Teori
Förlängning och förkortning
teori
$$ fristående formel dubbla dollar $$
teori igen
Tips:
å här är världens tips asså
teori, vad skulle vi göra utan det
Viktig regel:
$$dubbeldollar$$
POTENSER OCH RÖTTER
De Moivres formel
Att $\quad \cases {\arg (zw) = \arg z + \arg w \cr |zw| = |z|\cdot|w|} \;$ betyder också att
$\quad \quad \cases {\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \cr |z\cdot z| = |z|\cdot|z|}\;$ och $\;\cases {\arg z^3 = 3 \arg z \cr |z^3| = |z|^3}\;$ , etc.
För ett godtyckligt tal $z=r(\cos \alpha +i\sin \alpha)$ har vi därmed följande samband:
$$z^n = (r(\cos \alpha +i\sin \alpha))^n = r^n(\cos n\alpha +i\sin n\alpha)$$
Om $|z|=1$ , (dvs. $z$ ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt
$$(\cos \alpha +i\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\sin n\alpha$$
vilket brukar kallas de Moivres formel. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.
de Moivres formel:
$$(\cos \alpha +i\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\sin n\alpha$$
Exempel 1
$z=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt2}$ . Beräkna $z^3$ och $z^{100}$.
Lösning:
$z= \displaystyle\frac{1}{\sqrt2} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt2}i = 1\cdot (\cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{4})$
$z^3 = \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \right)^3 = \cos \displaystyle\frac{3\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{3\pi}{4} = -\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt2}i = \displaystyle\frac{-1+i}{\sqrt2}$
$z^{100} = \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \right)^{100} = \cos \displaystyle\frac{100\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{100\pi}{4} = \cos 25\pi + i\sin 25\pi = \cos \pi + i \sin \pi = -1$
Exempel 2
På traditionellt sätt kan man utveckla
$ \;(\cos v + i \sin v)^2 = \cos^2 v + i^2 \sin^2 v + 2i \sin v \cos v = \cos^2 v - \sin^2 v + 2i \sin v \cos v$
och med de Moivres formel:
$(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v$
Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna
$\quad \cases {\cos 2v = \cos^2 v - \sin^2 v \cr \sin 2v= 2 \sin v \cos v} \;$
Exempel 3
Beräkna $\displaystyle\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3)^7(1+i)^{10}}$ .
Lösning:
$\sqrt3 + i = 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{\pi}{6})$
$1+i\sqrt3 = 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{3} + i \displaystyle\frac{\pi}{3})$
$1+i = \sqrt2 (\cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i \sin \displaystyle\frac{\pi}{4})$
$\displaystyle\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3)^7(1+i)^{10}} = \displaystyle\frac{ 2^{14} (\cos \displaystyle\frac{14\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{14\pi}{6} ) }{ 2^7 ( \cos \displaystyle\frac{7\pi}{3} + i \sin\displaystyle\frac{7\pi}{3}) \cdot \sqrt{2}^{10} (\cos \displaystyle\frac{10\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{10\pi}{4})}=$
$= \displaystyle\frac{ 2^{14} (\cos \displaystyle\frac{14\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{14\pi}{6} ) } { 2^{12} (\cos \displaystyle\frac{29\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{29\pi}{6} ) } = 2^2 (\cos \left( - \displaystyle\frac{ 15\pi}{6} \right) + i \sin \left( - \displaystyle\frac{ 15\pi}{6} \right)) =$
$= 4(\cos \left( - \displaystyle\frac{ \pi}{2} \right) + i \left( - \displaystyle\frac{ \pi}{2} \right)) = -4i $
Binomiska ekvationer
Ett komplext tal $z$ kallas en $n$:te rot av det komplexa talet $w$ om
$$z^n= w \mbox{.}$$
En sådan ekvation kallas en binomisk ekvation. Lösningen till en sådan ges av att skriva båda leden på polär form och jämföra belopp och argument.
För ett givet tal $w=|w|(\cos \theta + i \sin \theta)$ ansätter man det sökta talet $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ och får $z^n = r^n (\cos n\alpha + i \sin n\alpha)$. Den binomiska ekvationen blir
$$r^n (\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|(\cos \theta + i \sin \theta)$$
För belopp och argument måste nu gälla:
$$\cases {r^n = |w| \cr n\alpha = \theta + k\cdot 2\pi}$$
(Observera perioden $2\pi$ , eftersom $\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = \sin \theta$ och $\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = \cos \theta$ för alla heltal $k$)
Man får då att $\quad \cases { r=\sqrt[\scriptstyle n]{|w|} \cr n\alpha= \displaystyle\frac{\theta}{n} + k \cdot \displaystyle\frac{2\pi}{n} \; , \; k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots}$
Det ger ett värde på $r$, men oändligt många värden på $\alpha$. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från $k = 0$ till $k = n - 1$ får man olika argument för $z$ och därmed olika lägen för $z$ i det komplexa talplanet. För övriga värden på $k$ kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar.
Detta resonemang visar att ekvationen $z^n=w$ har exakt $n$ rötter.
Anm:
Observera att rötternas olika argument ligger $\frac{2\pi}{n}$ ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien $\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}$ och bildar hörn i en regelbunden $n$-hörning.
Exempel 4
Lös ekvationen $z^4= 16i$.
Lösningen:
Sätt $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha) \; , \; 16i= 16(\cos \displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$.
$z^4 = 16i \; \rightarrow \; r^4(\cos 4\alpha + i \sin 4\alpha) = 16(\cos\displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$
$\rightarrow \cases {r^4=16 \cr 4\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi} \rightarrow \cases {r=\sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \cr \alpha = \displaystyle\frac{\pi}{8} + k\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2} \, , \, k=0,1,2,3}$
$\rightarrow \cases{ z_1= 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8} + i \sin \displaystyle\frac{\pi}{8} \cr
z_2 = 2(\cos\displaystyle\frac{5\pi}{8} + i\sin \displaystyle\frac{5\pi}{8} \cr
z_3 = 2(\cos\displaystyle\frac{9\pi}{8} + i\sin \displaystyle\frac{9\pi}{8} \cr
z_4= 2(\cos\displaystyle\frac{13\pi}{8} + i\sin \displaystyle\frac{13\pi}{8} }$
Exponentialform av komplexa tal
Om vi behandlar $i$ likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal $z$ som en funktion av $\alpha$ ($r$ konstant) ,
$$f(\alpha) = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$$
så får vi efter derivering
$\quad f'(\alpha) = -r\sin \alpha + ri \cos \alpha =ri^2 \sin \alpha + ri \cos \alpha = ir (\cos \alpha + i \sin \alpha) = i \cdot f(\alpha)$
$\quad f^{\prime \prime} (\alpha) = - r \cos \alpha - ri \sin \alpha = i^2 r(\cos \alpha + i \sin \alpha) = i^2 \cdot f(\alpha)$
etc.
Den enda reella funktion med dessa egenskaper är , vilket motiverar definitionen
Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter så får man
Definitionen av kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom .
För ett reellt tal z överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom ger
Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet
vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag, .
Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet
vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken; e, , i och 1.
Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.
Lös ekvationen .
Lösning
Sätt w = z + i . Man får då ekvationen .
Lös ekvationen .
Lösning
Om har och så gäller att har och .
Då gäller att och . Ekvationen kan därför skrivas
, eller , vilket är ekvivalent med
, som ger
Råd för inläsning
Tänk på att:
text
Lästips
stående
Länktips
stående
© Copyright 2007, math.se
| 
