3.2 Polär form

Övningar

Det komplexa talplanet

Eftersom ett komplext tal $\,z=a+bi\,$ består av en realdel $\,a\,$ och en imaginärdel $\,b\,$, så kan $\,z\,$ betraktas som ett ordnat talpar $\,(a,b)\,$ och tolkas som en punkt i ett koordinatsystem. Man bildar därför ett koordinatsystem genom att ställa en imaginär axel (en tallinje med enheten $\,i\,$) vinkelrät mot en reell axel (den reella tallinjen). Vi kan nu beskriva varje komplext tal med en punkt i detta koordinatsystem, och varje punkt beskriver ett unikt komplext tal.

Denna geometriska tolkning av de komplexa talen kallas det komplexa talplanet.
Anm: De reella talen, dvs. alla komplexa tal med imaginärdel $\,0\,$, ligger alltså längs den reella axeln. Man kan alltså se utvidgningen av talsystemet från $\displaystyle\mathbb{R}$ (de reella talen) till $\mathbb{C}$ (de komplexa talen) som att tillföra en ny dimension till den redan fyllda tallinjen.

Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:

Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. $\,z-w=z+(-w)\,$ och får följande utseende:

Exempel 1

Givet $\,z=2+i\,$ och $\,w=-3-i\,$. Markera $\,z\,$, $\,w\,$, $\,\overline{z}\,$, $\,\overline{z}-\overline{w}\,$ och $\,z-w\,$ i det komplexa talplanet.

Vi har att

• $\overline{z}=2-i$
• $\overline{w}=-3+i$
• $z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$
• $\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})$

Exempel 2
Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller följande villkor:

1. $\mathop{\rm Re} z \ge 3$
2. $ -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2$

Den första olikheten definierar området markerat med A i figuren nedan och den andra olikheten området B.

Absolutbelopp

De reella talen går att ordna i storleksordning, dvs. vi kan avgöra om ett reellt tal är större än ett annat; ju längre till höger på den reella tallinjen desto större är talet.

För de komplexa talen saknar man denna möjlighet. Vi kan inte utan vidare avgöra vilket tal som är störst av t.ex. $\,z=1-i\,$ och $\,w=-1+i\,$ . Med hjälp av begreppet absolutbelopp kan vi dock definiera ett mått på storleken av ett komplext tal.

För ett komplext tal $\,z=a+bi\,$ definieras absolutbeloppet $\,|z|\,$ som

Vi ser att $\,|z|\,$ är ett reellt tal och att $\,|z|\ge 0\,$. För reella tal är $\,b = 0\,$ och då gäller att $\,|z|=\sqrt{a^2}=|a|\,$, vilket överensstämmer med den vanliga definitionen för absolutbelopp av reella tal. Geometriskt är absolutbeloppet avståndet från talet $\,z=a+bi\,$ (punkten $\,(a, b)\,$) till $\,z = 0\,$ (origo), enligt Pythagoras sats.

Avstånd mellan komplexa tal

Med hjälp av formeln för avstånd mellan punkter i ett koordinatsystem får man också en viktig och användbar tolkning av absolutbelopp. Avståndet $\,s\,$ mellan två komplexa tal $\,z=a+bi\,$ och $\,w=c+di\,$ (se fig.) kan med hjälp av avståndsformeln skrivas

Eftersom $\,z-w=(a-c)+(b-d)i\,$, så får man att

Exempel 3

Markera följande talmängder i det komplexa talplanet:

1. $\,\, |z|=2$
   
   Ekvationen beskriver alla tal vars avstånd till origo är 2. Dessa tal bildar i det komplexa talplanet en cirkel med radien 2 och medelpunkt i origo.




2. $\,\, |z-3|=1$
   
   Denna ekvation uppfylls av alla tal vars avstånd till talet 3 är 1, dvs. en cirkel med radien 1 och medelpunkt i $\,z = 3\,$.




3. $\,\, |z+2-i|\le 2$
   
   Vänsterledet kan skrivas $\,|z-(-2+i)|\,$, vilket innebär alla tal på avståndet ${}\le 2$ från talet $\,-2+i\,$, dvs. en cirkelskiva med radien 2 och medelpunkt i $\,-2+i\,$.




4. $\,\, \frac{1}{2}\le |z-(2+3i)|\le 1$
   
   Mängden ges av alla tal vars avstånd till $\,z=2+3i\,$ är mellan $\,\frac{1}{2}\,$ och $\,1\,$.
   
   

Exempel 4
Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller villkoren

1. $\, \left\{ \eqalign{&|z-2i|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.$
   
   Den första olikheten ger punkterna på och innanför cirkeln med radie 3 och medelpunkt i $\,2i\,$. Den andra olikheten ger ett vertikalt band av punkter med realdel mellan 1 och 2. Det område som uppfyller båda olikheter ges av de punkter som ligger inom cirkeln och bandet.




2. $\, |z+1|=|z-2|$
   
   Ekvationen kan skrivas $\,|z-(-1)|=|z-2|\,$. Man ser då att $\,z\,$ ska ligga på samma avstånd från $\,-1\,$ som från $\,2\,$. Detta villkor uppfylls av alla tal $\,z\,$ som har realdel $\,1/2\,$.

Polär form

I stället för att ange ett komplext tal $z=x+yi$ i dess rektangulära koordinater $(x, y)$ kan man använda polära koordinater. Detta innebär att man anger talets läge i det komplexa talplanet genom dess avstånd, $r$, till origo, samt den vinkel $\alpha$ som som bildas mellan den positiva $x$-axeln och sträckan från origo till talet (se fig.)

Eftersom $\quad \left\{ \begin{matrix} \cos\alpha = \displaystyle\frac{x}{r} \\ \mbox{ } \\ \sin\alpha = \displaystyle\frac{y}{r} \end{matrix} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{matrix} x = r\cos\alpha \\ y= r\sin\alpha \end{matrix} \right. \quad$, så kan talet $z=x+yi$ skrivas

vilket kallas den polära formen av ett komplext tal $z$. Vinkeln $\alpha$ kallas argumentet för $z$ och skrivs

Vinkeln $\alpha$ kan t.ex. bestämmas genom att lösa ekvationen $\tan\alpha=\displaystyle\frac{y}{x}$. Denna ekvation har dock flera lösningar, varför man måste se till att man väljer den lösning $\alpha$ som gör att $z= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)$ hamnar i rätt kvadrant.

Det reella talet $r$, avståndet till origo, känner vi redan som beloppet av $z$, eftersom

Exempel 5
Skriv följande komplexa tal på polär form:

$-3$	$i$
$1-i$	$2\sqrt3 +2i$

Lösning:

$|-3|=3,\quad \arg(-3)=\pi$ $-3=3(\cos\pi+i\sin\pi)$	$|i|=1,\quad \arg\,i=\displaystyle\frac{\pi}{2}$ $i=\displaystyle\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$
$|1-i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ $ \arg(1-i)=\displaystyle\frac{7\pi}{4}$ $1-i=\sqrt2\left(\displaystyle\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)$	$|2\sqrt3 +2i|=\sqrt{\left(2\sqrt3\right)^2 +2^2}=\sqrt{16}=4$ $\arg\left(2\sqrt3 +2i\right)=\alpha$ $\tan \alpha=\displaystyle\frac{2}{2\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\;\Rightarrow\;\alpha=\frac{\pi}{6}\; (+\pi n)$ $2\sqrt3 +2i=4\left(\displaystyle\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$

Multiplikation och division i polär form

Den stora fördelen med att ha komplexa tal skrivna i polär form är att multiplikation och division då blir väldigt enkelt att utföra. För godtyckliga komplexa tal $z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ och $w=|w|(\cos\beta+i\sin\beta)$ kan man genom de trigonometriska additionsformlerna visa att

Vid multiplikation av komplexa tal multipliceras alltså beloppen, medan argumenten adderas. Vid division av komplexa tal divideras beloppen och argumenten subtraheras. Detta kan kortfattat skrivas:

I det komplexa talplanet innebär alltså en multiplikation av $z$ med $w$ att $z\;(|z|)$ förlängs med faktorn $|w|$ och roteras moturs med vinkeln $\arg\,w$.

© Copyright 2007, math.se