2.2 Variabelsubstitution
Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.06 (redigera) KTH.SE:u1rp004j (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 16 juni 2007 kl. 14.09 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1tyze7e (Diskussion | bidrag) (Korrekturläst) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 8: | Rad 8: | ||
| {{Info| | {{Info| | ||
| - | '''Färdigheter:''' | + | '''Lärandemål:''' |
| Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | ||
| - | * Förstå härledningen av formeln för variabelsubstitution | + | * Förstå härledningen av formeln för variabelsubstitution. |
| - | * Lösa enklare integrationsproblem som kräver omskrivning och/eller substitution i ett steg | + | * Lösa enklare integrationsproblem som kräver omskrivning och/eller substitution i ett steg. |
| - | * Veta hur integrationsgränserna ändras under variabelsubstitution | + | * Veta hur integrationsgränserna ändras under variabelsubstitution. |
| - | * Veta när en variabelsubstitution är tillåten | + | * Veta när en variabelsubstitution är tillåten. |
| }} | }} | ||
| Rad 31: | Rad 31: | ||
| ==Variabelsubstitution== | ==Variabelsubstitution== | ||
| - | När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är ''variabelsubstitution'', vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner – den s.k. ''kedjeregeln''. | + | När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är ''variabelsubstitution'', vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner — den s.k. ''kedjeregeln''. |
| + | Kedjeregeln $\ \displaystyle \frac{d}{dx}\,f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \cdot u'(x)\ \ $ kan i integralform skrivas | ||
| + | $$ \displaystyle \int f^{\,\prime}(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = f(u(x)) + C$$ | ||
| + | eller, | ||
| <div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
| - | Kedjeregeln, $ \quad \displaystyle \frac{d}{dx} f(u(x)) = f' (u(x)) \cdot u'(x)$ | + | $$ \displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}$$ |
| </div> | </div> | ||
| + | där $\,F\,$ är en primitiv funktion till $\,f\,$. Jämför vi denna formel med | ||
| + | $$ \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{,}$$ | ||
| - | kan i integralform skrivas | + | så kan vi se det som att vi ersätter uttrycket $\,u(x)\,$ med variabeln $\,u\,$ och $\,u'(x)\, dx\,$ med $\,du\,$. Man kan alltså omvandla den krångligare integranden $\,f(u(x)) \cdot u'(x)\,$ (med $\,x\,$ som variabel) med den förhoppningsvis enklare $\,f(u)\,$ (med $\,u\,$ som variabel). |
| - | $$ \displaystyle \int f'(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = f(u(x)) + C$$ | + | Metoden kallas variabelsubstitution och kan användas när integranden kan skrivas på formen $\,f(u(x)) \cdot u'(x)\,$. |
| - | + | ||
| - | eller, | + | |
| - | + | ||
| - | $$ \displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C \quad \mbox{,}$$ | + | |
| - | + | ||
| - | där $F$ är en primitiv funktion till $f$. | + | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | Eftersom | + | |
| - | $$ \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C \quad \mbox{,}$$ | + | |
| - | + | ||
| - | så får man | + | |
| - | + | ||
| - | $$\displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C$$ | + | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | Om man ersätter uttrycket $u(x)$ med variabeln $u$ och $u'(x)\, dx$ med $du$, kan man alltså omvandla den krångligare integranden $f(u(x)) \cdot u'(x)$ (med $x$ som variabel) med den förhoppningsvis enklare $f(u)$ (med $u$ som variabel). | + | |
| - | Metoden kallas variabelsubstitution och kan användas när integranden kan skrivas på formen $f(u(x)) \cdot u'(x)$. | + | |
| ''Anm.''1<br> | ''Anm.''1<br> | ||
| - | Metoden bygger naturligtvis på att alla förutsättningar för integrering är uppfyllda; att $u(x)$ är deriverbar i det aktuella intervallet, samt att $f$ är definierad och kontinuerlig i värdemängden till $u$, dvs. för alla värden som $u$ kan anta i intervallet. | + | Metoden bygger naturligtvis på att alla förutsättningar för integrering är uppfyllda; att $\,u(x)\,$ är deriverbar i det aktuella intervallet, samt att $\,f\,$ är kontinuerlig i värdemängden till $\,u\,$, dvs. för alla värden som $\,u\,$ kan anta i intervallet. |
| ''Anm.''2<br> | ''Anm.''2<br> | ||
| - | Att ersätta $u'(x) \, dx$ med $du$ kan också motiveras genom att studera övergången från differenskvot till derivata: | + | Att ersätta $\,u'(x) \, dx\,$ med $\,du\,$ kan också motiveras genom att studera övergången från differenskvot till derivata: |
| - | $$\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \frac{\Delta u}{\Delta x} = \displaystyle \frac{du}{dx} = u'(x)$$ | + | $$\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \frac{\Delta u}{\Delta x} = \displaystyle \frac{du}{dx} = u'(x)\,\mbox{,}$$ |
| - | vilket när $\Delta x$ går mot noll kan betraktas som att | + | vilket när $\,\Delta x\,$ går mot noll kan betraktas som en formell gränsövergång |
| - | $$\Delta u = u'(x) \Delta x \quad \to \quad du = u'(x) \, dx$$ | + | $$\Delta u \approx u'(x) \Delta x \quad \to \quad du = u'(x) \, dx\,\mbox{,}$$ |
| - | dvs., en liten ändring, $dx$, i variabeln $x$ ger upphov till ändringen $u'(x)\,dx$ i variabeln $u$. | + | dvs., en liten ändring, $\,dx\,$, i variabeln $\,x\,$ ger upphov till en ungefärlig ändring $\,u'(x)\,dx\,$ i variabeln $\,u\,$. |
| Rad 78: | Rad 65: | ||
| '''Exempel 1''' | '''Exempel 1''' | ||
| - | Bestäm integralen $ \displaystyle \int 2 x e^{x^2} \, dx$. | + | Bestäm integralen $ \displaystyle\ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx$. |
| - | + | <br> | |
| - | + | <br> | |
| - | '''Lösning''' | + | Om man sätter $\,u(x)= x^2\,$, så blir $\,u'(x)= 2x\,$. Vid variabelbytet ersätts då $\,e^{x^2}\,$ med $\,e^u\,$ och $\,u'(x)\,dx\,$, dvs. $\,2x\,dx\,$, med $\,du\,$ |
| - | + | $$ \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}$$ | |
| - | Om man sätter $u(x)= x^2$ , så blir $u'(x)= 2x$. | + | |
| - | Vid variabelbytet ersätts då $e^{x^2}$ med $e^u$ och $u'(x)\, dx$, dvs. $2x \, dx$ med $du$. | + | |
| - | + | ||
| - | $$ \int 2 x e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$$ | + | |
| </div> | </div> | ||
| Rad 93: | Rad 76: | ||
| '''Exempel 2''' | '''Exempel 2''' | ||
| - | Bestäm $\quad \displaystyle \int (x^3 + 1)^3 \cdot x^2 \, dx$ | + | Bestäm integralen $\ \displaystyle \int (x^3 + 1)^3 \cdot x^2 \, dx\,$. |
| - | + | <br> | |
| - | + | <br> | |
| - | '''Lösning''' | + | Sätt $\,u=x^3 + 1\,$. Då blir $\,u'=3x^2\,$, eller $\,du= 3x^2\, dx\,$, och |
| - | + | $$\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx = \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du = \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}$$ | |
| - | Sätt $u=x^3 + 1$ | + | |
| - | + | ||
| - | Då blir $u'=3x^2$ , eller $du= 3x^2\, dx$ | + | |
| - | + | ||
| - | $$\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx = \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du = \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C$$ | + | |
| </div> | </div> | ||
| Rad 109: | Rad 87: | ||
| '''Exempel 3''' | '''Exempel 3''' | ||
| - | Bestäm $\quad \displaystyle \int \tan x \, dx \quad$ $\quad, (-\displaystyle \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2})$ | + | Bestäm integralen $\ \displaystyle \int \tan x \, dx\ \ $ där $\,-\pi/2 < x < \pi/2\,$. |
| - | + | <br> | |
| - | + | <br> | |
| - | '''Lösning''' | + | Efter en omskrivning av $\,\tan x\,$ substituerar vi $\,u=\cos x\,$ |
| - | $$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\matrix{u= \cos x \\ u' = - \sin x \\ du= - \sin x \, dx}\right] = \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C$$ | + | $$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\eqalign{u&= \cos x\cr u' &= - \sin x\cr du&= - \sin x \, dx}\,\right] = \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}$$ |
| </div> | </div> | ||
| Rad 126: | Rad 104: | ||
| '''Exempel 4''' | '''Exempel 4''' | ||
| - | Beräkna integralen $\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx$. | + | Beräkna integralen $\ \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx$. |
| ''Metod'' 1 | ''Metod'' 1 | ||
| - | Sätt $u=e^x \quad \to \quad u'= e^x \quad \to \quad du= e^x\, dx$ | + | Sätt $\,u=e^x\,$ vilket ger att $\,u'= e^x\,$ och $\,du= e^x\,dx$ |
| - | + | $$\eqalign{\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\cr &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}}$$ | |
| - | $\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{x=0}^{x=2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du = \left[ \ln |1+ u | \right]_{x=0}^{x=2} = \left[ \ln (1+ e^x) \right]_{0}^{2} = \ln (1+ e^x) - \ln 2 = \ln \left(\displaystyle \frac{1+ e^2}{2} \right)$ | + | Observera att integrationsgränserna måste skrivas $\,x = 0\,$ och $\,x = 2\,$ när integrationsvariabeln inte är $\,x\,$. Det vore fel att skriva |
| - | + | $$\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ osv.}$$ | |
| ''Metod'' 2 | ''Metod'' 2 | ||
| - | Sätt $u=e^x \quad \to \quad u'= e^x \quad \to \quad du= e^x\, dx$ | + | Sätt $\,u=e^x\,$ vilket ger att $\,u'= e^x\,$ och $\,du= e^x\, dx\,$. Integrationsgränsen $\,x=0\,$ motsvaras då av $\,u=e^0 = 1\,$ och $\,x=2\,$ motsvaras av $\,u=e^2\,$ |
| + | $$\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}$$ | ||
| + | |||
| - | $x=0$ motsvaras då av $u=e^0 = 1$ , $x = 2$ motsvaras av $u=e^2$ | ||
| - | |||
| - | $\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{1}^{e^2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du = \left[ \ln |1+ u | \right]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^x) - \ln 2 = \ln \left(\displaystyle \frac{1+ e^2}{2} \right)$ | ||
| - | |||
| - | Observera att integrationsgränserna i metod 1 måste skrivas $x = 0$ och $x = 2$ där variabeln inte är $x$. Det vore fel att skriva | ||
| - | |||
| - | $$\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ osv.}$$ | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 156: | Rad 129: | ||
| [[Bild:Integral20.gif|200px|right]] | [[Bild:Integral20.gif|200px|right]] | ||
| - | Beräkna integralen $ \quad \displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx$. | + | Beräkna integralen $ \ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x \, dx\,$. |
| + | <br> | ||
| + | <br> | ||
| + | Substitutionen $\,u=\sin x\,$ ger att $\,du=\cos x\,dx\,$ och integrationsgränserna förändras till $\,u=\sin 0=0\,$ och $\,u=\sin(\pi/2)=1\,$. Integralen blir | ||
| + | $$\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx= \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[ {\textstyle\frac{1}{4}}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = {\textstyle\frac{1}{4}} - 0 = {\textstyle\frac{1}{4}}\,\mbox{.}$$ | ||
| - | '''Lösning''' | ||
| - | Substitutionen $\left[\matrix{u= \sin x \\ u' = \cos x \\ du= \cos x \, dx}\right]$ | + | (Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.) |
| - | och $\left[\matrix{ x=0 \to u=\sin 0 = 0 \\ x=\displaystyle \frac{\pi}{2} \to u= \sin \frac{\pi}{2} = 1} \right]$ ger | ||
| - | |||
| - | $\displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx= \displaystyle \int_{0}^{1} u^3 du = \left[ \displaystyle \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{4} - 0 = \displaystyle \frac{1}{4}$ | ||
| - | |||
| - | |||
| - | (Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.) | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 179: | Rad 149: | ||
| Betrakta beräkningen | Betrakta beräkningen | ||
| - | $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{ \cos x} {\sin^2 x} dx = \left[ \matrix{ u = \sin x \\ du = \cos x \, dx \\ u(- \frac{\pi}{2}) = -1 \\ u (\frac{\pi}{2}) = 1} \right ] = \displaystyle \int_{-1}^{1} \displaystyle \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\displaystyle \frac{1}{u} \right]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2$ | + | $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{ \cos x} {\sin^2 x}\, dx = \left[\,\eqalign{ &u = \sin x\cr &du = \cos x \, dx\cr &u(-\pi/2) = -1\cr &u (\pi/2) = 1}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}$$ |
| [[Bild:Integral21.gif|200px|right]] | [[Bild:Integral21.gif|200px|right]] | ||
| - | Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på | + | Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på att $\,f(u)=1/u^2\,$ inte är kontinuerlig i '''hela''' intervallet $\,[-1,1]\,$. |
| - | att $f(u)= \displaystyle \frac{1}{u^2}$ inte är kontinuerlig i intervallet $[-1, 1]$ (se fig.). | + | |
| + | Villkoret att $\,f(u(x))\,$ ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som $u(x)$ kan anta i det aktuella intervallet behövs om man vill vara säker på att substitutionen $\,u=u(x)\,$ ska fungera. | ||
| + | |||
| - | Villkoret att $f(u(x))$ ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som $u(x)$ kan anta i det | ||
| - | aktuella intervallet är alltså nödvändigt för att | ||
| - | substitutionen $u=u(x)$ ska fungera. | ||
