Övningar

Teori

Förlängning och förkortning

teori

$$ fristående formel dubbla dollar $$

teori igen

teori, vad skulle vi göra utan det

POTENSER OCH RÖTTER

De Moivres formel

Att $\quad \cases {\arg (zw) = \arg z + \arg w \cr |zw| = |z|\cdot|w|} \;$ betyder också att

$\quad \quad \cases {\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \cr |z\cdot z| = |z|\cdot|z|}\;$ och $\;\cases {\arg z^3 = 3 \arg z \cr |z^3| = |z|^3}\;$ , etc.

För ett godtyckligt tal $z=r(\cos \alpha +i\sin \alpha)$ har vi därmed följande samband:

$$z^n = (r(\cos \alpha +i\sin \alpha))^n = r^n(\cos n\alpha +i\sin n\alpha)$$

Om $|z|=1$ , (dvs. $z$ ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt

$$(\cos \alpha +i\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\sin n\alpha$$

vilket brukar kallas de Moivres formel. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.

På traditionellt sätt kan man utveckla

och med de Moivres formel:

Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna

Beräkna .

Lösning:

Binomiska ekvationer

Ett komplext tal z kallas en n:te rot av det komplexa talet w om

			  .

En sådan ekvation kallas en binomisk ekvation. Lösningen till en sådan ges av att skriva båda leden på polär form och jämföra belopp och argument. För ett givet tal ansätter man det sökta talet och får . Den binomiska ekvationen blir

För belopp och argument måste nu gälla:

(Observera perioden , eftersom och för alla heltal k) Man får då att

Dett ger ett värde på r, men oändligt många värden på . Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från k = 0 till k = n  1 får man olika argument för z och därmed olika lägen för z i det komplexa talplanet. För övriga värden på k kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar. Detta resonemang visar att ekvationen har exakt n rötter.

Anm: Observera att rötternas olika argument ligger ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien och bildar hörn i en regelbunden n-hörning.

Lös ekvationen .

Lösning: Sätt .

Exponentialform av komplexa tal

Om vi behandlar i likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal z som en funktion av (r konstant) ,

så får vi efter derivering

etc.

Den enda reella funktion med dessa egenskaper är , vilket motiverar definitionen

Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter så får man

Definitionen av kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom .

För ett reellt tal z överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom ger

Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet

vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag, .

Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet

vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken; e, , i och 1. Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.

Lös ekvationen .

Lösning Sätt w = z + i . Man får då ekvationen .

Lös ekvationen .

Lösning Om har och så gäller att har och . Då gäller att och . Ekvationen kan därför skrivas

		  ,  eller     ,  vilket är ekvivalent med

, som ger

© Copyright 2007, math.se