3.2 Övningar
Sommarmatte 2
Innehåll |
Övning 3.2:1
Givet de komplexa talen $\,z=2+i\,$, $\,w=2+3i\,$ och $\,u=-1-2i\,$. Markera följande tal i det komplexa talplanet
| a) | $z\,$ och $\,w$ | b) | $z+u\,$ och $\,z-u$ |
| c) | $2z+w$ | d) | $z-\overline{w}+u$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
a) |
b) |
c) |
d) |
Övning 3.2:2
Rita in följande mängder i det komplexa talplanet
| a) | $0\le \mbox{Im}\, z \le 3$ | b) | $0 \le \mbox{Re} \, z \le \mbox{Im}\, z \le 1$ |
| c) | $ |z|=2$ | d) | $|z-1-i|=3$ |
| e) | $ \mbox{Re}\, z = i + \bar z$ | f) | $2<|z-i|\le3$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
a) |
b) |
c) |
d) |
e) |
f) |
Övning 3.2:3
De komplexa talen $\,1+i\,$, $\,3+2i\,$ och $\,3i\,$ bildar i det komplexa talplanet tre hörn i en kvadrat. Bestäm kvadratens fjärde hörn.
Facit
$2+4i$
Övning 3.2:4
Bestäm beloppet av
| a) | $3+4i$ | b) | $(2-i) + (5+3i)$ |
| c) | $(3-4i)(3+2i)$ | d) | $\displaystyle\frac{3-4i}{3+2i}$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $5$ | b) | $\sqrt{53}$ |
| c) | $5\sqrt{13}$ | d) | $\displaystyle\frac{5}{\sqrt{13}}$ |
Övning 3.2:5
Bestäm argumentet av
| a) | $-10$ | b) | $-2+2i$ |
| c) | $ (\sqrt{3} +i)(1-i)$ | d) | $\displaystyle\frac{i}{1+i}$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $\pi$ | b) | $\displaystyle\frac{3\pi}{4}$ |
| c) | $-\displaystyle\frac{\pi}{12}\,$ eller $\,\displaystyle\frac{23}{12}\pi$ | d) | $\displaystyle\frac{\pi}{4}$ |
Övning 3.2:6
Skriv följande tal i polär form
| a) | $3$ | b) | $-11i$ |
| c) | $ -4-4i$ | d) | $\sqrt{10} + \sqrt{30}\,i$ |
| e) | $ \displaystyle\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}$ | f) | $\displaystyle\frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3}\,)}{3i(\sqrt{12} -2i)}$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $\displaystyle3(\cos 0 + i\,\sin 0)$ | b) | $\displaystyle11\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\right)$ |
| c) | $\displaystyle4\sqrt2\left(\cos \frac{5\pi}{4} + i\,\sin\frac{5\pi}{4}\right)$ | d) | $\displaystyle2\sqrt{10}\left(\cos \frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\right)$ |
| e) | $\displaystyle\sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{12} + i\,\sin\frac{\pi}{12}\right)$ | f) | $\displaystyle\frac{\sqrt2}{3}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\right)$ |
