Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
Versionen från 26 juni 2007 kl. 11.47 (redigera)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
← Gå till föregående ändring |
Versionen från 26 juni 2007 kl. 12.06 (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
Gå till nästa ändring → |
| Rad 56: |
Rad 56: |
| | $$x^2-4x+4=9\quad\mbox{osv.}$$ | | $$x^2-4x+4=9\quad\mbox{osv.}$$ |
| | Metoden kallas <i>kvadratkomplettering</i>. | | Metoden kallas <i>kvadratkomplettering</i>. |
| | + | |
| | + | <div class="exempel"> |
| | + | '''Exempel 1'''<br\> |
| | + | Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering: |
| | + | <ol type="a"> |
| | + | <li> $\quad x^2-6x+7=2$ |
| | + | <li> $\quad z^2+21=4-8z$ |
| | + | </ol> |
| | + | |
| | + | <i>Lösning</i>:<br\> |
| | + | <ol type="a"> |
| | + | <li> Koefficienten framför $x$, dvs. $-6$, visar att vi måste ha talet $(-3)^2=9$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $2$ på båda sidor åstadkommer vi detta:<br> |
| | + | |
| | + | $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+7+2=2+2$<br\> |
| | + | $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+9=4$<br\> |
| | + | $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (x-3)^2=4$<br\> |
| | + | $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x-3=\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x=3\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x_1=5, \; x_2=1$<br\><br\> |
| | + | |
| | + | <li> Ekvationen kan skrivas $z^2+8z+17=0$.<br\> |
| | + | Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led: <br\> |
| | + | |
| | + | $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+8z+16=-1$<br\> |
| | + | $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (z+4)^2=-1$<br\> |
| | + | $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z+4=\pm \sqrt{-1}=\pm i\quad\Rightarrow\quad z=-4\pm i$<br\> |
| | + | $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Rightarrow\quad z_1=-4+i, \; z_2=-4-i$<br\><br\> |
| | + | </ol> |
| | + | |
| | + | </div> |
| | | | |
| | ==Lösning med formel== | | ==Lösning med formel== |
| | | | |
| | ==Lösning med formel== | | ==Lösning med formel== |
Versionen från 26 juni 2007 kl. 12.06
Innehåll:
- Faktorsatsen
- Polynomdivision
- Algebrans fundamentalsats
Färdigheter:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Utföra polynomdivision
- Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom
- Veta att en polynomekvation av grad $n$ har $n$ rötter (räknade med multiplicitet)
- Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter
Övningar
|
|
Kvadratkomplettering
Kvadreringsreglerna, $\qquad \left\{ \begin{matrix} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{matrix} \right.$
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck.
Exempelvis är
$$x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\mbox{och}$$
$$x^2-10x+25=(x-5)^2$$
Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
$$x^2+4x+4=9$$
$$(x+2)^2=9$$
$$x+2=\pm 3$$
$$x=-2\pm 3,\quad\mbox{dvs}\quad x_1=1 \quad\mbox{och}\quad x_2=-5$$
Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
$$x^2-4x-5=0$$
Genom att addera $9$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
$$x^2-4x-5+9=9$$
$$x^2-4x+4=9\quad\mbox{osv.}$$
Metoden kallas kvadratkomplettering.
Exempel 1
Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering:
- $\quad x^2-6x+7=2$
- $\quad z^2+21=4-8z$
Lösning:
- Koefficienten framför $x$, dvs. $-6$, visar att vi måste ha talet $(-3)^2=9$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $2$ på båda sidor åstadkommer vi detta:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+7+2=2+2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+9=4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (x-3)^2=4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x-3=\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x=3\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x_1=5, \; x_2=1$
- Ekvationen kan skrivas $z^2+8z+17=0$.
Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+8z+16=-1$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (z+4)^2=-1$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z+4=\pm \sqrt{-1}=\pm i\quad\Rightarrow\quad z=-4\pm i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Rightarrow\quad z_1=-4+i, \; z_2=-4-i$
Lösning med formel
==Lösning med formel== |
