1.3 Övningar
Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 18 juni 2007 kl. 07.59 (redigera) KTH.SE:u1tyze7e (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 18 juni 2007 kl. 11.43 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1tyze7e (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 94: | Rad 94: | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left" valign="top"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$x=1\,$ (lokal minimipunkt)</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$x=\frac{3}{2}\,$ (lokal maximipunkt)</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | <tr align="left" valign="top"> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$x=-2\,$ (lokal maximipunkt)<br> $x=1\,$ (lokal minimipunkt)</td> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">lokal extrempunkt saknas</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 175: | Rad 198: | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left" valign="top"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$x=0\,$ (lokal maximipunkt)</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$x=-\frac{1}{3}\ln\frac{5}{3}\,$ (lokal minimipunkt)</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | <tr align="left" valign="top"> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$x=1/e\,$ (lokal minimipunkt)</td> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt)<br>$x=0\,$ (lokal minimipunkt)<br>$x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt)</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | <tr align="left" valign="top"> | ||
| + | <td class="ntext">e)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$x=-3\,$ (lokal minimipunkt)<br>$x=-2\,$ (lokal maximipunkt)<br>$x=1\,$ (lokal minimipunkt)<br>$x=3\,$ (lokal maximipunkt)</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 261: | Rad 312: | ||
| <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | + | <tr><td height="5px"/>$P = \bigl(1/\sqrt{3},2/3\bigr)$</tr> |
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 278: | Rad 329: | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| + | |||
| ==Övning 1.3:5== | ==Övning 1.3:5== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Ur en cirkulär skiva skärs en cirkelsektor bort och de två radiella kanter som uppstår fästs ihop så att man får en konformad strut. Hur stor vinkel ska den borttagna cirkelsektorn ha för att konen ska få maximal volym? | + | En $30$ cm bred pilt ska användas för att tillverka en ränna. Parallellt med plåtens långsidor viks kanterna upp enligt figuren. Hur stor ska vinkeln $\alpha$ vara för att ränna ska rymma så mycket vatten som möjligt? <br\> |
| + | <div align="center">[[Bild:O_1_3_6.gif]]</div> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 291: | Rad 344: | ||
| <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | + | <tr><td height="5px"/>$\alpha=\pi/6$</tr> |
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 311: | Rad 364: | ||
| ==Övning 1.3:6== | ==Övning 1.3:6== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | En $30$ cm bred pilt ska användas för att tillverka en ränna. Parallellt med plåtens långsidor viks kanterna upp enligt figuren. Hur stor ska vinkeln $\alpha$ vara för att ränna ska rymma så mycket vatten som möjligt? <br\> | + | En plåtmugg som har formen av en rät cirkulär cylinder ska tillverkas. Vilken radie och höjd ska muggen ha om man vill att den har en bestämd volym $V$ samtidigt som man använder så lite plåt som möjligt. |
| - | <div align="center">[[Bild:O_1_3_6.gif]]</div> | + | |
| </div> | </div> | ||
| Rad 322: | Rad 374: | ||
| <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | + | <tr><td height="5px"/>radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ </tr> |
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 342: | Rad 394: | ||
| ==Övning 1.3:7== | ==Övning 1.3:7== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | En plåtmugg som har formen av en rät cirkulär cylinder ska tillverkas. Vilken radie och höjd ska muggen ha om man vill att den har en bestämd volym $V$ samtidigt som man använder så lite plåt som möjligt. | + | Ur en cirkulär skiva skärs en cirkelsektor bort och de två radiella kanter som uppstår fästs ihop så att man får en konformad strut. Hur stor vinkel ska den borttagna cirkelsektorn ha för att konen ska få maximal volym? |
| </div> | </div> | ||
| Rad 352: | Rad 404: | ||
| <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | + | <tr><td height="5px"/>Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort.</tr> |
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
Versionen från 18 juni 2007 kl. 11.43
Innehåll |
Övning 1.3:1
Bestäm kritiska punkter, terasspunkter, lokala extrempunkter och globala extrempunkter. Ange också de intervall där funktionen är strängt växande respektive strängt avtagande.
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
d) |  |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
Övning 1.3:2
Bestäm lokala extrempunkter och skissera funktionsgrafen till
| a) | $f(x)= x^2 -2x+1$ | b) | $f(x)=2+3x-x^2$ |
| c) | $f(x)= 2x^3+3x^2-12x+1$ | d) | $f(x)=x^3-9x^2+30x-15$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $x=1\,$ (lokal minimipunkt) | b) | $x=\frac{3}{2}\,$ (lokal maximipunkt) |
| c) | $x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt) |
d) | lokal extrempunkt saknas |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
Övning 1.3:3
Bestäm alla lokala extrempunkter till
| a) | $f(x)=-x^4+8x^3-18x^2$ | b) | $f(x)=e^{-3x} +5x$ |
| c) | $f(x)= x\ln x -9$ | d) | $f(x)=\displaystyle\frac{1+x^2}{1+x^4}$ |
| e) | $f(x)=(x^2-x-1)e^x$ då $-3\le x\le 3$ | ||
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $x=0\,$ (lokal maximipunkt) | b) | $x=-\frac{1}{3}\ln\frac{5}{3}\,$ (lokal minimipunkt) |
| c) | $x=1/e\,$ (lokal minimipunkt) | d) | $x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt) $x=0\,$ (lokal minimipunkt) $x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt) |
| e) | $x=-3\,$ (lokal minimipunkt) $x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt) $x=3\,$ (lokal maximipunkt) |
||
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
Lösning e)
Lösning till delfråga e)
Övning 1.3:4
Var på kurvan $y=1-x^2$ i första kvadranten ska punkten $P$ väljas för att rektangeln i figuren till höger ska ha maximal area?
Facit
| Svar |
| $P = \bigl(1/\sqrt{3},2/3\bigr)$ |
Lösning
Övning 1.3:5
En $30$ cm bred pilt ska användas för att tillverka en ränna. Parallellt med plåtens långsidor viks kanterna upp enligt figuren. Hur stor ska vinkeln $\alpha$ vara för att ränna ska rymma så mycket vatten som möjligt?
Facit
| Svar |
| $\alpha=\pi/6$ |
Lösning
Övning 1.3:6
En plåtmugg som har formen av en rät cirkulär cylinder ska tillverkas. Vilken radie och höjd ska muggen ha om man vill att den har en bestämd volym $V$ samtidigt som man använder så lite plåt som möjligt.
Facit
| Svar |
| radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ |
Lösning
Övning 1.3:7
Ur en cirkulär skiva skärs en cirkelsektor bort och de två radiella kanter som uppstår fästs ihop så att man får en konformad strut. Hur stor vinkel ska den borttagna cirkelsektorn ha för att konen ska få maximal volym?
Facit
| Svar |
| Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort. |
Lösning
