt{-3-4i}\cr z&= -3+i\pm(1-2i)}$$ | + | $$\eqalign{z&=-3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\cr z&=-3+i \pm \sqrt{-3-4i}\cr z&= -3+i\pm(1-2i)}$$ |
| - | där vi använt att $\ \sqrt{-3-4i}=\pm(1-2i)\ $ enligt exempel 6. Lösningarna är alltså | + | där vi använt det framräknade värdet på $\ \sqrt{-3-4i}\ $ från exempel 6. Lösningarna är alltså |
| $$z=\biggl\{\eqalign{&-2-i\,\mbox{,}\cr &-4+3i\,\mbox{.}}$$ | $$z=\biggl\{\eqalign{&-2-i\,\mbox{,}\cr &-4+3i\,\mbox{.}}$$ | ||
| </li> | </li> | ||
| Rad 208: | Rad 209: | ||
| $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0$$ | $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0$$ | ||
| - | där $\,n\,$ är ett naturligt tal, kallas ett ''polynom'' av grad $\,n\,$ i en obestämd variabel $\,x\,$. Talet $\,a_1\,$ kallas koefficienten för $\,x\,$, $\,a_2\,$ koefficienten för $\,x^2\,$ , etc. Konstanten $\,a_0\,$ kallas ''konstantterm''. | + | där $\,n\,$ är ett naturligt tal, kallas ett ''polynom'' av grad $\,n\,$ i en obestämd variabel $\,x\,$. Talet $\,a_1\,$ kallas koefficienten för $\,x\,$, $\,a_2\,$ koefficienten för $\,x^2\,$, etc. Konstanten $\,a_0\,$ kallas ''konstanttermen''. |
| Rad 234: | Rad 235: | ||
| Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. $\,37\,$ divideras med $\,5\,$, får man | Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. $\,37\,$ divideras med $\,5\,$, får man | ||
| $$\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}$$ | $$\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}$$ | ||
| - | Uträkningen kan även kan skrivas $\ 37= 7\cdot 5+2\,$. Talet 7 kallas ''kvot'' och talet 2 ''rest''. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2. | + | Uträkningen kan även skrivas $\ 37= 7\cdot 5+2\,$. Talet 7 kallas ''kvot'' och talet 2 ''rest''. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2. |
| Om $\,p(x)\,$ och $\,q(x)\,$ är polynom så kan man på liknande sätt dividera $\,p(x)\,$ med $\,q(x)\,$ och entydigt bestämma polynom $\,k(x)\,$ och $\,r(x)\,$ så att | Om $\,p(x)\,$ och $\,q(x)\,$ är polynom så kan man på liknande sätt dividera $\,p(x)\,$ med $\,q(x)\,$ och entydigt bestämma polynom $\,k(x)\,$ och $\,r(x)\,$ så att | ||
| - | $$\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{f(x)}\,\mbox{,}$$ | + | $$\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}$$ |
| eller $\ p(x)= k(x)\cdot q(x)+r(x)\,$. Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten $\,k(x)\,$ och resten $\,r(x)\,$. | eller $\ p(x)= k(x)\cdot q(x)+r(x)\,$. Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten $\,k(x)\,$ och resten $\,r(x)\,$. | ||
| Rad 263: | Rad 264: | ||
| Anledningen till att vi gör detta är att nu kan deluttrycket $\,x^3+2x^2\,$ skrivas som $\,x^2(x+2)\,$ och förkortas med nämnaren | Anledningen till att vi gör detta är att nu kan deluttrycket $\,x^3+2x^2\,$ skrivas som $\,x^2(x+2)\,$ och förkortas med nämnaren | ||
| $$\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}$$ | $$\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}$$ | ||
| - | Sedan lägger vi till och drar ifrån en lämplig $\,x\,$-term så att $\,x^2\,$-termen kan förkortas bort | + | Sedan lägger vi till och drar ifrån en lämplig $\,x\,$-term så att den ledande $\,x^2\,$-termen i täljaren kan förkortas bort |
| $$\eqalign{x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\cr &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}}$$ | $$\eqalign{x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\cr &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}}$$ | ||
| Det sista steget är att vi lägger till och drar ifrån en konstant | Det sista steget är att vi lägger till och drar ifrån en konstant | ||
| - | $$x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$ | + | $$x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$ |
| Alltså gäller att | Alltså gäller att | ||
| $$\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$ | $$\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$ | ||
| Rad 277: | Rad 278: | ||
| Om $\,q(x)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så gäller alltså att $\,p(x)=k(x)\cdot q(x)\,$. Vi har därmed ''faktoriserat'' $\,p(x)\,$ . Man säger att $\,q(x)\,$ är en faktor i $\,p(x)\,$. Speciellt gäller att om förstagradspolynomet $\,(x-a)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så är $\,(x-a)\,$ en faktor i $\,p(x)\,$ , dvs. | Om $\,q(x)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så gäller alltså att $\,p(x)=k(x)\cdot q(x)\,$. Vi har därmed ''faktoriserat'' $\,p(x)\,$ . Man säger att $\,q(x)\,$ är en faktor i $\,p(x)\,$. Speciellt gäller att om förstagradspolynomet $\,(x-a)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så är $\,(x-a)\,$ en faktor i $\,p(x)\,$ , dvs. | ||
| $$p(x)= q(x)\cdot (x-a)\,\mbox{.}$$ | $$p(x)= q(x)\cdot (x-a)\,\mbox{.}$$ | ||
| - | Eftersom $\ p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0\ $ så betyder detta att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$. Detta är precis innehållet i den s.k. ''faktorsatsen'' | + | Eftersom $\ p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0\ $ så betyder detta att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$. Detta är precis innehållet i den s.k. ''faktorsatsen''. |
| <div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
| Rad 286: | Rad 287: | ||
| Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$ så vet man automatiskt att $\,p(x)\,$ är delbart med $\,(x-a)\,$. | Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$ så vet man automatiskt att $\,p(x)\,$ är delbart med $\,(x-a)\,$. | ||
| + | |||
| <div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Rad 293: | Rad 295: | ||
| Polynomet $\,p(x) = x^2-6x+8\,$ kan faktoriseras som | Polynomet $\,p(x) = x^2-6x+8\,$ kan faktoriseras som | ||
| $$x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$$ | $$x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$$ | ||
| - | och har därför nollställena $\,x=2\,$ och $\,x_2=4\,$ (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen $\ x^2-6x+8 = 0\,$. | + | och har därför nollställena $\,x=2\,$ och $\,x=4\,$ (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen $\ x^2-6x+8 = 0\,$. |
| </div> | </div> | ||
| Rad 314: | Rad 316: | ||
| <br/> | <br/> | ||
| Detta polynom har en dubbelrot | Detta polynom har en dubbelrot | ||
| - | $$x= -3 \pm \sqrt{(-3)^2 -9} = -3$$ | + | $$x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3$$ |
| och därmed är $\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,$. | och därmed är $\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,$. | ||
| </li> | </li> | ||
| Rad 337: | Rad 339: | ||
| <br/> | <br/> | ||
| <br/> | <br/> | ||
| - | Polynomet ska enligt faktorsatsen ha faktorerna $\,(x-1)\,$, $\,(x+1)\,$ och $\,(x-3)\,$. Multiplicerar vi ihop dessa faktorer får vi just ett tredjegradspolynom | + | Polynomet måste enligt faktorsatsen ha faktorerna $\,(x-1)\,$, $\,(x+1)\,$ och $\,(x-3)\,$. Multiplicerar vi ihop dessa faktorer får vi just ett tredjegradspolynom |
| $$(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}$$ | $$(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}$$ | ||
| Rad 343: | Rad 345: | ||
| ==Algebrans fundamentalsats== | ==Algebrans fundamentalsats== | ||
| - | Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen $\,x^2=-1\,$ och man kan nu ställa sig den lite mer teoretiska frågan om detta räcker, eller behöver vi införa flera typer av tal för att kunna lösa andra mer komplicerade polynomekvationer. Svaret på den frågan är att det behöver vi inte göra utan det räcker med de komplexa tal. Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss bevisade år 1799 ''algebrans fundamentalsats'' som säger följande: | + | Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen $\,x^2=-1\,$ och man kan nu ställa sig den lite mer teoretiska frågan om detta räcker, eller behöver vi uppfinna fler typer av tal för att kunna lösa andra mer komplicerade polynomekvationer. Svaret på den frågan är att det behöver vi inte göra utan det räcker med de komplexa talen. Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss bevisade år 1799 ''algebrans fundamentalsats'' som säger följande: |
| <div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
| - | Varje polynom av grad $\,n\ge1\,$ har minst ett nollställe bland de komplexa talen. | + | Varje polynom av grad $\,n\ge1\,$ med komplexa koefficienter har minst ett nollställe bland de komplexa talen. |
| </div> | </div> | ||
| Rad 357: | Rad 359: | ||
| - | Notera att dessa satser bara säger att det ''finns'' komplexa rötter till polynom men inte ''hur'' man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller sig till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade. | + | Notera att dessa satser bara säger att det ''finns'' komplexa rötter till polynom men inte ''hur'' man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller oss till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep som kan hjälpa oss att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade. |
| <div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| - | '''Exempel 14''' | + | '''Exempel 13''' |
| <br/> | <br/> | ||
| <br/> | <br/> | ||
| Rad 368: | Rad 370: | ||
| <br/> | <br/> | ||
| Vi har att | Vi har att | ||
| - | $$\eqalign{p(i)&=i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\cr p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5}$$ | + | $$\eqalign{p(i)&=i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\cr p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}}$$ |
| För att räkna ut det sista uttrycket behöver vi bestämma | För att räkna ut det sista uttrycket behöver vi bestämma | ||
| $$\eqalign{(2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\cr (2-i)^3&=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\cr (2-i)^4&= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}}$$ | $$\eqalign{(2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\cr (2-i)^3&=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\cr (2-i)^4&= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}}$$ | ||
| Rad 381: | Rad 383: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | + | En konsekvens av algebrans fundamentalsats (och faktorsatsen) är att alla polynom kan faktoriseras i en produkt av komplexa förstagradsfaktorer. Detta gäller även polynom med reella koefficienter, men för dessa går det att multiplicera ihop förstagradsfaktorer som hör till komplexkonjugerade rötter och få en faktorisering helt med reella första- och andragradsfaktorer. | |
| - | En konsekvens ..... (fortsättning följer). ((Fast det är väl ingen som läser detta just nu?)) | + | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | kan man dessutom visa att | + | |
| - | + | ||
| - | :- varje polynom av grad $\ge2$ kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella koefficienter. | + | |
| - | :- om ett polynom av grad $2$ saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs. varandras komplexa konjugat. | + | |
| <div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| - | '''Exempel 13'''<br\> | + | '''Exempel 14''' |
| - | Visa att $x = 1$ är ett nollställe till $p(x)= x^3+x^2-2$. Faktorisera därefter $p(x)$ i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer. | + | <br/> |
| - | + | <br/> | |
| - | + | Visa att $\,x=1\,$ är ett nollställe till $\,p(x)= x^3+x^2-2\,$. Faktorisera därefter $\,p(x)\,$ i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer. | |
| - | <i>Lösning</i>:<br\> | + | <br/> |
| - | $p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0 \quad \rightarrow \quad (x-1)$ är en faktor i $p(x) \quad \rightarrow \quad p(x)$ är delbart med $(x-1)$. | + | <br/> |
| - | + | Vi har att $\ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ $ vilket visar att $\,x=1\,$ är ett nollställe till polynomet. Enligt faktorsatsen betyder detta att $\,x-1\,$ är en faktor i $\,p(x)\,$, dvs. att $\,p(x)\,$ är delbar med $\,x-1\,$. Vi delar därför polynomet med $\,x-1\,$ för att få återstående faktor om $\,x-1\,$ bryts ut ur polynomet | |
| - | + | $$\eqalign{\frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\cr &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}}$$ | |
| - | $\displaystyle\frac{x^3+x^2-2}{x-1} = \displaystyle\frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2x-2}{x-1}=$ | + | Alltså har vi att $\ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,$. |
| - | + | ||
| - | $= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2$ | + | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | $p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)$ | + | |
| - | Återstår att faktorisera $x^2+2x+2$ . Ekvationen $x^2+2x+2=0$ har lösningarna <br\> | + | Nu återstår att faktorisera $\,x^2+2x+2\,$. Ekvationen $\,x^2+2x+2=0\,$ har lösningarna |
| - | + | $$x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i$$ | |
| - | $x=-1\pm \sqrt{(-1)^2 -2} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i$ (saknar alltså reella nollställen)<br\> | + | och därför har polynomet följande faktoriseringen i komplexa förstagradsfaktorer |
| + | $$\eqalign{x^3+x^2-2= (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\cr &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}}$$ | ||
| - | $x^3+x^2-2= (x-1)(x^2+2x+2) = (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)$ | ||
| </div> | </div> | ||
| + | </td></tr> | ||
| + | </table> | ||
