1.3 Max- och minproblem

Övningar

Växande och avtagande

Begreppen växande och avtagande känns kanske självklara när man pratar om matematiska funktioner; om funktionen är växande så lutar grafen uppåt och den är avtagande så lutar grafen nedåt.

De matematiska definitionerna är följande:

En funktion är växande i ett intervall om för alla $\,x\,$ inom intervallet gäller att

$$x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}$$

En funktion är avtagande i ett intervall om för alla $x$ inom intervallet gäller att $$x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}$$

Med vardagligt språk säger alltså definitionen av t.ex. växande funktion att för ett x-värde till höger på x-axeln är funktionsvärdet minst lika stort som för ett x-värde till vänster. Lägg märke till att denna definition innebär att en funktion kan vara konstant i ett intervall och ändå vara växande eller avtagande. En funktion som är konstant i hela det aktuella intervallet är enligt definitionen både växande och avtagande.

Om man vill utesluta möjligheten att en växande/avtagande funktionen är konstant på ett intervall talar man istället om strängt växande och strängt avtagande funktioner.

En funktion är strängt växande i ett intervall om för alla $\,x\,$ inom intervallet gäller att

$$x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}$$

En funktion är strängt avtagande i ett intervall om för alla $x$ inom intervallet gäller att

$$x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}$$

(En strängt växande/avtagande funktion får alltså inte vara konstant i någon del av intervallet.)

Exempel 1

$y= f(x)\,$ är växande i intervallet $\,0 \le x \le 10\,$.

Funktionen $\,y=-x^3\,$ är en strängt avtagande funktion.

$\,y=x^2\,$ är strängt växande för $\,x \ge 0$.

Derivatan kan givetvis användas för att undersöka om en funktion är växande eller avtagande. Vi har att $$\eqalign{f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ är (strängt) växande.}\cr f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ är (strängt) avtagande.}}$$

Observera att även enstaka punkter där $\,f^{\,\prime}(x) = 0\,$ kan ingå i ett strängt växande eller avtagande intervall.

Kritiska punkter

Punkter där $\,f^{\,\prime}(x) = 0\,$ kallas kritiska (eller stationära) punkter och är vanligtvis av tre olika slag:

• lokal maximipunkt med $f^{\,\prime}(x) > 0 $ till vänster, och $f^{\,\prime}(x) < 0 $ till höger om punkten.
• lokal minimipunkt med $f^{\,\prime}(x) < 0 $ till vänster, och $f^{\,\prime}(x) > 0 $ till höger om punkten.
• terrasspunkt med $f^{\,\prime}(x) < 0 $ eller $f^{\,\prime}(x) > 0 $ på båda sidor om punkten.

Funktionen i figuren ovan har en lokal minimipunkt för $\,x = -2\,$, terrasspunkt för $\,x = 0\,$ och lokal maximipunkt för $\,x = 2\,$.

Teckentabell

Genom att studera derivatans tecken (+, – eller 0) kan vi alltså få en bra uppfattning om kurvans utseende.

Detta utnyttjar man i en s.k. teckentabell. Man bestämmer först de x-värden där $\,f^{\,\prime}(x) =0\,$ och beräknar sedan derivatans tecken på båda sidor om dessa. Med hjälp av en eller annan "stödpunkt" på kurvan kan man dessutom utifrån teckentabellen skissera kurvan på ett ofta godtagbart sätt.

Exempel 2

Gör en teckentabell över funktionen $\,f(x) = x^3 -12x + 6\,$ och skissera därefter funktionens graf.

Funktionens derivata ges av $$f'(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).$$ Faktorn $\,x-2\,$ är negativ till vänster om $\,x=2\,$ och positiv till höger om $\,x=2\,$. På samma sätt är faktorn $\,x+2\,$ negativ till vänster om $\,x=-2\,$ och positiv till höger om $\,x=-2\,$. Denna information kan vi också sammanfatta i en tabell:

$x$		$-2$		$2$
$x-2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x+2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$

Eftersom derivatan är produkten av $\,x-2\,$ och $\,x+2\,$ så kan vi bestämma derivatans tecken utifrån faktorernas tecken och ställa upp en följande tabell över derivatans tecken på tallinjen:

$x$		$-2$		$2$
$f^{\,\prime}(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$22$	$\searrow$	$-10$	$\nearrow$

I tabellens sista rad har vi skrivit ut pilar som visar om funktionen är strängt växande $\,(\,\nearrow\,\,)\,$ eller strängt avtagande $\,(\,\searrow\,\,)\,$ i respektive intervall samt funktionens värde i de kritiska punkterna $\,x=-2\,$ och $\,x=2\,$.

Från diagrammet ser vi att $\,f(x)\,$ har en lokal maximipunkt i $\,(–2, 22)\,$ och en lokal minimipunkt i $\,(2, –10)\,$. Grafen kan nu skissas:

Max- och minpunkter (extrempunkter)

Punkter där en funktion antar sitt största eller minsta värde i jämförelse med omgivningen kallas för lokala maximi- eller minimipunkter (förkortas ofta max- och minpunkter). Med ett gemensamt namn kallas dessa punkter för extrempunkter.

En extrempunkt kan uppträda i tre olika slags punkter:

• i en kritisk punkt $\,(\, f^{\,\prime}(x)=0 \,)\,$.
• i en punkt där derivatan inte existerar (s.k. singulär punkt).
• i en ändpunkt till definitionsmängden.

Exempel 3

Funktionen nedan har fyra extrempunkter; maxpunkter i $\,x=c\,$ och $\,x=e\,$, och minpunkter i $\,x=a\,$ och $\,x=d\,$.

I $\,x=a\,$, $\,x=b\,$ och $\,x=d\,$ är $\,f'(x) =0\,$, men det är endast i $\,x=a\,$ och $\,x=d\,$ som vi har extrempunkter, eftersom $\,x=b\,$ är en terrasspunkt.

I $\,x=c\,$ är inte derivatan definierad (eftersom det är en spets, eller hörn, på kurvan och lutningen inte går att bestämma). Punkten $\,x=e\,$ är en ändpunkt.

När man letar efter extrempunkter hos en funktion gäller det alltså att ta reda på och undersöka alla tänkbara kandidater av punkter. En lämplig arbetsgång är:

1. Derivera funktionen
2. Kontrollera om det finns några punkter där $\,f'(x)\,$ inte är definierad.
3. Bestäm alla punkter där $\,f'(x) = 0\,$.
4. Gör en teckentabell för att få fram alla extrempunkter.
5. Beräkna funktionsvärdet i alla extrempunkter, samt i eventuella ändpunkter.

Exempel 5

Bestäm alla extrempunkter på kurvan $\,y= x - x^{2/3}\,$.

Derivatan till funktionen ges av $$y' = 1 - \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}$$ Från detta uttryck ser vi att $\,y'\,$ inte är definierad för $\,x = 0\,$ (vilket dock $\,y\,$ är). Detta betyder att funktionen har en singulär punkt i $\,x=0\,$.

De kritiska punkterna till funktionen ges av $$\displaystyle y'=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1= \frac {2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt[3]{x} = {\textstyle\frac {2}{3}} \quad \Leftrightarrow \quad x = \bigl({\textstyle\frac{2}{3}}\bigr)^3 = {\textstyle\frac{8}{27}}\,\mbox{.}$$

De enda punkter där funktionen eventuellt kan ha extrempunkter är alltså $\,x=0\,$ och $\,x=\frac{8}{27}\,$. För att avgöra dessa punkters karaktär skriver vi upp en teckentabell:

$x$		$0$		$\frac{8}{27}$
$y'$	$+$	ej def.	$-$	$0$	$+$
$y$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-\frac{4}{27}$	$\nearrow$

Kurvan har alltså en lokal maximipunkt i $\,(0, 0)\,$ (en spets) och en lokal minimipunkt i $\,(\frac{8}{27},-\frac{4}{27})\,$.

Absolut max/min

En funktion har ett absolut (eller globalt) maximum (minimum) i en punkt om funktionsvärdet inte är större (mindre) i någon annan punkt i hela definitionsmängden. Ofta kallar man också detta för funktionens största (minsta) värde.

För att bestämma en funktions absoluta max. eller min. så måste man alltså hitta alla extrempunkter och beräkna funktionsvärdena i dessa. Om definitionsmängden har ändpunkter måste man givetvis också undersöka funktionens värde i dessa punkter.

Observera att en funktion kan sakna såväl absolut max. som absolut min. Notera också att en funktion kan ha flera lokala extrempunkter utan att ha ett globalt max. eller min.

I tillämpningar ger omständigheterna ofta en begränsad definitionsmängd, dvs. man betraktar endast en del av funktionens graf. Man måste därför vara vaksam på att ett globalt max. eller min. mycket väl kan ligga i intervallets ändpunkter.

Funktionen ovan betraktas endast i intervallet $a\le x \le e$. Vi ser att funktionens minsta värde i detta intervall inträffar i den kritiska punkten $x=b$ , medan största värdet återfinns i ändpunkten $x=e$.

Exempel 7

Bestäm största och minsta värde för funktionen $\,f(x) = x^3 -3x + 2\,$ i intervallet $\,-0{,}5 \le x \le 1\,$.

Vi deriverar funktionen $\,f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3\,$ och sätter derivatan lika med noll för att få fram alla kritiska punkter $$f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}$$ Punkten $x = –1$ ligger dock utanför den aktuella definitionsmängden och $x = 1$ sammanfaller med definitionsmängdens ena ändpunkt. Eftersom funktionen saknar singulära punkten (funktioen är deriverbar överallt) måste funktionens största och minsta värde antas i intervallets ändpunkter. $$\eqalign{f(-0{,}5) &= 3{,}375\cr f(1)&=0}$$ Funktionens största värde i det givna intervallet är alltså $3{,}375$. Minsta värdet är $0$ (se fig.)

Figuren visar funktionens hela graf streckad, med den del som ligger inom det givna intervallet heldragen.

Andraderivatan

Tecknet på derivatan av en funktion ger oss information om huruvida funktionen är växande eller avtagande. På samma sätt kan andraderivatans tecken visa om förstaderivatan är växande eller avtagande. Detta kan man bl.a. utnyttja för att ta reda på om en given extrempunkt är en max-, eller minpunkt.

Om funktionen $\,f(x)\,$ har en kritisk punkt i $\,x=a\,$ där $f^{\,\prime\prime}(a)<0$, då gäller att

1. Derivatan $\,f^{\,\prime}(x)\,$ är strängt avtagande i en omgivning kring $\,x=a\,$.
2. Eftersom $\,f^{\,\prime}(a)=0\,$ är alltså $\,f^{\,\prime}(x)>0\,$ till vänster om $\,x=a\,$ och $\,f^{\,\prime}(x)<0\,$ till höger om $\,x=a\,$.
3. Detta medför att funktionen $\,f(x)\,$ har en lokal maximipunkt i $\,x=a\,$.

Om funktionen $\,f(x)\,$ har en kritisk punkt i $\,x=a\,$ där $f^{\,\prime\prime}(a)>0$, då gäller att

1. Derivatan $\,f^{\,\prime}(x)\,$ är strängt växande i en omgivning kring $\,x=a\,$.
2. Eftersom $\,f^{\,\prime}(a)=0\,$ är alltså $\,f^{\,\prime}(x)<0\,$ till vänster om $\,x=a\,$ och $\,f^{\,\prime}(x)>0\,$ till höger om $\,x=a\,$.
3. Detta medför att funktionen $\,f(x)\,$ har en lokal minimipunkt i $\,x=a\,$.

Om $\,f^{\,\prime\prime}(a)=0$, får vi ingen information utan ytterligare undersökning krävs, t.ex. teckentabell.