3.3 Potenser och rötter

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.59 (redigera)
KTH.SE:u1rp004j (Diskussion | bidrag)

← Gå till föregående ändring		 Versionen från 27 juni 2007 kl. 07.36 (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1rp004j (Diskussion | bidrag)

Gå till nästa ändring →
Rad 61: Rad 61:
'''Exempel 1''' '''Exempel 1'''
-Exempeltext, använd nedanstående numrering+</div>
-<ol type="a">+ 
-<li>$matte$ <br><br>+POTENSER OCH RÖTTER
-<li>text+ 
-</ol>+==De Moivres formel==
 +Att betyder också att
 + och , etc.
 + 
 +För ett godtyckligt tal har vi därmed följande samband:
 +
 +Om , (dvs. z ligger å enhetscirkeln) gäller speciellt
 +
 +vilket brukar kallas de Moivres formel. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.
 + 
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 1'''
</div> </div>
 + . Beräkna och .
 +
 +Lösning:
 +
 +
 +
 +
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 2'''
 +
 +</div>
 +På traditionellt sätt kan man utveckla
 +
 +och med de Moivres formel:
 +
 +Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna
 +
 +
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 3'''
 +
 +</div>
 +Beräkna .
 +
 +Lösning:
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +==Binomiska ekvationer==
 +Ett komplext tal z kallas en n:te rot av det komplexa talet w om
 + .
 +En sådan ekvation kallas en binomisk ekvation. Lösningen till en sådan ges av att skriva båda leden på polär form och jämföra belopp och argument.
 +För ett givet tal ansätter man det sökta talet och får . Den binomiska ekvationen blir
 +
 +
 +För belopp och argument måste nu gälla:
 +
 +(Observera perioden , eftersom och för alla heltal k)
 +Man får då att
 +
 +Dett ger ett värde på r, men oändligt många värden på . Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från k = 0 till k = n  1 får man olika argument för z och därmed olika lägen för z i det komplexa talplanet. För övriga värden på k kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar.
 +Detta resonemang visar att ekvationen har exakt n rötter.
 +
 +Anm:
 +Observera att rötternas olika argument ligger ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien och bildar hörn i en regelbunden n-hörning.
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 4'''
 +
 +</div>
 +Lös ekvationen .
 +
 +Lösning:
 +Sätt .
 +
 +
 +
 +
 +
 +==Exponentialform av komplexa tal==
 +Om vi behandlar i likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal z som en funktion av (r konstant) ,
 +
 +så får vi efter derivering
 +
 +
 + etc.
 +Den enda reella funktion med dessa egenskaper är , vilket motiverar definitionen
 +
 +Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter så får man
 +
 +Definitionen av kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom .
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 5'''
 +
 +</div>
 +För ett reellt tal z överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom ger
 +
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 6'''
 +
 +</div>
 +Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet
 +
 +vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag, .
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 7'''
 +
 +</div>
 +Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet
 +
 +vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken; e, , i och 1.
 +Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 8'''
 +
 +</div>
 +Lös ekvationen .
 +
 +Lösning
 +Sätt w = z + i . Man får då ekvationen .
 +
 +
 +
 +
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 9'''
 +
 +</div>
 +Lös ekvationen .
 +
 +Lösning
 +Om har och så gäller att har och .
 +Då gäller att och . Ekvationen kan därför skrivas
 + , eller , vilket är ekvivalent med
 + , som ger
 +
 +
 +
 +
-teori igen 
<div class="inforuta"> <div class="inforuta">

Versionen från 27 juni 2007 kl. 07.36

Innehåll:

  • de Moviers formel
  • Binomiska ekvationer
  • Exponentialform
  • Eulers formel
  • Kvadratkomplettering
  • Andragradsekvationer


Färdigheter:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Beräkna potenser av komplexa tal med de Moviers formel
  • Beräkna rötter av vissa komplexa tal genom omskrivning till polär form
  • Lösa binomiska ekvationer
  • Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck
  • Lösa komplexa andragradsekvationer



Övningar

Teori

Förlängning och förkortning

teori

$$ fristående formel dubbla dollar $$

teori igen

Tips: å här är världens tips asså

teori, vad skulle vi göra utan det

Viktig regel: $$dubbeldollar$$

Exempel 1

POTENSER OCH RÖTTER

De Moivres formel

Att betyder också att och , etc.

För ett godtyckligt tal har vi därmed följande samband:

Om , (dvs. z ligger å enhetscirkeln) gäller speciellt

vilket brukar kallas de Moivres formel. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.

Exempel 1 

  .  Beräkna   och  .

Lösning:



Exempel 2

På traditionellt sätt kan man utveckla

och med de Moivres formel:

Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna


Exempel 3

Beräkna .

Lösning:




Binomiska ekvationer

Ett komplext tal z kallas en n:te rot av det komplexa talet w om 

			  .

En sådan ekvation kallas en binomisk ekvation. Lösningen till en sådan ges av att skriva båda leden på polär form och jämföra belopp och argument. För ett givet tal ansätter man det sökta talet och får . Den binomiska ekvationen blir


För belopp och argument måste nu gälla:

(Observera perioden , eftersom och för alla heltal k) Man får då att

Dett ger ett värde på r, men oändligt många värden på . Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från k = 0 till k = n  1 får man olika argument för z och därmed olika lägen för z i det komplexa talplanet. För övriga värden på k kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar. Detta resonemang visar att ekvationen har exakt n rötter.

Anm: Observera att rötternas olika argument ligger ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien och bildar hörn i en regelbunden n-hörning.

Exempel 4

Lös ekvationen .

Lösning: Sätt .



Exponentialform av komplexa tal

Om vi behandlar i likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal z som en funktion av (r konstant) ,

så får vi efter derivering 


etc.

Den enda reella funktion med dessa egenskaper är , vilket motiverar definitionen

Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter så får man

Definitionen av kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom .

Exempel 5

För ett reellt tal z överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom ger


Exempel 6

Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet

vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag, .

Exempel 7

Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet

vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken; e, , i och 1. Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.

Exempel 8

Lös ekvationen .

Lösning Sätt w = z + i . Man får då ekvationen .



Exempel 9

Lös ekvationen .

Lösning Om har och så gäller att har och . Då gäller att och . Ekvationen kan därför skrivas 

		  ,  eller     ,  vilket är ekvivalent med

, som ger




Råd för inläsning

Tänk på att:

text

Lästips

stående

Länktips

stående


© Copyright 2007, math.se




Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.3_Potenser_och_r%C3%B6tter
Personliga verktyg