3.4 Komplexa polynom

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 25 juni 2007 kl. 15.53 (redigera)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)

← Gå till föregående ändring		 Versionen från 26 juni 2007 kl. 11.46 (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(→Kvadratkomplettering)
Gå till nästa ändring →
Rad 34: Rad 34:
==Kvadratkomplettering== ==Kvadratkomplettering==
 +Kvadreringsreglerna, $\qquad \left\{ \begin{matrix} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{matrix} \right.$ <br\>
 +som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck.<br\>
 +Exempelvis är
 +
 +$$x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\mbox{och}$$
 +$$x^2-10x+25=(x-5)^2$$
 +
 +==Lösning med formel==
 +Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
 +
 +$$x^2+4x+4=9$$
 +$$(x+2)^2=9$$
 +$$x+2=\pm 3$$
 +$$x=-2\pm 3,\quad\mbox{dvs}\quad x_1=1 \quad\mbox{och}\quad x_2=-5$$
 +
 +Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
 +
 +$$x^2-4x-5=0$$
 +
 +Genom att addera $9$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
 +$$x^2-4x-5+9=9$$
 +$$x^2-4x+4=9\quad\mbox{osv.}$$
 +Metoden kallas <i>kvadratkomplettering</i>.
==Lösning med formel== ==Lösning med formel==

Versionen från 26 juni 2007 kl. 11.46

Innehåll:

  • Faktorsatsen
  • Polynomdivision
  • Algebrans fundamentalsats


Färdigheter:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Utföra polynomdivision
  • Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom
  • Veta att en polynomekvation av grad $n$ har $n$ rötter (räknade med multiplicitet)
  • Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter



Övningar

Kvadratkomplettering

Kvadreringsreglerna, $\qquad \left\{ \begin{matrix} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{matrix} \right.$
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck.
Exempelvis är

$$x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\mbox{och}$$ $$x^2-10x+25=(x-5)^2$$

Lösning med formel

Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.

$$x^2+4x+4=9$$ $$(x+2)^2=9$$ $$x+2=\pm 3$$ $$x=-2\pm 3,\quad\mbox{dvs}\quad x_1=1 \quad\mbox{och}\quad x_2=-5$$

Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven

$$x^2-4x-5=0$$

Genom att addera $9$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led: $$x^2-4x-5+9=9$$ $$x^2-4x+4=9\quad\mbox{osv.}$$ Metoden kallas kvadratkomplettering.

==Lösning med formel==
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.4_Komplexa_polynom
Personliga verktyg