3.3 Övningar
Sommarmatte 2
Innehåll |
Övning 3.3:1
Skriv följande tal i formen $a+ib$, där $a$ och $b$ är reella tal.
| a) | $(i-1)^{12}$ | b) | $\left(\displaystyle\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{12}$ |
| c) | $ (4\sqrt{3} -4i)^{22}$ | d) | $\left(\displaystyle\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\right)^{12}$ |
| e) | $\displaystyle\frac{(1+i\sqrt{3})(1-i)^8}{(\sqrt{3}-i)^9}$ |
Facit
Facit till alla delfrågorna
| a) | $-64$ | b) | $1$ | c) | $ 4\cdot 8^{21} - i \cdot 4\sqrt{3}\cdot 8^{21} $ |
| d) | $-64$ | e) | $\frac{\sqrt{3}}{32} - \frac{i}{32} $ |
Övning 3.3:2
Beräkna följande rotuttryck
| a) | $(1+i)^{1/3}$ | b) | $i^{1/4}$ |
| c) | $((3+3i)(\sqrt{2}-\sqrt{2}i))^{1/5}$ |
Facit
Facit till alla delfrågorna
| a) | $ \frac{2^{2/3}(\sqrt{3}+1)}{4} + i\frac{2^{2/3}(\sqrt{3}-1)}{4} $ | b) | $e^{i\pi/8} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} $ | c) | $ 3^{1/5}2^{3/10} $ |
Övning 3.3:3
Lös ekvationerna
| a) | $z^4=1$ | b) | $z^3=-1$ | c) | $ z^5=-1-i$ |
| d) | $(z-1)^4+4=0$ | e) | $\left(\displaystyle \frac{z+i}{z-i}\right)^2 = -1$ |
Facit
Facit till alla delfrågorna
| a) | $z= \left\{\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ i \\ -i\\ \end{matrix}\right.$ | b) | $z = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2} \\ -1 \\ \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2} \\ \end{matrix}\right.$ | c) | $z= \left\{\begin{matrix} 2^{1/10}e^{i\pi/4} \\ 2^{1/10}e^{13i\pi/20} \\ 2^{1/10}e^{21i\pi/20} \\ 2^{1/10}e^{29i\pi/20}\\ 2^{1/10}e^{37i\pi/20}\\ \end{matrix}\right. $ |
| d) | $z= \left\{\begin{matrix} 2+i \\ 2-i \\ i \\ -i\\ \end{matrix}\right.$ | e) | $z = \left\{\begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix}\right.$ |
Övning 3.3:4
Kvadratkomplettera följande uttryck
| a) | $z^2 +2z+3$ | b) | $z^2 +3iz-\frac{1}{4}$ |
| c) | $-z^2-2iz +4z+1$ | d) | $iz^2+(2+3i)z-1$ |
Facit
Facit till alla delfrågorna
| a) | $(z+1)^2+2$ | b) | $\left(z+\frac{3}{2}i\right)^2+2$ |
| c) | $-(z+i-2)^2+4(1-i)$ | d) | $i\left(z+\left(\frac{2/i+3}{2}\right)\right)^2-4-\displaystyle\frac{5}{4}i$ |
Övning 3.3:5
Lös ekvationerna
| a) | $z^2=i$ | b) | $z^2-4z+5=0$ |
| c) | $-z^2+2z+3=0$ | d) | $\displaystyle\frac{1}{z} + z = \frac{1}{2}$ |
Facit
Facit till alla delfrågorna
| a) | $z= \left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix}\right.$ | b) | $z = \left\{\begin{matrix} 2+i \\ 2-i \\ \end{matrix}\right.$ |
| c) | $z= \left\{\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ \end{matrix}\right. $ | d) | $z= \left\{\begin{matrix} \frac{1+i\sqrt{15}}{4}\\ \frac{1-i\sqrt{15}}{4} \\ \end{matrix}\right.$ |
Övning 3.3:6
Lös ekvationerna
| a) | $z^2-2(1+i)z+2i-1$ | b) | $z^2-(2-i)z+(3-i)=0$ |
| c) | $z^2-(1+3i)z-4+3i$ | d) | $(4+i)z^2+(1-21i)z=17$ |
Facit
Facit till alla delfrågorna
| a) | $z= \left\{\begin{matrix} 2+1 \\ i \\ \end{matrix}\right.$ | b) | $z = \left\{\begin{matrix} 1+i \\ 1-2i \\ \end{matrix}\right.$ |
| c) | $z= \left\{\begin{matrix} 2+i \\ -1+2i \\ \end{matrix}\right. $ | d) | $z= \left\{\begin{matrix} -i \\ -1-4i \\ \end{matrix}\right.$ |
Övning 3.3:7
Bestäm lösningarna till $z^2=1+i$ dels i polär form, dels i formen $a+ib$, där $a$ och $b$ är reella tal. Använd resultatet för att beräkna $\tan \frac{\pi}{8}$.
Facit
Facit till alla delfrågorna
| a) | $z= \left\{\begin{matrix} 2^{1/4}(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1 }{2}}+i \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1 }{2}} \\ 2^{1/4}(\cos\frac{9\pi}{8}+i\sin\frac{9\pi}{8}) = -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1 }{2}}-i \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1 }{2}} \\ \end{matrix}\right.$ | ||
| c) | $z= \left\{\begin{matrix} 2+i \\ -1+2i \\ \end{matrix}\right. $ | d) | $z= \left\{\begin{matrix} -i \\ -1-4i \\ \end{matrix}\right.$ |
