3.4 Övningar
Sommarmatte 2
Innehåll |
Övning 3.4:1
| a) | $\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}$ | b) | $\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$ | c) | $\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{x^3 +x+2}{x+1}$ | e) | $\displaystyle \frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1}$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $x+1$ | b) | $\displaystyle x-1+\frac{1}{x+1}$ | c) | $x^2-ax+a^2$ |
| d) | $x^2-x+2$ | e) | $\displaystyle x-1+\frac{2x+2}{x^2+3x+1}$ |
Övning 3.4:2
Ekvationen $\,z^3-3z^2+4z-2=0\,$ har roten $\,z=1\,$. Bestäm övriga rötter.
Facit till alla delfrågor
|
$ z = \Bigl\{\eqalign{&1+i\cr &1-i}$ |
Övning 3.4:3
Ekvationen $\,z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0\,$ har rötterna $\,z=2i\,$ och $\,z=-1-i\,$. Lös ekvationen.
Facit till alla delfrågor
|
$z = \left\{\begin{matrix}-1+i\cr -1-i\cr \phantom{-}2i\cr -2i\end{matrix}\right.$ |
Övning 3.4:4
Bestäm två reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^3+az+b=0\ $ har roten $\,z=1-2i\,$. Lös sedan ekvationen.
Facit till alla delfrågor
|
Välj $\,a=1\,$ och $\,b=10\,$. Lösningarna är $\ z = \left\{ \begin{matrix} 1-2i \\ 1+2i \\ -2 \end{matrix} \right.$ |
Övning 3.4:5
Bestäm $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^4-6z^2+az+b=0\ $ har en trippelrot. Lös sedan ekvationen.
Facit till alla delfrågor
|
Två fall:
|
Övning 3.5:6
Ekvationen $\ z^4+3z^3+z^2+18z-30=0\ $ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter.
Facit till alla delfrågor
|
$ z = \left\{ \begin{matrix} \phantom{-}i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{29} \\ -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{29} \end{matrix} \right.$ |
Övning 3.5:7
Bestäm polynom som har följande nollställen
| a) | $1\,$, $\,2\,$ och $\,4$ | b) | $-1+ i\,$ och $\,-1-i$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$ |
| b) | $(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $ |
