3.2 Polär form

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 18 juni 2007 kl. 10.22

Innehåll:

Det komplexa talplanet
Addition och subtraktion i talplanet
Belopp och argument
Polär form
Multiplikation och division i polär form
Multiplikation med $i$ i talplanet

Färdigheter:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Ha geometrisk förståelse för de komplexa talen och räkneoperationerna i talplanet
Kunna omvandla komplexa tal mellan formen $a+ib$ och polär form.

Övningar

Innehåll

1 Teori

Teori

Det komplexa talplanet

Eftersom ett komplext tal $\,z=a+bi\,$ består av en realdel $(a)$ och en imaginärdel $(b)$, så kan $z$ betraktas som ett ordnat talpar $(a, b)$ och tolkas som en punkt i ett koordinatsystem. Man bildar därför ett koordinatsystem genom att ställa en imaginär axel (en tallinje med enheten $i$) vinkelrät mot en reell axel (den reella tallinjen). Vi kan nu beskriva varje komplext tal med en punkt i detta koordinatsystem, och varje punkt beskriver ett unikt komplext tal.

Denna geometriska tolkning av de komplexa talen kallas det komplexa talplanet.
Anm: De reella talen, dvs. alla komplexa tal med imaginärdel $= 0$, ligger alltså längs den reella axeln. Man kan alltså se utvidgningen av talsystemet från $\displaystyle\mathbb{R}$ (de reella talen) till $\mathbb{Z}$ (de komplexa talen) som att tillföra en ny dimension till den redan fyllda tallinjen.

Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:

Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. $z-w=z+(-w)$ och får följande utseende:

Exempel 1
$z=2+i,\quad w=-3-i$
Markera $z,\, w,\, \bar z, \,\bar z -\bar w\,$ och $\,z- w\,$ i det komplexa talplanet.

Lösning:
$\bar z=2-i$
$\bar w=-3+i$
$z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$
$\bar z -\bar w = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad (=\overline{z-w})$

Exempel 2
Markera i det komplexa talplanet alla tal $z$ som uppfyller följande villkor:
A: $\mbox{Re} \, z \ge 3$
B: -1 < $\mbox{Im} \, z \le 2$

Lösning:

Absolutbelopp

De reella talen går att ordna i storleksordning, dvs. vi kan avgöra om ett reellt tal är större än ett annat; ju längre till höger på den reella tallinjen desto större är talet.
För de komplexa talen saknar man denna möjlighet. Vi kan inte utan vidare avgöra vilket tal som är störst av t.ex. $z=1-i$ och $w=-1+i$ . Med hjälp av begreppet absolutbelopp kan vi dock definiera ett mått på storleken av ett komplext tal.

För ett komplext tal $z=a+bi$ definieras absolutbeloppet $|z|$ som

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Vi ser att $|z|$ är ett reellt tal och att $|z|\ge 0$. För reella tal $(b = 0)$ gäller att $|z|=\sqrt{a^2}=|a|$ , vilket överensstämmer med den vanliga definitionen för absolutbelopp av reella tal. Geometriskt är absolutbeloppet avståndet från talet $z=a+bi$ (punkten $(a, b)$) till $z = 0$ (origo), enligt Pythagoras sats.

Förlängning och förkortning

teori

$$ fristående formel dubbla dollar $$

teori igen

Tips: å här är världens tips asså

teori, vad skulle vi göra utan det

Viktig regel: $$dubbeldollar$$

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

$matte$
text

teori igen

Råd för inläsning

Tänk på att:

text

Lästips

stående

Länktips

stående

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.2_Pol%C3%A4r_form

 ==Absolutbelopp==
+De reella talen går att ordna i storleksordning, dvs. vi kan avgöra om ett reellt tal är större än ett annat; ju längre till höger på den reella tallinjen desto större är talet. <br\>
+För de komplexa talen saknar man denna möjlighet. Vi kan inte utan vidare avgöra vilket tal som är störst av t.ex. $z=1-i$  och $w=-1+i$ . Med hjälp av begreppet <i>absolutbelopp</i> kan vi dock definiera ett mått på storleken av ett komplext tal.<br\><br\>
+För ett komplext tal $z=a+bi$ definieras absolutbeloppet $|z|$ som <br\><br\>
+$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$<br\><br\>
+Vi ser att  $|z|$ är ett reellt tal och att $|z|\ge 0$. För reella tal $(b = 0)$ gäller att $|z|=\sqrt{a^2}=|a|$ , vilket överensstämmer med den vanliga definitionen för absolutbelopp av reella tal.
+Geometriskt är absolutbeloppet avståndet från talet $z=a+bi$ (punkten $(a, b)$) till $z = 0$ (origo), enligt Pythagoras sats.<br\>
+<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-5.gif]]</div>
 ==Förlängning och förkortning==

3.2 Polär form

Sommarmatte 2

Versionen från 18 juni 2007 kl. 10.22

Innehåll

Teori

Det komplexa talplanet

Absolutbelopp

Förlängning och förkortning

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda