3.4 Komplexa polynom

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 28 juni 2007 kl. 12.15

Innehåll:

Faktorsatsen
Polynomdivision
Algebrans fundamentalsats

Färdigheter:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Utföra polynomdivision
Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom
Veta att en polynomekvation av grad $n$ har $n$ rötter (räknade med multiplicitet)
Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter

Övningar

Kvadratkomplettering

Kvadreringsreglerna, $\qquad \left\{ \begin{matrix} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{matrix} \right.$
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck.
Exempelvis är

$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\;$ och
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$

Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.

$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+4x+4=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (x+2)^2=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x+2=\pm 3$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x=-2\pm 3,\quad$ dvs $\quad x_1=1 \quad$ och $\quad x_2=-5$

Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven

$$x^2-4x-5=0$$

Genom att addera $9$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:

$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-4x-5+9=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-4x+4=9\quad$ osv.
Metoden kallas kvadratkomplettering.

Exempel 1
Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering:

$\quad x^2-6x+7=2$
$\quad z^2+21=4-8z$

Lösning:

Koefficienten framför $x$, dvs. $-6$, visar att vi måste ha talet $(-3)^2=9$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $2$ på båda sidor åstadkommer vi detta:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+7+2=2+2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+9=4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (x-3)^2=4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x-3=\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x=3\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x_1=5, \; x_2=1$
Ekvationen kan skrivas $z^2+8z+17=0$.
Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+8z+16=-1$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (z+4)^2=-1$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z+4=\pm \sqrt{-1}=\pm i\quad\Rightarrow\quad z=-4\pm i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Rightarrow\quad z_1=-4+i, \; z_2=-4-i$

Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.
Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.

Exempel 2
Lös ekvationen $\;\displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2$.
Lösning:
Halva koefficienten för $x$ är $\displaystyle -\frac{4}{3}$. Vi lägger alltså till $\displaystyle \left(-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}$ i båda led:

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}+1=2+\frac{16}{9}$

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2+1=\frac{34}{9}$

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad x_1=3,\; x_2=-\frac{1}{3}$

Exempel 3
Lös ekvationen $\; x^2+px+q=0$.

Lösning:
Kvadratkomplettering ger
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2+q=\left(\frac{p}{2}\right)^2$

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

vilket är den vanliga formeln, PQ-formeln, för lösning av andragradsekvationer.

Exempel 4
Lös ekvationen $z^2-(12+4i)z-4+24i=0$.

Lösning:
Halva koefficienten för $z$ är $-(6+2i)$. Kvadratkomplettering ger

$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left( \; (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i \; \right)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2-4+24i=32+24i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2=36$
$\qquad\qquad\qquad\qquad z-(6+2i)=\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z=(6+2i)\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z_1=12+2i, \; z_2=2i$

Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis

$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+10x+3$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+3+25-25$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+25+3-25$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =(x+5)^2-22$

Exempel 5
Kvadratkomplettera uttrycket $\; z^2+(2-4i)z+1-3i$.

Lösning:
Lägg till och dra ifrån termen $\displaystyle \left(\frac{2-4i}{2}\right)^2=(1-2i)^2=-3-4i\;$ :

$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(1-2i)^2+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(-3-4i)+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2+4+i$

Lösning med formel

Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\sqrt{a+bi}$ . Man kan då göra på följande sätt:

Ansätt $\quad \matrix {z=x+yi=\sqrt{a+bi} \\ \rightarrow (x+yi)^2 = a+bi \\ \quad x^2 - y^2 + 2yxi = a+bi}$

Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att

Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. som kan insättes i den första ekvationen.

Exempel Beräkna .

Lösning: Sätt (x, y reella tal). Kvadrering av båda led ger

vilket leder till ekvationssystemet

Insättning i den första ekvationen ger

Denna ekvation kan lösas genom att sätta :

vilket ger att t = 1 eller t = 4 , vilket dock förkastas, eftersom x och y är reella tal.

Vi har alltså kommit fram till att

Exempel Lös ekvationerna a) b) c)

Lösning: a) b) c) Division med i ger

	        ( enligt exemplet ovan)

Polynom och ekvationer

Ett uttryck på formen

där n är ett naturligt tal, kallas ett polynom av grad n i en obestämd variabel x. Talet kallas koefficienten för x, koefficienten för , etc. kallas konstantterm. Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.

Exempel Jämför följande polynom och heltal, (ett heltal i basen 10) (ett polynom i x) och följande divisioner, eftersom eftersom

Om är ett polynom av grad n så kallas en polynomekvation av grad n. Om är ett tal sådant att så kallas en rot, eller lösning till ekvationen. Man säger också att är ett nollställe till . Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. 37 divideras med 5, får man , vilket även kan skrivas

Talet 7 kallas kvot och talet 2 rest. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2. Om och är polynom så kan man på liknande sätt dividera med och entydigt bestämma polynom och så att , eller

Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten och resten .

Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt: Om så är delbart med , eller, är en delare till . Man skriver

Polynomdivision

Om är ett polynom med högre grad än polynomet så kan man dividera med . Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multiplar av från tills den återstående täljaren har lägre grad än i nämnaren.

Exempel

och

Alltså gäller att , eller

Kvoten . Divisionen går inte jämnt upp, dvs. är inte en delare till .

Samband mellan faktorer och nollställen Om är en delare till så gäller alltså att . Vi har därmed faktoriserat . Man säger att är en faktor i . Speciellt gäller att om förstagradspolynomet är en delare till så är en faktor i , dvs.

Eftersom så måste detta betyda att då är ett nollställe till . Detta är precis innehållet i den s.k. faktorsatsen:

 är en delare till polynomet   om och endast om   är ett   
 nollställe till  , dvs.

Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att är ett nollställe till så vet man automatiskt att är delbart med .

Exempel

  kan faktoriseras

och har därför nollställena och (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen , nämligen

Exempel Faktorisera följande polynom: a) b) c)

Lösning: Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer. a)

b) (dubbelrot)

Exempel Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena 1, 1 och 3.

Lösning: Polynomet ska enligt faktorsatsen ha faktorerna .

Algebrans fundamentalsats Införandet av de komplexa talen innebär att varje polynomekvation har en lösning. Detta är innehållet i algebrans fundamentalsats, som bevisades av Gauss 1799:

Varje polynom av grad har minst ett nollställe bland de komplexa talen.

Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:

Varje polynom av grad har exakt n stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin multiplicitet *.

( *Ett dubbelt nollställe räknas 2 ggr, trippelnollställe 3 ggr, etc.)

Om man håller sig till polynom med reella koefficienter så kan man dessutom visa att

- varje polynom av grad kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella

 	   koefficienter.
 	- om ett polynom av grad 2 saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs. 
 	   varandras komplexa konjugat.

Exempel Visa att x = 1 är ett nollställe till . Faktorisera därefter i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.

Lösning:

 är en faktor i              är delbart med (x  1).

Återstår att faktorisera . Ekvationen har lösningarna

   (saknar alltså reella nollställen)

Exempel Visa att polynomet har nollställena x = i och x = 2  i . Bestäm därefter övriga nollställen.

Lösning:

 är av grad 4 med reella koefficienter. Övriga nollställen är därför konjugaten till x = i  och  x = 2  i , dvs. x = i och x = 2 + i.

==Lösning med formel==

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.4_Komplexa_polynom

3.4 Komplexa polynom

Sommarmatte 2

Versionen från 28 juni 2007 kl. 12.15

Kvadratkomplettering

Lösning med formel

Polynom och ekvationer

Polynomdivision

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

 ==Lösning med formel==
+Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\sqrt{a+bi}$ . Man kan då göra på följande sätt:
+::Ansätt $\quad \matrix {z=x+yi=\sqrt{a+bi} \\ \rightarrow (x+yi)^2 = a+bi \\ \quad x^2 - y^2 + 2yxi = a+bi}$
+Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att
+Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex.   som kan insättes i den första ekvationen.
+Exempel
+Beräkna     .
+Lösning:
+Sätt       (x, y reella tal).
+Kvadrering av båda led ger
+vilket leder till ekvationssystemet
+Insättning i den första ekvationen ger
+Denna ekvation kan lösas genom att sätta    :
+vilket ger att  t = 1  eller  t = 4 , vilket dock förkastas, eftersom  x och y är reella tal.
+Vi har alltså kommit fram till att
+Exempel
+Lös ekvationerna
+a)
+b)
+c)
+Lösning:
+a)
+b)
+c)	Division med i ger
+ 	        ( enligt exemplet ovan)
+==Polynom och ekvationer==
+Ett uttryck på formen
+där n är ett naturligt tal, kallas ett polynom av grad n i en obestämd variabel x. Talet   kallas koefficienten för x,   koefficienten för  , etc.   kallas konstantterm.
+Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.
+Exempel
+Jämför följande polynom och heltal,
+		 		(ett heltal i basen 10)
+		 	(ett polynom i x)
+och följande divisioner,
+	  		eftersom
+	 	eftersom
+Om   är ett polynom av grad n så kallas   en polynomekvation av grad n. Om   är ett tal sådant att   så kallas   en rot, eller lösning till ekvationen. Man säger också att   är ett nollställe till  .
+Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. 37 divideras med 5, får man
+			    , vilket även kan skrivas
+Talet 7 kallas kvot och talet 2 rest. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.
+Om   och   är polynom så kan man på liknande sätt dividera    med   och entydigt bestämma polynom   och   så att
+			   ,   eller
+Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten   och resten  .
+Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt:
+Om   så är   delbart med  , eller,   är en delare till  . Man skriver
+==Polynomdivision==
+Om   är ett polynom med högre grad än polynomet   så kan man dividera   med  . Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multiplar av   från   tills den återstående täljaren har lägre grad än   i nämnaren.
+Exempel
+    och
+Alltså gäller att  	      ,  eller
+Kvoten   .
+Divisionen går inte jämnt upp, dvs.   är inte en delare till   .
+Samband mellan faktorer och nollställen
+Om   är en delare till   så gäller alltså att    . Vi har därmed faktoriserat  . Man säger att   är en faktor i  . Speciellt gäller att om förstagradspolynomet   är en delare till   så är   en faktor i  , dvs.
+Eftersom   så måste detta betyda att   då är ett nollställe till  . Detta är precis innehållet i den s.k. faktorsatsen:
+  är en delare till polynomet   om och endast om   är ett
+  nollställe till  , dvs.
+Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att   är ett nollställe till   så vet man automatiskt att   är delbart med  .
+Exempel
+   kan faktoriseras
+och har därför nollställena    och     (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen
+		            	, nämligen
+Exempel
+Faktorisera följande polynom:
+a)	 		b)
+c)
+Lösning:
+Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer.
+a)
+b)	     (dubbelrot)
+c)
+Exempel
+Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena  1, 1 och 3.
+Lösning:
+Polynomet ska enligt faktorsatsen ha faktorerna  .
+Algebrans fundamentalsats
+Införandet av de komplexa talen innebär att varje polynomekvation har en lösning. Detta är innehållet i algebrans fundamentalsats, som bevisades av Gauss 1799:
+Varje polynom av grad   har minst ett nollställe bland de komplexa talen.
+Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:
+Varje polynom av grad   har exakt n stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin multiplicitet *.
+( *Ett dubbelt nollställe räknas 2 ggr, trippelnollställe 3 ggr, etc.)
+Om man håller sig till polynom med reella koefficienter så kan man dessutom visa att
+	- varje polynom av grad   kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella
+  	   koefficienter.
+  	- om ett polynom av grad 2 saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs.
+  	   varandras komplexa konjugat.
+Exempel
+Visa att x = 1 är ett nollställe till   . Faktorisera därefter   i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.
+Lösning:
+  är en faktor i              är delbart med (x  1).
+Återstår att faktorisera  . Ekvationen   har lösningarna
+    (saknar alltså reella nollställen)
+Exempel
+Visa att polynomet     har nollställena  x = i  och  x = 2  i .
+Bestäm därefter övriga nollställen.
+Lösning:
+  är av grad 4 med reella koefficienter. Övriga nollställen är därför konjugaten till x = i  och  x = 2  i , dvs. x = i och x = 2 + i.
 ==Lösning med formel==