3.3 Potenser och rötter

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 3 juli 2007 kl. 14.19

Innehåll:

de Moivres formel
Binomiska ekvationer
Exponentialform
Eulers formel
Kvadratkomplettering
Andragradsekvationer

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Beräkna potenser av komplexa tal med de Moivres formel.
Beräkna rötter av vissa komplexa tal genom omskrivning till polär form.
Lösa binomiska ekvationer.
Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck.
Lösa komplexa andragradsekvationer.

Övningar

De Moivres formel

Räknereglerna $\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ $ och $\ |\,zw\,| = |\,z\,|\cdot|\,w\,|\ $ betyder att $$\biggl\{\eqalign{&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \cr &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|}\qquad\biggl\{\eqalign{&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3}\qquad\text{o.s.v.}$$ För ett godtyckligt tal $\,z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)\,$ har vi därför följande samband

$$z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}$$

Om $\,|\,z\,|=1\,$, (dvs. $\,z\,$ ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt

$$(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{,}$$

vilket brukar kallas de Moivres formel. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.

Exempel 1

Om $\ z=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt2}\,$, beräkna $\,z^3\,$ och $\,z^{100}\,$.

Skriver vi $\,z\,$ i polär form $\ \ \displaystyle z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ $ så ger de Moivres formel oss att $$\eqalign{z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\cr z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}\cr &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}}$$

Exempel 2

På traditionellt sätt kan man med kvadreringsregeln utveckla $$(\cos v + i\,\sin v)^2 = \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v = \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v$$ och med de Moivres formel få att $$(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}$$ Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna $$\biggl\{\eqalign{\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\cr \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}}$$

Exempel 3

Beräkna $\ \displaystyle\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,$.

Vi skriver talen $\,\sqrt{3}+i\,$, $\,1+i\sqrt{3}\,$ och $\,1+i\,$ i polär form

$\quad\displaystyle\sqrt3 + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\,$,
$\quad\displaystyle 1+i\sqrt3 = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\,$,
$\quad\displaystyle 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\,$.

Då får vi med de Moivres formel att $$\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \cdot (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}$$ och detta uttryck kan förenklas genom att utföra multiplikationen och divisionen i polär form $$\eqalign{\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\cr &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}}$$

Binomiska ekvationer

Ett komplext tal $\,z\,$ kallas en n:te rot av det komplexa talet $\,w\,$ om

$$z^n= w \mbox{.}$$

Ovanstående samband kan också ses som en ekvation där $\,z\,$ är den obekante, och en sådan ekvation kallas en binomisk ekvation. Lösningarna ges av att skriva båda leden i polär form och jämföra belopp och argument.

För ett givet tal $\,w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta)\,$ ansätter man det sökta talet $\,z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)$ och den binomiska ekvationen blir

$$r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}$$

där de Moivres formel använts i vänsterledet. För belopp och argument måste nu gälla $$\biggl\{\eqalign{r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\cr n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}}$$ Observera att vi lägger till en multipler av $\,2\pi\,$ för att få med alla värden på argumentet som anger samma riktning som $\,\theta\,$. Man får då att $$\biggl\{\eqalign{ r&={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}}\cr \alpha&= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots}$$ Detta ger ett värde på $\,r\,$, men oändligt många värden på $\,\alpha\,$. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från $\,k = 0\,$ till $\,k = n - 1\,$ får man olika argument för $\,z\,$ och därmed olika lägen för $\,z\,$ i det komplexa talplanet. För övriga värden på $\,k\,$ kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar. Detta resonemang visar att ekvationen $\,z^n=w\,$ har exakt $\,n\,$ rötter.

Anm. Observera att rötternas olika argument ligger $\,2\pi/n\,$ ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien $\,\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}\,$ och bildar hörn i en regelbunden n-hörning.

Exempel 4

Lös den binomiska ekvationen $\ z^4= 16\,i\,$.

Skriv $\,z\,$ och $\,16\,i\,$ i polär form

$\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,$,
$\quad\displaystyle 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}$.

Då ger ekvationen $\ z^4=16\,i\ $ att $$r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}$$ När vi identifierar belopp och argument i båda led fås att $$\biggl\{\eqalign{r^4&=16 \cr 4\alpha &=\pi/2 + k\cdot 2\pi}\qquad\text{d.v.s.}\qquad\biggl\{\eqalign{r&=\sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \cr \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3}$$

Lösningarna till ekvationen är alltså $$\left\{\eqalign{\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr)\cr \displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\cr \displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\cr \displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr)}\right.$$

Exponentialform av komplexa tal

Om vi behandlar $\,i\,$ likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal $\,z\,$ som en funktion av $\,\alpha\,$ (och $\,r\,$ är en konstant), $$f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)$$ så får vi efter derivering $$\eqalign{f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha =r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\cr f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{o.s.v.}}$$

Den enda reella funktion med dessa egenskaper är $\,f(x)= e^{\,kx}\,$, vilket motiverar definitionen

$$e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}$$

Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter $\,z=a+ib\,$ så får man

$$e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \cdot e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}$$

Definitionen av $\,e^{\,z}\,$ kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom $\,z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,$.

Exempel 5

För ett reellt tal $\,z\,$ överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom $\,z=a +0 \cdot i\,$ ger att $$e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}$$

Exempel 6

Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet $$\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}$$ vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag, $$\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}$$

Exempel 7

Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet $$e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$$ vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken: $\,e\,$, $\,\pi\,$, $\,i\,$ och 1. Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.

Exempel 8

Lös ekvationen $\ (z+i)^3 = -8i$.

Sätt $\,w = z + i\,$. Vi får då den binomiska ekvationen $\ w^3=-8i\,$. Till att börja med skriver vi om $\,w\,$ och $\,-8i\,$ i polär form

$\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}$
$\quad\displaystyle -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}$

Ekvationen blir i polär form $\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ $ och identifierar vi belopp och argument i båda led har vi att $$\biggl\{\eqalign{ r^3 &= 8\cr 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\eqalign{r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\cr \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2}$$ Rötterna till ekvationen blir därmed

$\quad\displaystyle w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\quad\vphantom{\biggl(}$ d.v.s. $\,z_1 = 2i-i=i\,$.
$\quad\displaystyle w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\quad\vphantom{\Biggl(}$ d.v.s. $\,z_2 = - \sqrt{3}-2i\,$.
$\quad\displaystyle w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\quad\vphantom{\biggl(}$ d.v.s. $\,z_3 = \sqrt{3}-2i\,$.

Exempel 9

Lös ekvationen $\ z^2 = \overline{z}\,$.

Om $\,z=a+ib\,$ har $\,|\,z\,|=r\,$ och $\,\arg z = \alpha\,$ så gäller att $\,\overline{z}= a-ib\,$ har $\,|\,\overline{z}\,|=r\,$ och $\,\arg \overline{z} = - \alpha\,$. Därför gäller att $\,z=r\,e^{i\alpha}\,$ och $\,\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}\,$. Ekvationen kan därmed skrivas $$(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\,\qquad\text{eller}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}$$ vilket är ekvivalent med $\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,$, som ger efter identifikation av belopp och argument $$\biggl\{\eqalign{r&=1\cr 3\alpha &= 0 + 2k\pi}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\eqalign{r&=1\cr \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2}$$ Lösningarna är

$\quad z_1 = e^0 = 1$
$\quad\displaystyle z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\vphantom{\Biggl(}$
$\quad\displaystyle z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i$

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.3_Potenser_och_r%C3%B6tter

3.3 Potenser och rötter

Sommarmatte 2

Versionen från 3 juli 2007 kl. 14.19

De Moivres formel

Binomiska ekvationer

Exponentialform av komplexa tal

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

 {{Info|
 '''Innehåll:'''
-* de Moviers formel
+* de Moivres formel
 * Binomiska ekvationer
 * Exponentialform
 {{Info|
-'''Färdigheter:'''
+'''Lärandemål:'''
 Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-* Beräkna potenser av komplexa tal med de Moviers formel
+* Beräkna potenser av komplexa tal med de Moivres formel.
-* Beräkna rötter av vissa komplexa tal genom omskrivning till polär form
+* Beräkna rötter av vissa komplexa tal genom omskrivning till polär form.
-* Lösa binomiska ekvationer
+* Lösa binomiska ekvationer.
-* Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck
+* Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck.
-* Lösa komplexa andragradsekvationer
+* Lösa komplexa andragradsekvationer.
 }}
 <!-- huvudtexten -->
-=Teori=
 ==De Moivres formel==
-Att $\quad \cases {\arg (zw) = \arg z + \arg w \cr |zw| = |z|\cdot|w|} \;$ betyder också att
+Räknereglerna $\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ $ och $\ |\,zw\,| = |\,z\,|\cdot|\,w\,|\ $ betyder att
+$$\biggl\{\eqalign{&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \cr &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|}\qquad\biggl\{\eqalign{&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3}\qquad\text{o.s.v.}$$
+För ett godtyckligt tal  $\,z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)\,$ har vi därför följande samband
-$\quad \quad \cases {\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \cr |z\cdot z| = |z|\cdot|z|}\;$ och $\;\cases {\arg z^3 = 3 \arg z \cr |z^3| = |z|^3}\;$ , etc.
+$$z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}$$
-För ett godtyckligt tal  $z=r(\cos \alpha +i\sin \alpha)$ har vi därmed följande samband:
-$$z^n = (r(\cos \alpha +i\sin \alpha))^n = r^n(\cos n\alpha +i\sin n\alpha)$$
-Om $|z|=1$ , (dvs. $z$ ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt
+Om $\,|\,z\,|=1\,$, (dvs. $\,z\,$ ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt
-$$(\cos \alpha +i\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\sin n\alpha$$
+<div class="regel">
+$$(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{,}$$
+</div>
 vilket brukar kallas ''de Moivres formel''. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.
-<div class="regel">
-'''de Moivres formel:'''
-$$(\cos \alpha +i\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\sin n\alpha$$
-</div>
 <div class="exempel">
 '''Exempel 1'''
+<br/>
-$z=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt2}$ . Beräkna $z^3$ och $z^{100}$.
+<br/>
+Om $\ z=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt2}\,$, beräkna $\,z^3\,$ och $\,z^{100}\,$.
+<br/>
-''Lösning:''
+<br/>
+Skriver vi $\,z\,$ i polär form $\ \ \displaystyle z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ $ så ger de Moivres formel oss att
-$z= \displaystyle\frac{1}{\sqrt2} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt2}i = 1\cdot (\cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{4})$
+$$\eqalign{z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\cr  z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}\cr &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}}$$
-$z^3 = \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \right)^3 = \cos \displaystyle\frac{3\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{3\pi}{4} = -\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt2}i = \displaystyle\frac{-1+i}{\sqrt2}$
-$z^{100} = \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \right)^{100} = \cos \displaystyle\frac{100\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{100\pi}{4} = \cos 25\pi + i\sin 25\pi = \cos \pi + i \sin \pi = -1$
 </div>
 <div class="exempel">
 '''Exempel 2'''
+<br/>
-På traditionellt sätt kan man utveckla
+<br/>
+På traditionellt sätt kan man med kvadreringsregeln utveckla
-$ \;(\cos v + i \sin v)^2 = \cos^2 v + i^2 \sin^2 v + 2i \sin v \cos v = \cos^2 v - \sin^2 v + 2i \sin v \cos v$
+$$(\cos v + i\,\sin v)^2 = \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v = \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v$$
+och med de Moivres formel få att
-och med de Moivres formel:
+$$(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}$$
-$(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v$
 Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna
+$$\biggl\{\eqalign{\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\cr \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}}$$
-$\quad \cases {\cos 2v = \cos^2 v - \sin^2 v \cr \sin 2v= 2 \sin v \cos v} \;$
 </div>
 <div class="exempel">
 '''Exempel 3'''
+<br/>
-Beräkna $\displaystyle\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3)^7(1+i)^{10}}$ .
+<br/>
+Beräkna $\ \displaystyle\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,$.
-''Lösning:''
+<br/>
+<br/>
-$\sqrt3 + i = 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{\pi}{6})$
+Vi skriver talen $\,\sqrt{3}+i\,$, $\,1+i\sqrt{3}\,$ och $\,1+i\,$ i polär form
+*$\quad\displaystyle\sqrt3 + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\,$,
-$1+i\sqrt3 = 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{3} + i \displaystyle\frac{\pi}{3})$
+*$\quad\displaystyle 1+i\sqrt3 = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\,$,
+*$\quad\displaystyle 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\,$.
-$1+i = \sqrt2 (\cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i \sin \displaystyle\frac{\pi}{4})$
+Då får vi med de Moivres formel att
+$$\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \cdot (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}$$
-$\displaystyle\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3)^7(1+i)^{10}} = \displaystyle\frac{ 2^{14} (\cos \displaystyle\frac{14\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{14\pi}{6} ) }{ 2^7 ( \cos \displaystyle\frac{7\pi}{3} + i \sin\displaystyle\frac{7\pi}{3}) \cdot \sqrt{2}^{10} (\cos \displaystyle\frac{10\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{10\pi}{4})}=$
+och detta uttryck kan förenklas genom att utföra multiplikationen och divisionen i polär form
+$$\eqalign{\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\cr &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}}$$
-$= \displaystyle\frac{ 2^{14} (\cos \displaystyle\frac{14\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{14\pi}{6} ) } { 2^{12} (\cos \displaystyle\frac{29\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{29\pi}{6} ) } = 2^2 (\cos \left( - \displaystyle\frac{ 15\pi}{6} \right) + i \sin \left( - \displaystyle\frac{ 15\pi}{6} \right)) =$
-$= 4(\cos \left( - \displaystyle\frac{ \pi}{2} \right) + i \sin \left( - \displaystyle\frac{ \pi}{2} \right)) = -4i $
 </div>
 ==Binomiska ekvationer==
-Ett komplext tal $z$ kallas en $n$:te rot av det komplexa talet $w$ om
+Ett komplext tal $\,z\,$ kallas en ''n'':te rot av det komplexa talet $\,w\,$ om
 <div class="regel">
 $$z^n= w \mbox{.}$$
 </div>
-En sådan ekvation kallas en ''binomisk ekvation''. Lösningen till en sådan ges av att skriva båda leden på polär form och jämföra belopp och argument.
+Ovanstående samband kan också ses som en ekvation där $\,z\,$ är den obekante, och en sådan ekvation kallas en ''binomisk ekvation''. Lösningarna ges av att skriva båda leden i polär form och jämföra belopp och argument.
-För ett givet tal $w=|w|(\cos \theta + i \sin \theta)$  ansätter man det sökta talet $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$  och får $z^n = r^n (\cos n\alpha + i \sin n\alpha)$. Den binomiska ekvationen blir
+För ett givet tal $\,w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta)\,$ ansätter man det sökta talet $\,z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)$  och den binomiska ekvationen blir
-$$r^n (\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|(\cos \theta + i \sin \theta)$$
+$$r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}$$
-För belopp och argument måste nu gälla:
+där de Moivres formel använts i vänsterledet. För belopp och argument måste nu gälla
+$$\biggl\{\eqalign{r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\cr n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}}$$
+Observera att vi lägger till en multipler av $\,2\pi\,$ för att få med alla värden på argumentet som anger samma riktning som $\,\theta\,$. Man får då att
+$$\biggl\{\eqalign{ r&={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}}\cr \alpha&= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots}$$
+Detta ger ''ett'' värde på $\,r\,$, men oändligt många värden på $\,\alpha\,$. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från $\,k = 0\,$ till $\,k = n - 1\,$ får man olika argument för $\,z\,$ och därmed olika lägen för $\,z\,$ i det komplexa talplanet. För övriga värden på $\,k\,$ kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar.
+Detta resonemang visar att ekvationen $\,z^n=w\,$ har exakt $\,n\,$ rötter.
-$$\cases {r^n = |w| \cr n\alpha = \theta + k\cdot 2\pi}$$
+''Anm.'' Observera att rötternas olika argument ligger $\,2\pi/n\,$ ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien $\,\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}\,$ och bildar hörn i en regelbunden ''n''-hörning.
-(Observera perioden $2\pi$ , eftersom  $\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = \sin \theta$ och  $\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = \cos \theta$   för alla heltal $k$)
-Man får då att  $\quad \quad \quad \cases { r=\sqrt[\scriptstyle n]{|w|} \cr n\alpha= \displaystyle\frac{\theta}{n} + k \cdot \displaystyle\frac{2\pi}{n} \quad , \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots}$
-Det ger ''ett'' värde på $r$, men oändligt många värden på $\alpha$. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från $k = 0$ till $k = n - 1$ får man olika argument för $z$ och därmed olika lägen för $z$ i det komplexa talplanet. För övriga värden på $k$ kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar.
-Detta resonemang visar att ekvationen $z^n=w$ har exakt $n$ rötter.
-Anm:
-Observera att rötternas olika argument ligger $\frac{2\pi}{n}$ ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien $\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}$ och bildar hörn i en regelbunden $n$-hörning.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 4'''
+<br/>
-Lös ekvationen $z^4= 16i$.
+<br/>
+Lös den binomiska ekvationen $\ z^4= 16\,i\,$.
+<br/>
-''Lösningen:''
+<br/>
+Skriv $\,z\,$ och $\,16\,i\,$ i polär form
-Sätt $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha) \quad , \quad 16i= 16(\cos \displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$.
+*$\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,$,
+*$\quad\displaystyle 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}$.
-$z^4 = 16i \quad \rightarrow \quad r^4(\cos 4\alpha + i \sin 4\alpha) = 16(\cos\displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$
+Då ger ekvationen $\ z^4=16\,i\ $ att
+$$r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}$$
-$\rightarrow \quad \cases {r^4=16 \cr 4\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi} \quad \rightarrow \quad \cases {r=\sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \cr \alpha = \displaystyle\frac{\pi}{8} + k\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2} \quad , \quad k=0,1,2,3}$
+När vi identifierar belopp och argument i båda led fås att
+$$\biggl\{\eqalign{r^4&=16 \cr 4\alpha &=\pi/2 + k\cdot 2\pi}\qquad\text{d.v.s.}\qquad\biggl\{\eqalign{r&=\sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \cr \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3}$$
 [[Bild:komplext-talplan-16.gif|right|250px]]
+Lösningarna till ekvationen är alltså
+$$\left\{\eqalign{\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr)\cr
-$\rightarrow \cases{ z_1= 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8} + i \sin \displaystyle\frac{\pi}{8}) \cr
+\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\cr
-z_2 = 2(\cos\displaystyle\frac{5\pi}{8} + i\sin \displaystyle\frac{5\pi}{8}) \cr
+\displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\cr
-z_3 = 2(\cos\displaystyle\frac{9\pi}{8} + i\sin \displaystyle\frac{9\pi}{8}) \cr
+\displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr)}\right.$$
-z_4= 2(\cos\displaystyle\frac{13\pi}{8} + i\sin \displaystyle\frac{13\pi}{8}) }$
 ==Exponentialform av komplexa tal==
-Om vi behandlar $i$ likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal $z$ som en funktion av $\alpha$ ($r$ konstant) ,
+Om vi behandlar $\,i\,$ likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal $\,z\,$ som en funktion av $\,\alpha\,$ (och $\,r\,$ är en konstant),
-$$f(\alpha) = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$$
+$$f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)$$
 så får vi efter derivering
-$\quad f'(\alpha) = -r\sin \alpha + ri \cos \alpha =ri^2 \sin \alpha + ri \cos \alpha = ir (\cos \alpha + i \sin \alpha) = i \cdot f(\alpha)$
+$$\eqalign{f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha =r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\cr f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{o.s.v.}}$$
-$\quad f^{\prime \prime} (\alpha) = - r \cos \alpha - ri \sin \alpha = i^2 r(\cos \alpha + i \sin \alpha) = i^2 \cdot f(\alpha)$
+Den enda reella funktion med dessa egenskaper är $\,f(x)= e^{\,kx}\,$, vilket motiverar definitionen
-etc.
-Den enda reella funktion med dessa egenskaper är $f(x)= e^{kx}$ , vilket motiverar definitionen
+$$e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}$$
-$$e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha$$
-Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter $z=a+bi$ så får man
+Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter $\,z=a+ib\,$ så får man
-$$e^z = e^{a+bi} = e^a \cdot e^{bi} = e^a(\cos b + i \sin b)$$
+$$e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \cdot e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}$$
-Definitionen av $e^z$ kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha) = re^{ia}$ .
+Definitionen av $\,e^{\,z}\,$ kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom $\,z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,$.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 5'''
+<br/>
-För ett reellt tal $z$ överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom $z=a +0 \cdot i$ ger
+<br/>
-$$e^z = e^{a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a$$
+För ett reellt tal $\,z\,$ överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom $\,z=a +0 \cdot i\,$ ger att
+$$e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}$$
 </div>
 <div class="exempel">
 '''Exempel 6'''
+<br/>
+<br/>
 Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet
+$$\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}$$
-$$\left(e^{i\alpha}\right)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{in\alpha}$$
 vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag,
+$$\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}$$
-$\left(a^x\right)^y = a^{xy}$.
 </div>
 <div class="exempel">
 '''Exempel 7'''
+<br/>
+<br/>
 Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet
-$$e^{\pi i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$$
+$$e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$$
+vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken: $\,e\,$, $\,\pi\,$, $\,i\,$ och 1.
-vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken; $e,\pi , i$ och $1$.
 Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 8'''
+<br/>
+<br/>
+Lös ekvationen $\ (z+i)^3 = -8i$.
+<br/>
+<br/>
+Sätt $\,w = z + i\,$. Vi får då den binomiska ekvationen $\ w^3=-8i\,$.  Till att börja med skriver vi om $\,w\,$ och $\,-8i\,$ i polär form
+*$\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}$
+*$\quad\displaystyle -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}$
+Ekvationen blir i polär form $\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ $ och identifierar vi belopp och argument i båda led har vi att
+$$\biggl\{\eqalign{ r^3 &= 8\cr 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\eqalign{r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\cr \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2}$$
+Rötterna till ekvationen blir därmed
+*$\quad\displaystyle w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\quad\vphantom{\biggl(}$ d.v.s. $\,z_1 = 2i-i=i\,$.
+*$\quad\displaystyle w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\quad\vphantom{\Biggl(}$ d.v.s. $\,z_2 = - \sqrt{3}-2i\,$.
+*$\quad\displaystyle w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\quad\vphantom{\biggl(}$ d.v.s. $\,z_3 = \sqrt{3}-2i\,$.
-Lös ekvationen $(z+i)^3 = -8i$.
-''Lösning''
-Sätt $w = z + i$ . Man får då ekvationen $w^3=-8i$ .
-$\cases{w=r(\cos \alpha + i \sin \alpha) = re^{i\alpha} \rightarrow w^3 = r^3 e^{3\alpha i } \cr -8i = 8(\cos \displaystyle\frac{3\pi}{2} + i \sin \displaystyle\frac{3\pi}{2} ) = 8e^{3\pi/2 \cdot i}}$
-$\rightarrow \cases{ r^3 = 8 \quad \rightarrow \quad r= \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \cr 3\alpha = \displaystyle\frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \rightarrow  \quad \alpha= \displaystyle\frac{\pi}{2} + k \cdot \displaystyle\frac{2\pi}{3} \; , \; k=0,1,2}$
-$w_1 = 2e^{\pi/2 \cdot i} = 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{2} + i \sin \displaystyle\frac{\pi}{2}) = 2i \quad \rightarrow \quad z_1 = 2i-i=i$
-$w_2 = 2e^{7\pi/6 \cdot i} = 2(\cos \displaystyle\frac{7\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{7\pi}{6}) = -2\sqrt{3} -2i \quad \rightarrow \quad z_2 = - 2\sqrt{3}-3i$
-$w_3 = 2e^{11\pi/6 \cdot i} = 2(\cos \displaystyle\frac{11\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{11\pi}{6}) = 2\sqrt{3} -2i \quad \rightarrow \quad z_3 = 2\sqrt{3}-3i$
 </div>
 <div class="exempel">
 '''Exempel 9'''
+<br/>
+<br/>
+Lös ekvationen $\ z^2 = \overline{z}\,$.
+<br/>
+<br/>
+Om $\,z=a+ib\,$ har $\,|\,z\,|=r\,$ och $\,\arg z = \alpha\,$ så gäller att $\,\overline{z}= a-ib\,$ har $\,|\,\overline{z}\,|=r\,$ och $\,\arg \overline{z} = - \alpha\,$. Därför gäller att $\,z=r\,e^{i\alpha}\,$ och $\,\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}\,$. Ekvationen kan därmed skrivas
+$$(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\,\qquad\text{eller}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}$$
+vilket är ekvivalent med $\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,$, som ger efter identifikation av belopp och argument
+$$\biggl\{\eqalign{r&=1\cr 3\alpha &= 0 + 2k\pi}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\eqalign{r&=1\cr \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2}$$
+Lösningarna är
+*$\quad z_1 = e^0 = 1$
+*$\quad\displaystyle z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} +  \frac{\sqrt3}{2}\,i\vphantom{\Biggl(}$
+*$\quad\displaystyle z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i$
-Lös ekvationen $z^2 = \overline{z}$  .
-''Lösning''
-Om  $z=a+bi$ har $|z|=r$  och $\arg z = \alpha$  så gäller att $\overline{z}= a-bi$  har $|\overline{z}|=r$ och $\arg \overline{z} = - \alpha$.
-Då gäller att $z=re^{i\alpha}$  och $\overline{z} = re^{i\alpha}$ . Ekvationen kan därför skrivas
-$\quad \quad \left(re^{i\alpha}\right)^2 = re^{-i\alpha}$, eller $r^2 e^{2i\alpha}= re^{-i\alpha}$ , vilket är ekvivalent med
-$\quad \quad re^{3i\alpha} = 1 \quad$, som ger
-$\cases{r=1 \cr 3\alpha = 0 + k \cdot 2\pi \quad \rightarrow \quad \alpha = k \cdot \displaystyle \frac{2\pi}{3} \; , \; k=0,1,2}$
-$z_1 = e^0 = 1$
-$z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos \displaystyle \frac{2\pi}{3} + i \sin \displaystyle \frac{2\pi}{3} = - \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} i$
-$z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos \displaystyle \frac{4\pi}{3} + i \sin \displaystyle \frac{4\pi}{3} = - \displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} i$
 </div>
-<div class="inforuta">
-'''Råd för inläsning'''
-'''Tänk på att:'''
-text
-'''Lästips'''
-stående
-'''Länktips'''
-stående
-</div>