2.2 Variabelsubstitution

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 27 april 2007 kl. 15.07

Innehåll:

alt 1
alt 2

Övningar

Teori

Variabelsubstitution

När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är variabelsubstitution, vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner – den s.k. kedjeregeln.

Kedjeregeln, $ \quad \displaystyle \frac{d}{dx} f(u(x)) = f' (u(x)) \cdot u'(x)$

kan i integralform skrivas $$ \displaystyle \int f'(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = f(u(x)) + C$$

eller,

$$ \displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C \quad \mbox{,}$$

där $F$ är en primitiv funktion till $f$.

Eftersom $$ \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C \quad \mbox{,}$$

så får man

$$\displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C$$

Om man ersätter uttrycket $u(x)$ med variabeln $u$ och $u'(x)\, dx$ med $du$, kan man alltså omvandla den krångligare integranden $f(u(x)) \cdot u'(x)$ (med $x$ som variabel) med den förhoppningsvis enklare $f(u)$ (med $u$ som variabel). Metoden kallas variabelsubstitution och kan användas när integranden kan skrivas på formen $f(u(x)) \cdot u'(x)$.

Anm.1
Metoden bygger naturligtvis på att alla förutsättningar för integrering är uppfyllda; att $u(x)$ är deriverbar i det aktuella intervallet, samt att $f$ är definierad och kontinuerlig i värdemängden till $u$, dvs. för alla värden som $u$ kan anta i intervallet.

Anm.2
Att ersätta $u'(x) \, dx$ med $du$ kan också motiveras genom att studera övergången från differenskvot till derivata:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \frac{\Delta u}{\Delta x} = \displaystyle \frac{du}{dx} = u'(x)$$

vilket när $\Delta x$ går mot noll kan betraktas som att

$$\Delta u = u'(x) \Delta x \quad \to \quad du = u'(x) \, dx$$

dvs., en liten ändring, $dx$, i variabeln $x$ ger upphov till ändringen $u'(x)\,dx$ i variabeln $u$.

Exempel 1

Bestäm integralen $ \displaystyle \int 2 x e^{x^2} \, dx$.

Lösning

Om man sätter $u(x)= x^2$ , så blir $u'(x)= 2x$. Vid variabelbytet ersätts då $e^{x^2}$ med $e^u$ och $u'(x)\, dx$, dvs. $2x \, dx$ med $du$.

$$ \int 2 x e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$$

Exempel 2

Bestäm $\quad \displaystyle \int (x^3 + 1)^3 \cdot x^2 \, dx$

Lösning

Sätt $u=x^3 + 1$

Då blir $u'=3x^2$ , eller $du= 3x^2\, dx$

$$\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx = \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du = \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C$$

Exempel 3

Bestäm $\quad \displaystyle \int \tan x \, dx \quad$ $\quad, (-\displaystyle \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2})$

Lösning $$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\matrix{u= \cos x \\ u' = - \sin x \\ du= - \sin x \, dx}\right] = \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C$$

Integrationsgränser vid variabelbyte

Vid beräkning av bestämda integraler, t.ex. en area, där man använder variabelsubstitution kan man gå till väga på två sätt. Antingen beräknar man integralen som vanligt, byter tillbaka till den ursprungliga variabeln och sätter in de ursprungliga integrationsgränserna. Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet. De båda metoderna illustreras i följande exempel.

Exempel 4

Beräkna integralen $\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx$.

Metod 1

Sätt $u=e^x \quad \to \quad u'= e^x \quad \to \quad du= e^x\, dx$

$\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{x=0}^{x=2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du = \left[ \ln |1+ u | \right]_{x=0}^{x=2} = \left[ \ln (1+ e^x) \right]_{0}^{2} = \ln (1+ e^x) - \ln 2 = \ln \left(\displaystyle \frac{1+ e^2}{2} \right)$

Metod 2

Sätt $u=e^x \quad \to \quad u'= e^x \quad \to \quad du= e^x\, dx$

$x=0$ motsvaras då av $u=e^0 = 1$ , $x = 2$ motsvaras av $u=e^2$

$\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{1}^{e^2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du = \left[ \ln |1+ u | \right]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^x) - \ln 2 = \ln \left(\displaystyle \frac{1+ e^2}{2} \right)$

Observera att integrationsgränserna i metod 1 måste skrivas $x = 0$ och $x = 2$ där variabeln inte är $x$. Det vore fel att skriva

$$\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ osv.}$$

Exempel 5

Beräkna integralen $ \quad \displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx$.

Lösning

Substitutionen $\left[\matrix{u= \sin x \\ u' = \cos x \\ du= \cos x \, dx}\right]$

och $\left[\matrix{ x=0 \to u=\sin 0 = 0 \\ x=\displaystyle \frac{\pi}{2} \to u= \sin \frac{\pi}{2} = 1} \right]$ ger

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx= \displaystyle \int_{0}^{1} u^3 du = \left[ \displaystyle \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{4} - 0 = \displaystyle \frac{1}{4}$

(Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.)

Exempel 6

Betrakta beräkningen

$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{ \cos x} {\sin^2 x} dx = \left[ \matrix{ u = \sin x \\ du = \cos x \, dx \\ u(- \frac{\pi}{2}) = -1 \\ u (\frac{\pi}{2}) = 1} \right ] = \displaystyle \int_{-1}^{1} \displaystyle \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\displaystyle \frac{1}{u} \right]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2$

Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på att $f(u)= \displaystyle \frac{1}{u^2}$ inte är kontinuerlig i intervallet $[-1, 1]$ (se fig.).

Villkoret att $f(u(x))$ ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som $u(x)$ kan anta i det aktuella intervallet är alltså nödvändigt för att substitutionen $u=u(x)$ ska fungera.

Råd för inläsning

Tänk på att:

text

Lästips

stående

Länktips

stående

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/2.2_Variabelsubstitution

2.2 Variabelsubstitution

Sommarmatte 2

Versionen från 27 april 2007 kl. 15.07

Teori

Variabelsubstitution

Integrationsgränser vid variabelbyte

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

 Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet.
 De båda metoderna illustreras i följande exempel.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 5'''
+[[Bild:Integral20.gif|200px|right]]
 Beräkna integralen $ \quad \displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx$.
-\\illustration
 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx= \displaystyle \int_{0}^{1} u^3 du = \left[ \displaystyle \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{4} - 0 = \displaystyle \frac{1}{4}$
 (Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.)
 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{ \cos x} {\sin^2 x} dx = \left[ \matrix{ u = \sin x \\ du = \cos x \, dx \\ u(- \frac{\pi}{2}) = -1 \\ u (\frac{\pi}{2}) = 1} \right ] = \displaystyle \int_{-1}^{1} \displaystyle \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\displaystyle \frac{1}{u} \right]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2$
+[[Bild:Integral21.gif|200px|right]]
 Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på
-att $f(u)= \displaystyle \frac{1}{u^2}$  inte är kontinuerlig i intervallet $[-1, 1]$ (se fig.). \\illustration<br>
+att $f(u)= \displaystyle \frac{1}{u^2}$  inte är kontinuerlig i intervallet $[-1, 1]$ (se fig.).
 Villkoret att $f(u(x))$ ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som $u(x)$ kan anta i det
 aktuella intervallet är alltså nödvändigt för att
 substitutionen $u=u(x)$ ska fungera.
 </div>