3.1. Räkning med komplexa tal

Exempel 1
Om vi skulle vilja ta reda på summan av rötterna (lösningarna) till ekvationen $\,x^2-2x+2=0\,$ så får vi först lösningarna $\,x_1=1+\sqrt{-1}\,$ och $\,x_2=1-\sqrt{-1}\,$. Dessa rötter innehåller det icke-reella talet $\,\sqrt{-1}\,$. Om vi för en stund tillåter oss att räkna med $\,\sqrt{-1}\,$ så ser vi att summan av $\,x_1\,$ och $\,x_2\,$ blir $\,1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2\,$, alltså ett högst reellt tal.

För att lösa vårt problem var vi här tvungna att tillfälligtvis använda tal som inte är reella för att komma fram till den reella lösningen.

Exempel 2

1. $(3-5i)+(-4+i)=-1-4i$
   
   
2. $\bigl(\frac{1}{2}+2i\bigr)-\bigl(\frac{1}{6}+3i\bigr)=\frac{1}{3}-i$
   
   
3. $\displaystyle\frac{3+2i}{5}-\frac{3-i}{2}=\frac{6+4i}{10}-\frac{15-5i}{10}=\frac{-9+9i}{10}=-0{,}9+0{,}9i$

Exempel 3

1. $3(4-i)=12-3i$
   
   
2. $2i(3-5i)=6i-10i^2=10+6i$
   
   
3. $(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i$
   
   
4. $(3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13$
   
   
5. $(3+i)^2=3^2+2\cdot3i+i^2=8+6i$
   
   
6. $i^{12}=(i^2)^6=(-1)^6=1$
   
   
7. $i^{23}=i^{22}\cdot i=(i^2)^{11}\cdot i=(-1)^{11}i=-i$
   

Exempel 4

1. $z=5+i\qquad$ då är $\quad\overline{z}=5-i\,$.
   
2. $z=-3-2i\qquad$ då är $\quad\overline{z} =-3+2i\,$.
   
3. $z=17\qquad$ då är $\quad\overline{z} =17\,$.
   
4. $z=i\qquad$ då är $\quad\overline{z} =-i\,$.
   
5. $z=-5i\qquad$ då är $\quad\overline{z} =5i\,$.
   

Exempel 5

1. Om $\,z=4+3i\,$ då gäller att
   • $z+\overline{z} = 4 + 3i + 4 -3i = 8$
   • $z-\overline{z} = 6i$
   • $z \cdot \overline{z} = 4^2-(3i)^2=16+9=25$
   
   
2. För $\,z\,$ gäller att $\,\mathop{\rm Re} z=-2$ och $\,\mathop{\rm Im} z=1\,$, och får vi att
   • $z+\overline{z} = 2\,\mathop{\rm Re} z = -4$
   • $z-\overline{z} = 2i\,\mathop{\rm Im} z = 2i$
   • $z\cdot \overline{z} = (-2)^2+1^2=5$

Exempel 6

1. $\quad\displaystyle\frac{4+2i}{1+i}=\frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2}=\frac{6-2i}{2}=3-i$
   
   
2. $\quad\displaystyle\frac{25}{3-4i}=\frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2}=\frac{25(3+4i)}{25}=3+4i$
   
   
3. $\quad\displaystyle\frac{3-2i}{i}=\frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)}=\frac{-3i+2i^2}{-i^2}=\frac{-2-3i}{1}=-2-3i$
   
   

Exempel 7

1. $\quad\displaystyle\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}=\frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)}-\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}$
   $\quad\displaystyle\phantom{\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}}{}=\frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10}=\frac{3-i}{10}\vphantom{\Biggl(}$
   
   
2. $\quad\displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{2}{1-i}}{2i+\displaystyle\frac{i}{2+i}}=\frac{\displaystyle\frac{1-i}{1-i}-\frac{2}{1-i}}{\displaystyle\frac{2i(2+i)}{(2+i)}+\frac{i}{2+i}}= \frac{\displaystyle\frac{1-i-2}{1-i}}{\displaystyle\frac{4i+2i^2 + i}{2+i}}=\frac{\displaystyle\frac{-1-i}{1-i}}{\displaystyle\frac{-2+5i}{2+i}}$
   $\quad\displaystyle\phantom{\smash{\frac{1-\displaystyle\frac{2}{1-i}}{2i+\displaystyle\frac{i}{2+i}}}}{}=\frac{-1-i}{1-i}\cdot \frac{2+i}{-2+5i}=\frac{(-1-i)(2+i)}{(1-i)(-2+5i)} = \frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}\vphantom{\Biggl(}$
   $\quad\displaystyle\phantom{\smash{\frac{1-\displaystyle\frac{2}{1-i}}{2i+\displaystyle\frac{i}{2+i}}}}{}=\frac{-1-3i}{3+7i}=\frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)}=\frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}= \frac{-24-2i}{58}=\frac{-12-i}{29}\vphantom{\Biggl(}$

Exempel 8
Bestäm det reella talet $\,a\,$ så att uttrycket $\ \displaystyle\frac{2-3i}{2+ai}\ $ blir reellt.

Förläng med nämnarens konjugat så att uttrycket kan skrivas med separata real- och imaginärdelar $$\displaystyle\frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)}=\frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2}= \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}$$ Om uttrycket ska bli reellt så måste imaginärdelen vara 0, dvs. $$2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}$$

Exempel 9

1. Lös ekvationen $\,3z+1-i=z-3+7i\,$.
   
   Samla $\,z\,$ i vänsterledet genom att subtrahera båda led med $\,z\,$ $$2z+1-i = -3+7i$$ och subtrahera sedan med $\,1-i\,$ $$2z = -4+8i\,\mbox{.}$$ Detta ger att $\ \displaystyle z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}$
   
   
2. Lös ekvationen $\,z(-1-i)=6-2i\,$.
   
   Dela båda led med $\,-1-i\,$ för att få fram $\,z\,$ $$z =\frac{6-2i}{-1-i}=\frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)}=\frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2}=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}$$
   
3. Lös ekvationen $\,3iz-2i=1-z\,$.
   
   Adderar vi $\,z\,$ och $\,2i\,$ till båda led fås $$3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}$$ Detta ger att $$z = \frac{1+2i}{1+3i}=\frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2}=\frac{7-i}{10}\,\mbox{.}$$
   
4. Lös ekvationen $\,2z+1-i=\bar z +3 + 2i\,$.
   
   I ekvationen förekommer $\,z\,$ också som $\,\overline{z}\,$ och därför skriver vi $\,z\,$ som $\,z=a+ib\,$ och löser ekvationen för $\,a\,$ och $\,b\,$ genom att sätta real- och imaginärdel av båda led lika $$2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i$$ dvs. $$(2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}$$ vilket ger att $$\left\{\eqalign{2a+1&=a+3\cr 2b-1&=2-b}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\eqalign{a&=2\cr b&=1}\right.\,\mbox{.}$$ Svaret är alltså $\,z=2+i\,$.