Kvadratkomplettering
Kvadreringsreglerna, $\qquad \left\{ \begin{matrix} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{matrix} \right.$
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck.
Exempelvis är
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\;$ och
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$
Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+4x+4=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (x+2)^2=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x+2=\pm 3$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x=-2\pm 3,\quad$ dvs $\quad x_1=1 \quad$ och $\quad x_2=-5$
Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
$$x^2-4x-5=0$$
Genom att addera $9$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-4x-5+9=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-4x+4=9\quad$ osv.
Metoden kallas kvadratkomplettering.
Exempel 1
Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering:
- $\quad x^2-6x+7=2$
- $\quad z^2+21=4-8z$
Lösning:
- Koefficienten framför $x$, dvs. $-6$, visar att vi måste ha talet $(-3)^2=9$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $2$ på båda sidor åstadkommer vi detta:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+7+2=2+2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+9=4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (x-3)^2=4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x-3=\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x=3\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x_1=5, \; x_2=1$
- Ekvationen kan skrivas $z^2+8z+17=0$.
Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+8z+16=-1$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (z+4)^2=-1$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z+4=\pm \sqrt{-1}=\pm i\quad\Rightarrow\quad z=-4\pm i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Rightarrow\quad z_1=-4+i, \; z_2=-4-i$
Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.
Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.
Exempel 2
Lös ekvationen $\;\displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2$.
Lösning:
Halva koefficienten för $x$ är $\displaystyle -\frac{4}{3}$. Vi lägger alltså till $\displaystyle \left(-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}$ i båda led:
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}+1=2+\frac{16}{9}$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2+1=\frac{34}{9}$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad x_1=3,\; x_2=-\frac{1}{3}$
Exempel 3
Lös ekvationen $\; x^2+px+q=0$.
Lösning:
Kvadratkomplettering ger
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2+q=\left(\frac{p}{2}\right)^2$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
vilket är den vanliga formeln, PQ-formeln, för lösning av andragradsekvationer.
Exempel 4
Lös ekvationen $z^2-(12+4i)z-4+24i=0$.
Lösning:
Halva koefficienten för $z$ är $-(6+2i)$. Kvadratkomplettering ger
$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left( \; (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i \; \right)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2-4+24i=32+24i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2=36$
$\qquad\qquad\qquad\qquad z-(6+2i)=\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z=(6+2i)\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z_1=12+2i, \; z_2=2i$
Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+10x+3$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+3+25-25$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+25+3-25$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =(x+5)^2-22$
Exempel 5
Kvadratkomplettera uttrycket $\; z^2+(2-4i)z+1-3i$.
Lösning:
Lägg till och dra ifrån termen $\displaystyle \left(\frac{2-4i}{2}\right)^2=(1-2i)^2=-3-4i\;$ :
$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(1-2i)^2+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(-3-4i)+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2+4+i$
Lösning med formel
Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\sqrt{a+bi}$ . Man kan då göra på följande sätt:
- Ansätt $\quad z=x+yi=\sqrt{a+bi}$
- $\quad \matrix {\rightarrow (x+yi)^2 = a+bi \\ \quad x^2 - y^2 + 2yxi = a+bi}$
Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att
- $ \cases {x^2 - y^2 = a \\ 2xy=b}$
Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. som kan insättes i den första ekvationen.
Exempel
Beräkna .
Lösning:
Sätt (x, y reella tal).
Kvadrering av båda led ger
vilket leder till ekvationssystemet
Insättning i den första ekvationen ger
Denna ekvation kan lösas genom att sätta :
vilket ger att t = 1 eller t = 4 , vilket dock förkastas, eftersom x och y är reella tal.
Vi har alltså kommit fram till att
Exempel
Lös ekvationerna
a)
b)
c)
Lösning:
a)
b)
c) Division med i ger
( enligt exemplet ovan)
Polynom och ekvationer
Ett uttryck på formen
där n är ett naturligt tal, kallas ett polynom av grad n i en obestämd variabel x. Talet kallas koefficienten för x, koefficienten för , etc. kallas konstantterm.
Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.
Exempel
Jämför följande polynom och heltal,
(ett heltal i basen 10)
(ett polynom i x)
och följande divisioner,
eftersom
eftersom
Om är ett polynom av grad n så kallas en polynomekvation av grad n. Om är ett tal sådant att så kallas en rot, eller lösning till ekvationen. Man säger också att är ett nollställe till .
Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. 37 divideras med 5, får man
, vilket även kan skrivas
Talet 7 kallas kvot och talet 2 rest. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.
Om och är polynom så kan man på liknande sätt dividera med och entydigt bestämma polynom och så att
, eller
Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten och resten .
Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt:
Om så är delbart med , eller, är en delare till . Man skriver
Polynomdivision
Om är ett polynom med högre grad än polynomet så kan man dividera med . Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multiplar av från tills den återstående täljaren har lägre grad än i nämnaren.
Exempel
och
Alltså gäller att , eller
Kvoten .
Divisionen går inte jämnt upp, dvs. är inte en delare till .
Samband mellan faktorer och nollställen
Om är en delare till så gäller alltså att . Vi har därmed faktoriserat . Man säger att är en faktor i . Speciellt gäller att om förstagradspolynomet är en delare till så är en faktor i , dvs.
Eftersom så måste detta betyda att då är ett nollställe till . Detta är precis innehållet i den s.k. faktorsatsen:
är en delare till polynomet om och endast om är ett
nollställe till , dvs.
Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att är ett nollställe till så vet man automatiskt att är delbart med .
Exempel
kan faktoriseras
och har därför nollställena och (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen
, nämligen
Exempel
Faktorisera följande polynom:
a) b)
c)
Lösning:
Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer.
a)
b) (dubbelrot)
c)
Exempel
Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena 1, 1 och 3.
Lösning:
Polynomet ska enligt faktorsatsen ha faktorerna .
Algebrans fundamentalsats
Införandet av de komplexa talen innebär att varje polynomekvation har en lösning. Detta är innehållet i algebrans fundamentalsats, som bevisades av Gauss 1799:
Varje polynom av grad har minst ett nollställe bland de komplexa talen.
Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:
Varje polynom av grad har exakt n stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin multiplicitet *.
( *Ett dubbelt nollställe räknas 2 ggr, trippelnollställe 3 ggr, etc.)
Om man håller sig till polynom med reella koefficienter så kan man dessutom visa att
- varje polynom av grad kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella
koefficienter.
- om ett polynom av grad 2 saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs.
varandras komplexa konjugat.
Exempel
Visa att x = 1 är ett nollställe till . Faktorisera därefter i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.
Lösning:
är en faktor i är delbart med (x 1).
Återstår att faktorisera . Ekvationen har lösningarna
(saknar alltså reella nollställen)
Exempel
Visa att polynomet har nollställena x = i och x = 2 i .
Bestäm därefter övriga nollställen.
Lösning:
är av grad 4 med reella koefficienter. Övriga nollställen är därför konjugaten till x = i och x = 2 i , dvs. x = i och x = 2 + i.
==Lösning med formel== |
