3.2 Polär form

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 18 juni 2007 kl. 10.13

Innehåll:

Det komplexa talplanet
Addition och subtraktion i talplanet
Belopp och argument
Polär form
Multiplikation och division i polär form
Multiplikation med $i$ i talplanet

Färdigheter:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Ha geometrisk förståelse för de komplexa talen och räkneoperationerna i talplanet
Kunna omvandla komplexa tal mellan formen $a+ib$ och polär form.

Övningar

Teori

Det komplexa talplanet

Eftersom ett komplext tal $\,z=a+bi\,$ består av en realdel $(a)$ och en imaginärdel $(b)$, så kan $z$ betraktas som ett ordnat talpar $(a, b)$ och tolkas som en punkt i ett koordinatsystem. Man bildar därför ett koordinatsystem genom att ställa en imaginär axel (en tallinje med enheten $i$) vinkelrät mot en reell axel (den reella tallinjen). Vi kan nu beskriva varje komplext tal med en punkt i detta koordinatsystem, och varje punkt beskriver ett unikt komplext tal.

Denna geometriska tolkning av de komplexa talen kallas det komplexa talplanet.
Anm: De reella talen, dvs. alla komplexa tal med imaginärdel $= 0$, ligger alltså längs den reella axeln. Man kan alltså se utvidgningen av talsystemet från $\mathbb{R}$ (de reella talen) till $\mathbb{Z}$ (de komplexa talen) som att tillföra en ny dimension till den redan fyllda tallinjen.

Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:

Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. $z-w=z+(-w)$ och får följande utseende:

Exempel 1
$z=2+i,\quad w=-3-i$
Markera $z,\, w,\, \bar z, \,\bar z -\bar w\,$ och $\,z- w\,$ i det komplexa talplanet.

Lösning:
$\bar z=2-i$
$\bar w=-3+i$
$z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$
$\bar z -\bar w = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad (=\bar{z-w})$

Exempel 2
Markera i det komplexa talplanet alla tal $z$ som uppfyller följande villkor:
A: $\mbox{Re} \, z \ge 3$
B: -1 < $\mbox{Im} \, z \le 2$

Lösning:

Förlängning och förkortning

teori

$$ fristående formel dubbla dollar $$

teori igen

Tips: å här är världens tips asså

teori, vad skulle vi göra utan det

Viktig regel: $$dubbeldollar$$

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

$matte$
text

teori igen

Råd för inläsning

Tänk på att:

text

Lästips

stående

Länktips

stående

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.2_Pol%C3%A4r_form

 <div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
+'''Exempel 1'''<br\>
+$z=2+i,\quad w=-3-i$<br\>
+Markera $z,\, w,\, \bar z, \,\bar z -\bar w\,$ och $\,z- w\,$ i det komplexa talplanet.<br\><br\>
+<i>Lösning</i>:<br\>
+$\bar z=2-i$<br\>
+$\bar w=-3+i$<br\>
+$z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$<br\>
+$\bar z -\bar w = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad (=\bar{z-w})$<br\>
+[[Bild:komplext-talplan-4.gif]]
+</div>
+<div class="exempel">
+'''Exempel 2'''<br\>
+Markera i det komplexa talplanet alla tal $z$ som uppfyller följande villkor: <br\>
+<b>A:</b> $\mbox{Re} \, z \ge 3$<br\>
+<b>B:</b> -1 < $\mbox{Im} \, z \le 2$<br\><br\>
+<i>Lösning</i>:
+[[Bild:komplext-talplan-9.gif]]
 </div>

3.2 Polär form

Sommarmatte 2

Versionen från 18 juni 2007 kl. 10.13

Teori

Det komplexa talplanet

Förlängning och förkortning

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda