2.2 Variabelsubstitution
Sommarmatte 2
Lina (Diskussion | bidrag)
(Ny sida: <table><tr><td width="600"> <div class="inforuta"> '''Innehåll:''' * alt 1 * alt 2 </div> Övningar </td> <td> <!-- tom ruta uppe höger --> </td></tr> <tr><td width=60...)
Gå till nästa ändring →
Versionen från 27 april 2007 kl. 14.53
|
Innehåll:
|
|
[redigera] Teori[redigera] VariabelsubstitutionNär man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är variabelsubstitution, vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner – den s.k. kedjeregeln. Kedjeregeln, $ \quad \displaystyle \frac{d}{dx} f(u(x)) = f' (u(x)) \cdot u'(x)$ kan i integralform skrivas $$ \displaystyle \int f'(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = f(u(x)) + C$$ eller, $$ \displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C$$ , där $F$ är en primitiv funktion till $f$. Eftersom $$ \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C$$ , så får man $$\displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C$$
Anm.1 Anm.2 $$\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \frac{\Delta u}{\Delta x} = \displaystyle \frac{du}{dx} = u'(x)$$ vilket när $\Delta x$ går mot noll kan betraktas som att $$\Delta u = u'(x) \Delta x \quad \to \quad du = u'(x) \, dx$$ dvs., en liten ändring, $dx$, i variabeln $x$ ger upphov till ändringen $u'(x)\,dx$ i variabeln $u$. Exempel 1 Bestäm integralen $ \displaystyle \int 2 x e^{x^2} \, dx$.
Om man sätter $u(x)= x^2$ , så blir $u'(x)= 2x$. Vid variabelbytet ersätts då $e^{x^2}$ med $e^u$ och $u'(x)\, dx$, dvs. $2x \, dx$ med $du$. $$ \int 2 x e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$$ Exempel 2 Bestäm $\quad \displaystyle \int (x^3 + 1)^3 \cdot x^2 \, dx$
Sätt $u=x^3 + 1$ Då blir $u'=3x^2$ , eller $du= 3x^2\, dx$ $$\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx = \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du = \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C$$ Exempel 3 Bestäm $\quad \displaystyle \int \tan x \, dx \quad$ $\quad, (-\displaystyle \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2})$
[redigera] Integrationsgränser vid variabelbyteVid beräkning av bestämda integraler, t.ex. en area, där man använder variabelsubstitution kan man gå till väga på två sätt. Antingen beräknar man integralen som vanligt, byter tillbaka till den ursprungliga variabeln och sätter in de ursprungliga integrationsgränserna. Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet. De båda metoderna illustreras i följande exempel. Exempel 4 Beräkna integralen $\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx$.
Sätt $u=e^x \quad \to \quad u'= e^x \quad \to \quad du= e^x\, dx$ $\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{x=0}^{x=2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du = \left[ \ln |1+ u | \right]_{x=0}^{x=2} = \left[ \ln (1+ e^x) \right]_{0}^{2} = \ln (1+ e^x) - \ln 2 = \ln \left(\displaystyle \frac{1+ e^2}{2} \right)$
Metod 2 Sätt $u=e^x \quad \to \quad u'= e^x \quad \to \quad du= e^x\, dx$ $x=0$ motsvaras då av $u=e^0 = 1$ , $x = 2$ motsvaras av $u=e^2$ $\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{1}^{e^2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du = \left[ \ln |1+ u | \right]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^x) - \ln 2 = \ln \left(\displaystyle \frac{1+ e^2}{2} \right)$
$$\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ osv.}$$ Exempel 5 Beräkna integralen $ \quad \displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx$.
Substitutionen $\left[\matrix{u= \sin x \\ u' = \cos x \\ du= \cos x \, dx}\right]$ och $\left[\matrix{ x=0 \to u=\sin 0 = 0 \\ x=\displaystyle \frac{\pi}{2} \to u= \sin \frac{\pi}{2} = 1} \right]$ ger
(Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.) Exempel 6 Betrakta beräkningen $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{ \cos x} {\sin^2 x} dx = \left[ \matrix{ u = \sin x \\ du = \cos x \, dx \\ u(- \frac{\pi}{2}) = -1 \\ u (\frac{\pi}{2}) = 1} \right ] = \displaystyle \int_{-1}^{1} \displaystyle \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\displaystyle \frac{1}{u} \right]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2$ Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på
att $f(u)= \displaystyle \frac{1}{u^2}$ inte är kontinuerlig i intervallet $[-1, 1]$ (se fig.). \\illustration
Råd för inläsning Tänk på att: text Lästips stående Länktips stående
|
|
