Övn 1
Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.56 (redigera) KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag) (→Övning 1.1:5) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.57 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 125: | Rad 125: | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 1.2:1== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\cos x \cdot \sin x$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$x^2\ln x$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2+1}{x+1}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\sin x}{x}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">e)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x}{\ln x}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">f)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x \ln x}{\sin x}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$2x\ln x+ x$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=1-\frac{2}{(x+1)^2}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">e)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{(\ln x)^2}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">f)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\ln x + 1}{\sin x}-\frac{x\ln x \cos x}{\sin^2x}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_1a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_1b.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_1c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning d) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga d) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_1d.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning e) </DIV> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga e) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_1e.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning f) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_1f-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_2_1f-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 1.2:2== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$ \sin x^2$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$e^{x^2+x}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\sqrt{\cos x}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\ln \ln x$</td> | ||
| + | <td class="ntext">e)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$x(2x+1)^4$</td> | ||
| + | <td class="ntext">f)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\cos \sqrt{1-x}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\cos x^2 \cdot 2x$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$e^{x^2+x}(2x+1)$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{x\ln x}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">e)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$(2x+1)^3(10x+1)$</td> | ||
| + | <td class="ntext">f)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_2a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_2b.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_2c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning d) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga d) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_2d.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning e) </DIV> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga e) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_2e-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_2_2e-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning f) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga f) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_2f-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_2_2f-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 1.2:3== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$ \ln (\sqrt{x} + \sqrt{x+1})$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\sqrt{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\sin \cos \sin x$</td> | ||
| + | <td class="ntext">e)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$e^{\sin x^2}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">f)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$x^{\tan x}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{1-2x^2}{x^2(1-x^2)^{3/2}}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$-\cos\cos\sin x \cdot \sin\sin x \cdot \cos x$</td> | ||
| + | <td class="ntext">e)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$e^{\sin x^2}\cdot \cos x^2 \cdot 2x$</td> | ||
| + | <td class="ntext">f)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x^{\tan x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2x}+\frac{\tan x}{x}\Bigr)$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_3a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_2_3a-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_3b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_2_3b-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_3c-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_2_3c-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning d) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga d) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_3d.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning e) </DIV> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga e) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_3e.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning f) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga f) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_3f.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 1.2:4== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Beräkna andraderivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$ \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$x ( \sin \ln x +\cos \ln x )$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{2\sin \ln x}{x}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_4a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_2_4a-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_2_4b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_2_4b-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.57
Övning 1.1:1
Grafen till $f(x)$ är ritad i figuren. BILD
| a) | Vilket tecken har $f'(-4)$ respektive $f'(1)$? |
| b) | För vilka $x$-värden är $f'(x)=0$? |
| c) | I vilket eller vilka intervall är $f'(x)$ negativ? |
| a) | $f'(-4)>0, \,\,\,\, f'(1)<0$ |
| b) | $x=-3$ och $x=2$ |
| c) | $-3\le x \le 2$ |
Övning 1.1:2
Bestäm $f'(x)$ om
| a) | $f(x) = x^2 -3x +1$ | b) | $f(x)=\cos x -\sin x$ | c) | $f(x)= e^x-\ln x$ |
| d) | $f(x)=\sqrt{x}$ | e) | $f(x) = (x^2-1)^2$ | f) | $f(x)= \cos (x+\pi/3)$ |
| a) $f'(x)=2x-3$ |
| b) $f'(x)=-\sin x -\cos x$ |
| c) $f'(x)=e^x-\displaystyle\frac{1}{x}$ |
| d) $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}$ |
| e) $f'(x)=4x(x^2-1)$ |
| f) $f'(x)=-\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ |
Övning 1.1:3
En liten boll som släpps från höjden $h=10$m ovanför marken vid tidpunkten $t=0$, har vid tiden $t$ (mätt i sekunder) höjden $h(t)=10-\displaystyle\frac{9,\!82}{2}\,t^2$. Vilken fart har bollen när den slår i backen?
| $14{,}0\,$ m/s |
Övning 1.1:4
Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan $y=x^2$ i punkten $(1,1)$.
|
Tangentens ekvation: $\ y=2x-1$ |
Övning 1.1:5
Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$.
| $\bigl(1-\sqrt2, -3+2\sqrt2\bigr)\,$ och $\,\bigl(1+\sqrt2, -3-2\sqrt2\bigr)$ |
Övning 1.2:1
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $\cos x \cdot \sin x$ | b) | $x^2\ln x$ | c) | $\displaystyle\frac{x^2+1}{x+1}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ | e) | $\displaystyle\frac{x}{\ln x}$ | f) | $\displaystyle\frac{x \ln x}{\sin x}$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$ | b) | $2x\ln x+ x$ | c) | $\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=1-\frac{2}{(x+1)^2}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$ | e) | $\displaystyle\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{(\ln x)^2}$ | f) | $\displaystyle \frac{\ln x + 1}{\sin x}-\frac{x\ln x \cos x}{\sin^2x}$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning e)
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning f)
Lösning till delfråga c)
|
|
Övning 1.2:2
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $ \sin x^2$ | b) | $e^{x^2+x}$ | c) | $\sqrt{\cos x}$ |
| d) | $\ln \ln x$ | e) | $x(2x+1)^4$ | f) | $\cos \sqrt{1-x}$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $\cos x^2 \cdot 2x$ | b) | $e^{x^2+x}(2x+1)$ | c) | $\displaystyle - \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{1}{x\ln x}$ | e) | $(2x+1)^3(10x+1)$ | f) | $\displaystyle\frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning e)
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning f)
Lösning till delfråga f)
|
|
Övning 1.2:3
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $ \ln (\sqrt{x} + \sqrt{x+1})$ | b) | $\sqrt{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$ | c) | $\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$ |
| d) | $\sin \cos \sin x$ | e) | $e^{\sin x^2}$ | f) | $x^{\tan x}$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ | b) | $\displaystyle - \frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}$ | c) | $\displaystyle - \frac{1-2x^2}{x^2(1-x^2)^{3/2}}$ |
| d) | $-\cos\cos\sin x \cdot \sin\sin x \cdot \cos x$ | e) | $e^{\sin x^2}\cdot \cos x^2 \cdot 2x$ | f) | $\displaystyle x^{\tan x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2x}+\frac{\tan x}{x}\Bigr)$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning e)
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning f)
Lösning till delfråga f)
|
|
Övning 1.2:4
Beräkna andraderivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $ \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ | b) | $x ( \sin \ln x +\cos \ln x )$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $\displaystyle\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}$ | b) | $\displaystyle - \frac{2\sin \ln x}{x}$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
