2.1 Inledning till integraler
Sommarmatte 2
Lina (Diskussion | bidrag)
(Ny sida: <table><tr><td width="600"> <div class="inforuta"> '''Innehåll:''' * alt 1 * alt 2 </div> Övningar </td> <td> <!-- tom ruta uppe höger --> </td></tr> <tr><td width=60...)
Gå till nästa ändring →
Versionen från 27 april 2007 kl. 11.18
|
Innehåll:
|
|||||||||||||||||
[redigera] Teori[redigera] INTEGRALER[redigera] Arean under en funktionskurvaVi har tidigare sett att lutningen på en funktionskurva är intressant. Den ger oss information om hur funktionen ändras och har stor betydelse i många tillämpningar.
På ett liknande sätt är den area som bildas mellan en funktionskurva och x-axeln betydelsefull. Den är naturligtvis beroende av funktionskurvans utseende och därmed intimt besläktad med funktionen i fråga. Det är lätt att inse att denna area har en praktisk betydelse i många olika sammanhang.
I samtliga fall ser man att föremålets tillryggalagda sträcka motsvaras av arean under funktionskurvan. Exempel 1 //illustration Anm: Eftersom arean kan approximeras med en (eller flera) rektangel så kan produkten av koordinataxlarnas enheter visa areans enhet och därmed ge en vink om vad arean symboliserar: Areans enhet:
[redigera] IntegralbeteckningenFör att beskriva arean under en funktionskurva i symbolform inför man integraltecknet $\int$ och gör följande definition: Exempel 2 Med integralen av $f(x)$ från $a$ till $b$ menas arean mellan kurvan $y=f(x)$ och x-axeln från $x=a$ till $x=b$ , vilket med symboler skrivs $$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$ $a$ och $b$ kallas undre respektive övre integrationsgräns, $f(x)$ kallas integrand och $x$ integrationsvariabel.
Exempel 3 Ur definitionen följer direkt att
//illustration Exempel 4 För ett föremål, vars hastighet förändras enligt funktionen $v(t)$ kan den tillrygga- lagda sträckan efter 10 s beskrivas med integralen $$\int_{0}^{10} v(t)\, dt$$ //illustration Exempel 5 | Vatten rinner in i en tank med en hastighet som är $f(t)$ $l/s$ efter $t$ sekunder. Skriv ett uttryck som anger hur många liter som rinner in i tanken under den tionde sekunden. Svar: $\displaystyle \int_{9}^{10} f(t)\, dt$ Exempel 6 Beräkna integralerna
|- |} [redigera] Primitiv funktionFunktionen $F$ är en primitiv funktion till $F$ om $F'(x) = f(x)$ i något intervall. Om $F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$ så är det klart att även $F(x) + C$ är det, för varje konstant C. Dessutom kan man visa att $F(x) + C$ beskriver samtliga primitiva funktioner till $f(x)$. Exempel 7
[redigera] Samband mellan integral och primitiv funktionVi har tidigare konstaterat att arean under en funktionskurva, dvs. integralen av en funktion, är beroende av funktionskurvans utseende. Det visar sig att detta beroende utnyttjar den primitiva funktionen, vilket också ger oss möjligheten att beräkna en sådan area exakt. Antag att $f$ är en kontinuerlig funktion på ett intervall (= funktionskurvan har inga avbrott i intervallet). Värdet av integralen $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx $ är då beroende av integrationsgränserna $a$ och $b$, men om man låter $a$ vara ett fixt värde och sätter $x$ som övre gräns blir integralens värde beroende enbart av den övre integrationsgränsen. För att tydliggöra detta använder vi här i stället $t$ som integrationsvariabel:
$$A(x) = \int_{a} f(t) \, dt$$
Vi ska nu visa att $A$ i själva verket är en primitiv funktion till $f$.
Den skuggade arean kan för varje $x$ beskrivas på två sätt, dels som $A(x+h) - A(x)$, men även som $h \cdot f(c)$, för något $c$ mellan $x$ och $x + h$, det vill säga: $$A(x+h) - A(x) = h \cdot f(c) \quad \textrm {, eller} $$ $$\frac{A(x+h) - A(x)}{h} = f(c)$$ Om $h \rightarrow 0$ så går vänstra ledet mot $A'(x)$ och högra ledet mot $f(x)$ , dvs. $$A'(x) = f(x) \quad \text{och} \quad A(x)= F(x)+ C$$
$$A(x)= \int_{a}^{x} f(t) \, dt \quad \rightarrow \quad A'(x) = f(x) \quad \text{ , eller}$$ $$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$$ [redigera] Beräkning av integralerFör att kunna använda detta vid beräkning av en bestämd integral, noterar vi först att $$\int_{a}^{b} f(t) \, dt = F(b) + C \quad \text{, samt att} $$ $$\int_{a}^{a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0 \quad \rightarrow \quad C = -F(a) \quad \text{, dvs. }$$ $$\int_{a}^{b} f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$
$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ Vid beräkning av integraler utför man detta i två steg, först bestämning av den primitiva funktionen och sedan insättning av integrationsgränserna. Man skriver vanligtvis $$\int_{a}^{b} f(t) \, dt = \left[F(x) \right]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$
Exempel 8 Arean som begränsas av kurvan $y=2x - x^2$ och x-axeln kan beräknas med hjälp av integralen
//illustration Anm: Integralvärdet har ingen enhet. I praktiska tillämpningar kan dock arean ha en enhet. Om arean i en enhetslös figur efterfrågas skriver man ofta a.e. (areaenheter) efter siffervärdet. [redigera] BaklängesderiveringAtt derivera de vanliga funktionstyperna innebär inga oöverstigliga problem; det finns generella metoder för detta. Att utföra den omvända operationen, dvs. hitta en primitiv funktion till en given funktion är dock betydligt svårare och i vissa fall omöjligt! Det finns ingen systematisk metod som fungerar överallt, men genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges” och dessutom lära sig ett antal specialmetoder och knep kan man klara av en stor del av de funktioner som vanligtvis förekommer. Symbolen $\displaystyle \int f(x) \,dx$ kallas den obestämda integralen av $f(x)$ och används för att beteckna en godtycklig primitiv funktion till $f(x)$. De vanliga deriveringsreglerna ger att $$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$$ $$ \int x^{-1} \, dx = \ln |x| + C$$ $$ \int e^x \, dx = e^x + C$$ $$ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$ $$ \int \cos x \, dx = \sin x + C$$ $$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C$$ Exempel 9
[redigera] Kompensation för ”inre derivatan”Vid derivering av en sammansatt funktion använder man sig av kedjeregeln, som innebär att man multiplicerar med den inre derivatan. Om den inre funktionen då är linjär så blir den inre derivatan en konstant.
Exempel 10
Exempel 11
Observera att detta sätt att kompensera för den inre derivatan endast fungerar om den inre derivatan är en konstant. [redigera] Räkneregler för integralerMed hjälp av beräkningsformeln för integraler är det lätt att visa följande räkneregler för integraler:
Exempel 12
[redigera] Area mellan kurvorOm $f(x) \ge g(x)$ i ett intervall gäller att arean mellan funktionskurvorna ges av $$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx - \displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \, dx$$ vilket kan förenklas till $$\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx$$ //illustration
//illustration $A= \displaystyle\int_{a}^{b} (f-g)$ $A = \displaystyle\int_{a}^{b} ((f-2) - (g-2))= \displaystyle\int_{a}^{b} (f-g)$ $ A= \displaystyle\int_{a}^{b} ((f-3) - (g-3)) = \displaystyle\int_{a}^{b}(f-g)$
Exempel 13 Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna $y=e^x + 1$ och $y=1 - \displaystyle \frac{x^2}{2}$ samt linjerna $x = –1$ och $x = 1$.
Eftersom $e^x + 1 > 1 - \displaystyle \frac{x^2}{2}$ i hela intervallet blir områdets area $$\displaystyle \int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \displaystyle \int_{-1}^{1} \left ( 1- \displaystyle \frac{x^2}{2} \right ) \, dx = \displaystyle \int_{-1}^{1} \left( e^x + \displaystyle \frac{x^2}{2} \right ) \, dx = \left [ e^x + \displaystyle\frac{x^3}{6} \right]_{-1}^{1} = \left ( e + \displaystyle \frac{1}{6} \right) - \left( e^{-1} - \displaystyle \frac{1}{6} \right) = e - \displaystyle\frac{1}{e} + \displaystyle\frac{1}{3} \; (a{.}e{.})$$ //illustration Exempel 14 Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna $y= x^2$ och $y= \sqrt[3]{x}$.
Kurvornas skärningspunkter: $x^2 = x^{\frac{1}{3}} \quad \rightarrow \quad x^6 = x \quad \rightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0 \quad \rightarrow \quad x=0 \quad \text{eller} \quad x=1$ //illustration
$ \displaystyle \int_{0}^{1} \left( x^{\frac{1}{3}} - x^2 \right) \, dx = \left[ \displaystyle \frac{ x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} - \displaystyle \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left[ \displaystyle \frac{ 3x^{\frac{4}{3}}}{4} - \displaystyle \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} =\displaystyle \frac{3}{4} - \displaystyle \frac{1}{3} - 0 = \displaystyle \frac{5}{12} \quad \text{(a.e.)}$ Exempel 15 Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan $y= \displaystyle \frac{1}{x^2}$ samt linjerna $y=x$ och $y = 2$.
Området måste delas upp i två integraler: $A_1 = \displaystyle \int_{a}^{b} (2 - \displaystyle \frac{1}{x^2}) \, dx$ och $A_2 = \displaystyle \int_{b}^{c} (2- x) \, dx$ //illustration Skärningspunkt $a$: $ \displaystyle \frac{1}{x^2} = 2 \quad \rightarrow \quad x^2 = \displaystyle \frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad x = \pm \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ (Den negativa roten är dock inte aktuell.) Skärningspunkt $b$: $ \displaystyle \frac{1}{x^2} = x \quad \rightarrow \quad x^3 = 1 \quad \rightarrow \quad x=1 $
$x = 2$ $A_1 = \displaystyle \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} (2 - \displaystyle \frac{1}{x^2}) \, dx = \displaystyle \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} (2 - x ^{-2}) \, dx = \left[ 2x - \displaystyle \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} = \left[ 2x + \displaystyle \frac{1}{x} \right ]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} = (2+ 1) - ( \displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2}$ $A_2= \displaystyle \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \left[ 2x - \displaystyle \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = (4-2) - (2- \displaystyle \frac{1}{2}) = \displaystyle \frac{1}{2}$
$ A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + \displaystyle \frac{1}{2} = \displaystyle \frac{7}{2} - 2\sqrt{2} \quad \text{(a.e.)}$
Råd för inläsning Tänk på att: text Lästips stående Länktips stående
|
|
