3.4 Komplexa polynom

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 26 juni 2007 kl. 12.06 (redigera)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(→Kvadratkomplettering)
← Gå till föregående ändring		 Versionen från 26 juni 2007 kl. 13.00 (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(→Kvadratkomplettering)
Gå till nästa ändring →
Rad 82: Rad 82:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Rightarrow\quad z_1=-4+i, \; z_2=-4-i$<br\><br\> $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Rightarrow\quad z_1=-4+i, \; z_2=-4-i$<br\><br\>
</ol> </ol>
 +
 +</div>
 +
 +Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.<br\>
 +Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 2'''<br\>
 +Lös ekvationen $\;\displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2$.<br\>
 +<i>Lösning</i>:<br\>
 +Halva koefficienten för $x$ är $\displaystyle -\frac{4}{3}$. Vi lägger alltså till $\displaystyle \left(-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}$ i båda led:<br\><br\>
 +$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}+1=2+\frac{16}{9}$<br\><br\>
 +$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2+1=\frac{34}{9}$<br\><br\>
 +$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$<br\><br\>
 +$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad x_1=3,\; x_2=-\frac{1}{3}$<br\>
 +</div>
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 3'''<br\>
 +Lös ekvationen $\; x^2+px+q=0$.<br\>
 +
 +<i>Lösning</i>:<br\>
 +Kvadratkomplettering ger <br\>
 +$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2+q=\left(\frac{p}{2}\right)^2$<br\><br\>
 +$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$<br\><br\>
 +$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$<br\><br\><br\>
 +vilket är den vanliga formeln, <i>PQ-formeln</i>, för lösning av andragradsekvationer.
 +</div>
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 4'''<br\>
 +Lös ekvationen $z^2-(12+4i)z-4+24i=0$.<br\><br\>
 +<i>Lösning</i>:<br\>
 +Halva koefficienten för $z$ är $-(6+2i)$. Kvadratkomplettering ger <br\>
 +
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2$<br\>
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad \left( \; (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i \; \right)$<br\>
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2-4+24i=32+24i$<br\>
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2=36$<br\>
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad z-(6+2i)=\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z=(6+2i)\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z_1=12+2i, \; z_2=2i$<br\>
 +</div>
 +
 +Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis<br\><br\>
 +
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+10x+3$<br\>
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+3+25-25$<br\>
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+25+3-25$<br\>
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad =(x+5)^2-22$<br\>
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 5'''<br\>
 +Kvadratkomplettera uttrycket $\; z^2+(2-4i)z+1-3i$.<br\>
 +
 +<i>Lösning</i>:<br\>
 +Lägg till och dra ifrån termen $\displaystyle \left(\frac{2-4i}{2}\right)^2=(1-2i)^2=-3-4i\;$ :<br\>
 +
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+1-3i$<br\>
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i$<br\>
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(1-2i)^2+1-3i$<br\>
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(-3-4i)+1-3i$<br\>
 +$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2+4+i$<br\>
</div> </div>

Versionen från 26 juni 2007 kl. 13.00

Innehåll:

  • Faktorsatsen
  • Polynomdivision
  • Algebrans fundamentalsats


Färdigheter:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Utföra polynomdivision
  • Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom
  • Veta att en polynomekvation av grad $n$ har $n$ rötter (räknade med multiplicitet)
  • Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter



Övningar

Kvadratkomplettering

Kvadreringsreglerna, $\qquad \left\{ \begin{matrix} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{matrix} \right.$
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck.
Exempelvis är

$$x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\mbox{och}$$ $$x^2-10x+25=(x-5)^2$$

Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.

$$x^2+4x+4=9$$ $$(x+2)^2=9$$ $$x+2=\pm 3$$ $$x=-2\pm 3,\quad\mbox{dvs}\quad x_1=1 \quad\mbox{och}\quad x_2=-5$$

Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven

$$x^2-4x-5=0$$

Genom att addera $9$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led: $$x^2-4x-5+9=9$$ $$x^2-4x+4=9\quad\mbox{osv.}$$ Metoden kallas kvadratkomplettering.

Exempel 1
Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering:

  1. $\quad x^2-6x+7=2$
  2. $\quad z^2+21=4-8z$

Lösning:

  1. Koefficienten framför $x$, dvs. $-6$, visar att vi måste ha talet $(-3)^2=9$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $2$ på båda sidor åstadkommer vi detta:
    $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+7+2=2+2$
    $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+9=4$
    $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (x-3)^2=4$
    $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x-3=\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x=3\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x_1=5, \; x_2=1$

  2. Ekvationen kan skrivas $z^2+8z+17=0$.
    Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
    $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+8z+16=-1$
    $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (z+4)^2=-1$
    $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z+4=\pm \sqrt{-1}=\pm i\quad\Rightarrow\quad z=-4\pm i$
    $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Rightarrow\quad z_1=-4+i, \; z_2=-4-i$

Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.
Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.

Exempel 2
Lös ekvationen $\;\displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2$.
Lösning:
Halva koefficienten för $x$ är $\displaystyle -\frac{4}{3}$. Vi lägger alltså till $\displaystyle \left(-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}$ i båda led:

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}+1=2+\frac{16}{9}$

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2+1=\frac{34}{9}$

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad x_1=3,\; x_2=-\frac{1}{3}$

Exempel 3
Lös ekvationen $\; x^2+px+q=0$.

Lösning:
Kvadratkomplettering ger
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2+q=\left(\frac{p}{2}\right)^2$

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$

$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$


vilket är den vanliga formeln, PQ-formeln, för lösning av andragradsekvationer.

Exempel 4
Lös ekvationen $z^2-(12+4i)z-4+24i=0$.

Lösning:
Halva koefficienten för $z$ är $-(6+2i)$. Kvadratkomplettering ger

$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left( \; (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i \; \right)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2-4+24i=32+24i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2=36$
$\qquad\qquad\qquad\qquad z-(6+2i)=\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z=(6+2i)\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z_1=12+2i, \; z_2=2i$

Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis

$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+10x+3$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+3+25-25$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+25+3-25$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =(x+5)^2-22$

Exempel 5
Kvadratkomplettera uttrycket $\; z^2+(2-4i)z+1-3i$.

Lösning:
Lägg till och dra ifrån termen $\displaystyle \left(\frac{2-4i}{2}\right)^2=(1-2i)^2=-3-4i\;$ :

$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(1-2i)^2+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(-3-4i)+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2+4+i$

Lösning med formel

==Lösning med formel==
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.4_Komplexa_polynom
Personliga verktyg