3.1 Räkning med komplexa tal
Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 11 juni 2007 kl. 13.49 (redigera) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) (→Inledning) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 11 juni 2007 kl. 13.49 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) (→Inledning) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 32: | Rad 32: | ||
| ==Inledning== | ==Inledning== | ||
| - | De reella talen utgör en fullständig mängd av tal i den meningen att de fyller tallinjen, dvs. det finns inga "hål" i den reella tallinjen. Trots detta räcker de reella talen inte till som lösningar till alla algebraiska ekvationer, dvs. det finns ekvationer av typen<br\><br\> | + | De reella talen utgör en fullständig mängd av tal i den meningen att de fyller tallinjen, dvs. det finns inga "hål" i den reella tallinjen. Trots detta räcker de reella talen inte till som lösningar till alla algebraiska ekvationer, dvs. det finns ekvationer av typen<br\> |
| - | <div align="center">$a_0+a_1x+a_2x^2+\mbox{...}+a_nx^n=0$</div><br\><br\> | + | <div align="center">$a_0+a_1x+a_2x^2+\mbox{...}+a_nx^n=0$</div><br\> |
| som inte har någon lösning bland de reella talen. Exempelvis har ekvationen $x^2+1=0$ ingen reell lösning, eftersom inget reellt tal uppfyller att $x^2=-1$. Om vi däremot kan tänka oss $\sqrt{-1}$ som det tal som uppfyller ekvationen $x^2=-1$ och tillåter oss att räkna med $\sqrt{-1}$ som vilket tal som helst, så visar det sig att alla algebraiska ekvationer har lösningar. <br\> | som inte har någon lösning bland de reella talen. Exempelvis har ekvationen $x^2+1=0$ ingen reell lösning, eftersom inget reellt tal uppfyller att $x^2=-1$. Om vi däremot kan tänka oss $\sqrt{-1}$ som det tal som uppfyller ekvationen $x^2=-1$ och tillåter oss att räkna med $\sqrt{-1}$ som vilket tal som helst, så visar det sig att alla algebraiska ekvationer har lösningar. <br\> | ||
| $\sqrt{-1}$ är alltså inget reellt tal; vi kan inte gå ut i naturen och uppmäta $\sqrt{-1}$ någonstans, eller hitta något som är $\sqrt{-1}$ till antalet, men vi kan ändå ha nytta av talet i högst reella sammanhang. | $\sqrt{-1}$ är alltså inget reellt tal; vi kan inte gå ut i naturen och uppmäta $\sqrt{-1}$ någonstans, eller hitta något som är $\sqrt{-1}$ till antalet, men vi kan ändå ha nytta av talet i högst reella sammanhang. | ||
