Exempel 1

Bestäm integralen $\displaystyle\int x^2 \cdot \ln x \, dx$.

Lösning

Sätt $\left[\matrix{ f'= x^2 \\ g= \ln x} \right]$ , vilket ger $\left[\matrix {f = x^3/3 \\ g'= 1/x}\right]$ .

$ \displaystyle\int x^2 \cdot \ln x \, dx = \displaystyle \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} \, dx = \displaystyle\frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \int x^2 \, dx =$

$= \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle \frac{x^3}{3} + C = \displaystyle \frac{x^3}{3} \left( \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \right) + C$

Exempel 2

Bestäm $\displaystyle\int x^2 e^x \, dx$

Lösning

Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^x \\ g = x^2} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= e^x \\ g' = 2x} \right]$ .

$$ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx$$

Här krävs ytterligare partiell integration för att lösa den nya integralen $\int 2x e^x \, dx$.

Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^x \\ g = 2x} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= e^x \\ g' = 2} \right]$ .

$$\int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2 e^x + C$$

Den ursprungliga integralen blir alltså:

$$ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C$$

Exempel 3

Bestäm $\displaystyle\int e^x \cos x \, dx$.

Lösning

Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^x \\ g = \cos x} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= e^x \\ g' = - \sin x} \right]$ .

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x + \int e^x \sin x \, dx $$

Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^x \\ g = \sin x} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= e^x \\ g' = \cos x} \right]$ .

$$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx $$

Den ursprungliga integralen dyker här alltså upp igen. Vi får sammantaget:

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx \quad \to \quad \int e^x \cos x \, dx = \frac{e^x}{2} ( \cos x + \sin x) + C$$

Trots att de partiella integrationerna i detta fall inte ledde till någon enklare integral kom vi alltså fram till en ekvation där den ursprungliga integralen kunde ”lösas ut”. Detta är inte helt ovanligt när integranden är en produkt av trigonometriska funktioner och/eller exponentialfunktioner.

Exempel 4

Beräkna integralen $\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{2x}{e^x} \, dx$ .

Lösning

$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx$

Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^{-x} \\ g = 2x} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= - e^{-x} \\ g' = 2} \right]$ .

$ \displaystyle \int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx = \left[ -2x e^{-x} \right]_{0}^{1} + \displaystyle \int_{0}^{1} 2 e^{-x} = \left[ -2x e^{-x} \right]_{0}^{1} + \left[ -2 e^{-x} \right]_{0}^{1} =$

$= (-2 \cdot e^{-1}) - 0 + (- 2\cdot e^{-1}) - (-2) = - \displaystyle \frac{2}{e} - \displaystyle \frac{2}{e} + 2 = 2 - - \displaystyle \frac{4}{e}$

Exempel 5

Beräkna $ \displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx$ .

Lösning

Variabelsubstitution:

Sätt $\left [ \matrix{u= \sqrt{x} \\ du= (1/2 \sqrt{x})\, dx = (1/2u)\, dx \\ 2u\, du = dx} \right]$ .

$ \displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx = \displaystyle \int \ln u \cdot 2u \, du$

Partiell integration:

Sätt $\left [ \matrix{ f' = 2u \\ g = \ln u} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= u^2 \\ g' = 1/u} \right]$ .

$ \displaystyle \int \ln u \cdot 2u \, du = u^2 \ln u - \displaystyle \int u^2 \cdot \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \displaystyle \int u\, du = u^2 \ln u - \displaystyle \frac{u^2}{2} + C =$

$= x \ln \sqrt{x} - \displaystyle \frac {x}{2} + C = x \left( \ln \sqrt{x} - \displaystyle \frac{1}{2} \right) + C$