3.1 Räkning med komplexa tal

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 12 juni 2007 kl. 08.35 (redigera)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(→Definition av komplext tal)
← Gå till föregående ändring		 Versionen från 12 juni 2007 kl. 08.36 (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(→Inledning)
Gå till nästa ändring →
Rad 33: Rad 33:
De reella talen utgör en fullst&auml;ndig mängd av tal i den meningen att de fyller tallinjen, dvs. det finns inga "hål" i den reella tallinjen. Trots detta räcker de reella talen inte till som lösningar till alla algebraiska ekvationer, dvs. det finns ekvationer av typen<br\> De reella talen utgör en fullst&auml;ndig mängd av tal i den meningen att de fyller tallinjen, dvs. det finns inga "hål" i den reella tallinjen. Trots detta räcker de reella talen inte till som lösningar till alla algebraiska ekvationer, dvs. det finns ekvationer av typen<br\>
-<div align="center">$a_0+a_1x+a_2x^2+\mbox{...}+a_nx^n=0$</div><br\> + 
 +&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 +$a_0+a_1x+a_2x^2+\mbox{...}+a_nx^n=0$<br\>
som inte har någon lösning bland de reella talen. Exempelvis har ekvationen $x^2+1=0$ ingen reell lösning, eftersom inget reellt tal uppfyller att $x^2=-1$. Om vi däremot kan tänka oss $\sqrt{-1}$ som det tal som uppfyller ekvationen $x^2=-1$ och tillåter oss att räkna med $\sqrt{-1}$ som vilket tal som helst, så visar det sig att alla algebraiska ekvationer har lösningar. <br\> som inte har någon lösning bland de reella talen. Exempelvis har ekvationen $x^2+1=0$ ingen reell lösning, eftersom inget reellt tal uppfyller att $x^2=-1$. Om vi däremot kan tänka oss $\sqrt{-1}$ som det tal som uppfyller ekvationen $x^2=-1$ och tillåter oss att räkna med $\sqrt{-1}$ som vilket tal som helst, så visar det sig att alla algebraiska ekvationer har lösningar. <br\>
$\sqrt{-1}$ är alltså inget reellt tal; vi kan inte gå ut i naturen och uppmäta $\sqrt{-1}$ någonstans, eller hitta något som är $\sqrt{-1}$ till antalet, men vi kan ändå ha nytta av talet i högst reella sammanhang. $\sqrt{-1}$ är alltså inget reellt tal; vi kan inte gå ut i naturen och uppmäta $\sqrt{-1}$ någonstans, eller hitta något som är $\sqrt{-1}$ till antalet, men vi kan ändå ha nytta av talet i högst reella sammanhang.

Versionen från 12 juni 2007 kl. 08.36

Innehåll:

  • Real- och imaginärdel
  • Addition och subtration av komplexa tal
  • Komplexkonjugat
  • Multiplikation och division av komplexa tal

Färdigheter:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Beräkna uttryck som innehåller komplexa tal och är uppbyggd av de fyra räknesätten
  • Lösa komplexa förstagradsekvationer och förenkla svaret



Övningar

Innehåll

Inledning

De reella talen utgör en fullständig mängd av tal i den meningen att de fyller tallinjen, dvs. det finns inga "hål" i den reella tallinjen. Trots detta räcker de reella talen inte till som lösningar till alla algebraiska ekvationer, dvs. det finns ekvationer av typen

                     $a_0+a_1x+a_2x^2+\mbox{...}+a_nx^n=0$
som inte har någon lösning bland de reella talen. Exempelvis har ekvationen $x^2+1=0$ ingen reell lösning, eftersom inget reellt tal uppfyller att $x^2=-1$. Om vi däremot kan tänka oss $\sqrt{-1}$ som det tal som uppfyller ekvationen $x^2=-1$ och tillåter oss att räkna med $\sqrt{-1}$ som vilket tal som helst, så visar det sig att alla algebraiska ekvationer har lösningar.
$\sqrt{-1}$ är alltså inget reellt tal; vi kan inte gå ut i naturen och uppmäta $\sqrt{-1}$ någonstans, eller hitta något som är $\sqrt{-1}$ till antalet, men vi kan ändå ha nytta av talet i högst reella sammanhang.

Exempel 1 Om vi skulle vilja ta reda på summan av rötterna (lösningarna) till ekvationen $x^2-2x+2=0$ så får vi först lösningarna $x_1=1+\sqrt{-1}$ och $x_1=1-\sqrt{-1}$. Dessa rötter innehåller det icke-reella talet $\sqrt{-1}$. Om vi för en stund tillåter oss att räkna med $\sqrt{-1}$ så ser vi att summan av $x_1$ och $x_2$ blir $1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2$ , alltså ett högst reellt tal.
För att lösa vårt problem var vi här tvungna att tillfälligtvis använda tal som inte är reella för att komma fram till den reella lösningen.

Definition av komplext tal

Man inför den imaginära enheten $i=\sqrt{-1}$ och definierar ett komplext tal som ett objekt som kan skrivas på formen

                     $a+bi$
där $a,\, b$ är reella tal och $i$ uppfyller $i^2=-1$.
Om $a = 0$ så kallas talet "rent imaginärt". Om $b = 0$ så är talet reellt. Vi ser här att de reella talen utgör en delmängd av de komplexa talen. Mängden av de komplexa talen betecknas med $Z$.
För ett godtyckligt komplext tal använder man ofta beteckningen $z$. Om $z=a+bi$, där $a$ och $b$ är reella, så kallas $a$ för realdelen och $b$ för imaginärdelen av $z$. Man använder följande skrivsätt:

                     $a = \mbox{Re} \, z$

                     $b=\mbox{Im} \, z$

När man räknar med komplexa tal gör man i princip som med de reella talen, men håller reda på att $i^2=-1$ .

Addition och subtraktion

Vid addition och subtraktion av komplexa tal lägger man ihop (drar ifrån) realdel och imaginärdel var för sig. Om $z=a+bi$ och $w=c+di$ är två komplexa tal gäller alltså att

                     $z+w=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i$

                     $z-w=a+bi-(c+di)=a-c+(b-d)i$




Exempel 2

a) $(3-5i)+(-4+i)=-1-4i$

b) $\left(\displaystyle\frac{1}{2}+2i\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{6}+3i\right)=\displaystyle\frac{1}{3}-i$

c) $\left(\displaystyle\frac{3+2i}{5}\right)-\left(\displaystyle\frac{3-i}{2}\right)=\left(\displaystyle\frac{6+4i}{10}\right)-\left(\displaystyle\frac{15-5i}{10}\right)=\displaystyle\frac{-9-9i}{10}=-0,\!9+0,\!9i$

...

teori

$$ fristående formel dubbla dollar \sum_{i=a}^b x_i$$

teori igen

Tips: å här är världens tips asså

teori, vad skulle vi göra utan det

Viktig regel: $$dubbeldollar$$

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

  1. $matte$

  2. text

teori igen

Råd för inläsning

Tänk på att:

text

Lästips

stående

Länktips

stående


© Copyright 2007, math.se




Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.1_R%C3%A4kning_med_komplexa_tal
Personliga verktyg