Kvadratkomplettering
Kvadreringsreglerna, $\qquad \left\{ \begin{matrix} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{matrix} \right.$
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck.
Exempelvis är
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\;$ och
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$
Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+4x+4=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (x+2)^2=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x+2=\pm 3$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x=-2\pm 3,\quad$ dvs $\quad x_1=1 \quad$ och $\quad x_2=-5$
Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
$$x^2-4x-5=0$$
Genom att addera $9$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-4x-5+9=9$
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-4x+4=9\quad$ osv.
Metoden kallas kvadratkomplettering.
Exempel 1
Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering:
- $\quad x^2-6x+7=2$
- $\quad z^2+21=4-8z$
Lösning:
- Koefficienten framför $x$, dvs. $-6$, visar att vi måste ha talet $(-3)^2=9$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $2$ på båda sidor åstadkommer vi detta:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+7+2=2+2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-6x+9=4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (x-3)^2=4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x-3=\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x=3\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x_1=5, \; x_2=1$
- Ekvationen kan skrivas $z^2+8z+17=0$.
Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+8z+16=-1$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (z+4)^2=-1$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad z+4=\pm \sqrt{-1}=\pm i\quad\Rightarrow\quad z=-4\pm i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Rightarrow\quad z_1=-4+i, \; z_2=-4-i$
Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.
Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.
Exempel 2
Lös ekvationen $\;\displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2$.
Lösning:
Halva koefficienten för $x$ är $\displaystyle -\frac{4}{3}$. Vi lägger alltså till $\displaystyle \left(-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}$ i båda led:
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}+1=2+\frac{16}{9}$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2+1=\frac{34}{9}$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad x_1=3,\; x_2=-\frac{1}{3}$
Exempel 3
Lös ekvationen $\; x^2+px+q=0$.
Lösning:
Kvadratkomplettering ger
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2+q=\left(\frac{p}{2}\right)^2$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$
$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
vilket är den vanliga formeln, PQ-formeln, för lösning av andragradsekvationer.
Exempel 4
Lös ekvationen $z^2-(12+4i)z-4+24i=0$.
Lösning:
Halva koefficienten för $z$ är $-(6+2i)$. Kvadratkomplettering ger
$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left( \; (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i \; \right)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2-4+24i=32+24i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad (z-(6+2i))^2=36$
$\qquad\qquad\qquad\qquad z-(6+2i)=\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z=(6+2i)\pm 6 \quad\Rightarrow\quad z_1=12+2i, \; z_2=2i$
Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis
$\qquad\qquad\qquad\qquad x^2+10x+3$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+3+25-25$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =x^2+10x+25+3-25$
$\qquad\qquad\qquad\qquad =(x+5)^2-22$
Exempel 5
Kvadratkomplettera uttrycket $\; z^2+(2-4i)z+1-3i$.
Lösning:
Lägg till och dra ifrån termen $\displaystyle \left(\frac{2-4i}{2}\right)^2=(1-2i)^2=-3-4i\;$ :
$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(1-2i)^2+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2-(-3-4i)+1-3i$
$\qquad\qquad\qquad\qquad \left(z+(1-2i)\right)^2+4+i$
Lösning med formel
==Lösning med formel== |
