2.2 Övningar
Sommarmatte 2
Innehåll |
Övning 2.2:1
Beräkna integralerna
| a) | $\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{(3x-1)^4}\quad$ genom att använda substitution $u=3x-1$ |
| b) | $\displaystyle \int (x^2+3)^5x \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^2+3$ |
| c) | $\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^3$ |
Facit
Facit till alla delfrågorna
| a) | $\displaystyle\frac{13}{1000}$ |
| b) | $\displaystyle\frac{(x^2+3)^6}{12}+C$ |
| c) | $\displaystyle\frac{1}{3}e^{\scriptstyle x^3}+C$ |
Lösning a
Lösning till delfråga a
|
|
Lösning b
Lösning till delfråga b
|
|
Lösning c
Lösning till delfråga c
|
|
Övning 2.2:2
Beräkna integralerna
| a) | $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos 5x\, dx$ | b) | $\displaystyle\int_{0}^{1/2} e^{2x+3}\, dx$ |
| c) | $ \displaystyle\int_{0}^{5} \sqrt{3x + 1} \, dx$ | d) | $\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[\scriptstyle3]{1 - x}\, dx$ |
Facit
Facit till alla delfrågorna
| a) | $0$ | b) | $\displaystyle\frac{1}{2}(e^4-e^3)$ |
| c) | $14$ | d) | $\displaystyle\frac{3}{4}$ |
Lösning a
Lösning till delfråga a
|
|
Lösning b
Lösning till delfråga b
|
|
Lösning c
Lösning till delfråga c
|
|
Lösning d
Lösning till delfråga d
|
|
Övning 2.2:3
Beräkna integralerna
| a) | $\displaystyle\int 2x \sin x^2\, dx$ | b) | $\displaystyle\int \sin x \cos x\, dx$ |
| c) | $ \displaystyle\int \displaystyle\frac{\ln x}{x}\, dx$ | d) | $\displaystyle\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2+2x+2}\, dx$ |
| e) | $ \displaystyle\int \displaystyle\frac{3x}{x^2+1}\, dx$ | f) | $\displaystyle\int \displaystyle\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$ |
Facit
Facit till alla delfrågorna
| a) | $-\cos x^2+C$ | b) | $\displaystyle\frac{\sin^2x}{2}+C$ |
| c) | $\frac{1}{2}(\ln x)^2+C$ | d) | $\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2x+2\right)+C$ |
| e) | $\displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C$ | f) | $-2\cos\sqrt{x}+C$ |
Övning 2.2:4
Använd formeln $$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$$ för att beräkna integralerna
| a) | $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4}$ | b) | $\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}$ |
| c) | $ \displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4x+8}$ | d) | $\displaystyle\int \frac{x^2}{x^2 +1}\, dx$ |
Ledning: Substituera så att $x^2+a = au^2+a =a(u^2+1)$
Facit
Facit till alla delfrågorna
| a) | $\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C$ | b) | $\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt3}\right)+C$ |
| c) | $\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right)+C$ | d) | $x-\arctan x + C$ |
