2.2 Övningar

Beräkna integralerna

a)	$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{(3x-1)^4}\quad$ genom att använda substitution $u=3x-1$
b)	$\displaystyle \int (x^2+3)^5x \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^2+3$
c)	$\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^3$

Beräkna integralerna

a)	$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos 5x\, dx$	b)	$\displaystyle\int_{0}^{1/2} e^{2x+3}\, dx$
c)	$ \displaystyle\int_{0}^{5} \sqrt{3x + 1} \, dx$	d)	$\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[\scriptstyle3]{1 - x}\, dx$

Ledning b) Använd substitutionen $u=2x+3$
Ledning c) Använd substitutionen $u^2=3x+1$
Ledning d) Använd substitutionen $u^3=1-x$

Beräkna integralerna

a)	$\displaystyle\int 2x \sin x^2\, dx$	b)	$\displaystyle\int \sin x \cos x\, dx$
c)	$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{\ln x}{x}\, dx$	d)	$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2+2x+2}\, dx$
e)	$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{3x}{x^2+1}\, dx$	f)	$\displaystyle\int \displaystyle\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$

Ledning c) $\displaystyle \frac{\ln x}{x}=\ln x\cdot \frac{1}{x}= \ln x \cdot (\ln x)'$
Ledning d, e) $\left(\ln \, f(x)\right)'=\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$
Ledning f) Använd substitutionen $u=\sqrt x$

Använd formeln $$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$$ för att beräkna integralerna

a)	$\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4}$	b)	$\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}$
c)	$ \displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4x+8}$	d)	$\displaystyle\int \frac{x^2}{x^2 +1}\, dx$

Ledning: Substituera så att $x^2+a = au^2+a =a(u^2+1)$