Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
Versionen från 26 juni 2007 kl. 11.47
Innehåll:
- Faktorsatsen
- Polynomdivision
- Algebrans fundamentalsats
Färdigheter:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Utföra polynomdivision
- Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom
- Veta att en polynomekvation av grad $n$ har $n$ rötter (räknade med multiplicitet)
- Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter
Övningar
|
|
Kvadratkomplettering
Kvadreringsreglerna, $\qquad \left\{ \begin{matrix} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{matrix} \right.$
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck.
Exempelvis är
$$x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\mbox{och}$$
$$x^2-10x+25=(x-5)^2$$
Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
$$x^2+4x+4=9$$
$$(x+2)^2=9$$
$$x+2=\pm 3$$
$$x=-2\pm 3,\quad\mbox{dvs}\quad x_1=1 \quad\mbox{och}\quad x_2=-5$$
Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
$$x^2-4x-5=0$$
Genom att addera $9$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
$$x^2-4x-5+9=9$$
$$x^2-4x+4=9\quad\mbox{osv.}$$
Metoden kallas kvadratkomplettering. |
