Teori
De Moivres formel
Att $\quad \cases {\arg (zw) = \arg z + \arg w \cr |zw| = |z|\cdot|w|} \;$ betyder också att
$\quad \quad \cases {\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \cr |z\cdot z| = |z|\cdot|z|}\;$ och $\;\cases {\arg z^3 = 3 \arg z \cr |z^3| = |z|^3}\;$ , etc.
För ett godtyckligt tal $z=r(\cos \alpha +i\sin \alpha)$ har vi därmed följande samband:
$$z^n = (r(\cos \alpha +i\sin \alpha))^n = r^n(\cos n\alpha +i\sin n\alpha)$$
Om $|z|=1$ , (dvs. $z$ ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt
$$(\cos \alpha +i\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\sin n\alpha$$
vilket brukar kallas de Moivres formel. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.
de Moivres formel:
$$(\cos \alpha +i\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\sin n\alpha$$
Exempel 1
$z=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt2}$ . Beräkna $z^3$ och $z^{100}$.
Lösning:
$z= \displaystyle\frac{1}{\sqrt2} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt2}i = 1\cdot (\cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{4})$
$z^3 = \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \right)^3 = \cos \displaystyle\frac{3\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{3\pi}{4} = -\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt2}i = \displaystyle\frac{-1+i}{\sqrt2}$
$z^{100} = \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \right)^{100} = \cos \displaystyle\frac{100\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{100\pi}{4} = \cos 25\pi + i\sin 25\pi = \cos \pi + i \sin \pi = -1$
Exempel 2
På traditionellt sätt kan man utveckla
$ \;(\cos v + i \sin v)^2 = \cos^2 v + i^2 \sin^2 v + 2i \sin v \cos v = \cos^2 v - \sin^2 v + 2i \sin v \cos v$
och med de Moivres formel:
$(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v$
Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna
$\quad \cases {\cos 2v = \cos^2 v - \sin^2 v \cr \sin 2v= 2 \sin v \cos v} \;$
Exempel 3
Beräkna $\displaystyle\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3)^7(1+i)^{10}}$ .
Lösning:
$\sqrt3 + i = 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{\pi}{6})$
$1+i\sqrt3 = 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{3} + i \displaystyle\frac{\pi}{3})$
$1+i = \sqrt2 (\cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + i \sin \displaystyle\frac{\pi}{4})$
$\displaystyle\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3)^7(1+i)^{10}} = \displaystyle\frac{ 2^{14} (\cos \displaystyle\frac{14\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{14\pi}{6} ) }{ 2^7 ( \cos \displaystyle\frac{7\pi}{3} + i \sin\displaystyle\frac{7\pi}{3}) \cdot \sqrt{2}^{10} (\cos \displaystyle\frac{10\pi}{4} + i\sin \displaystyle\frac{10\pi}{4})}=$
$= \displaystyle\frac{ 2^{14} (\cos \displaystyle\frac{14\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{14\pi}{6} ) } { 2^{12} (\cos \displaystyle\frac{29\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{29\pi}{6} ) } = 2^2 (\cos \left( - \displaystyle\frac{ 15\pi}{6} \right) + i \sin \left( - \displaystyle\frac{ 15\pi}{6} \right)) =$
$= 4(\cos \left( - \displaystyle\frac{ \pi}{2} \right) + i \sin \left( - \displaystyle\frac{ \pi}{2} \right)) = -4i $
Binomiska ekvationer
Ett komplext tal $z$ kallas en $n$:te rot av det komplexa talet $w$ om
En sådan ekvation kallas en binomisk ekvation. Lösningen till en sådan ges av att skriva båda leden på polär form och jämföra belopp och argument.
För ett givet tal $w=|w|(\cos \theta + i \sin \theta)$ ansätter man det sökta talet $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ och får $z^n = r^n (\cos n\alpha + i \sin n\alpha)$. Den binomiska ekvationen blir
$$r^n (\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|(\cos \theta + i \sin \theta)$$
För belopp och argument måste nu gälla:
$$\cases {r^n = |w| \cr n\alpha = \theta + k\cdot 2\pi}$$
(Observera perioden $2\pi$ , eftersom $\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = \sin \theta$ och $\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = \cos \theta$ för alla heltal $k$)
Man får då att $\quad \quad \quad \cases { r=\sqrt[\scriptstyle n]{|w|} \cr n\alpha= \displaystyle\frac{\theta}{n} + k \cdot \displaystyle\frac{2\pi}{n} \quad , \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots}$
Det ger ett värde på $r$, men oändligt många värden på $\alpha$. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från $k = 0$ till $k = n - 1$ får man olika argument för $z$ och därmed olika lägen för $z$ i det komplexa talplanet. För övriga värden på $k$ kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar.
Detta resonemang visar att ekvationen $z^n=w$ har exakt $n$ rötter.
Anm:
Observera att rötternas olika argument ligger $\frac{2\pi}{n}$ ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien $\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}$ och bildar hörn i en regelbunden $n$-hörning.
Exempel 4
Lös ekvationen $z^4= 16i$.
Lösningen:
Sätt $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha) \quad , \quad 16i= 16(\cos \displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$.
$z^4 = 16i \quad \rightarrow \quad r^4(\cos 4\alpha + i \sin 4\alpha) = 16(\cos\displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$
$\rightarrow \quad \cases {r^4=16 \cr 4\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi} \quad \rightarrow \quad \cases {r=\sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \cr \alpha = \displaystyle\frac{\pi}{8} + k\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2} \quad , \quad k=0,1,2,3}$
$\rightarrow \cases{ z_1= 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8} + i \sin \displaystyle\frac{\pi}{8}) \cr
z_2 = 2(\cos\displaystyle\frac{5\pi}{8} + i\sin \displaystyle\frac{5\pi}{8}) \cr
z_3 = 2(\cos\displaystyle\frac{9\pi}{8} + i\sin \displaystyle\frac{9\pi}{8}) \cr
z_4= 2(\cos\displaystyle\frac{13\pi}{8} + i\sin \displaystyle\frac{13\pi}{8}) }$
Exponentialform av komplexa tal
Om vi behandlar $i$ likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal $z$ som en funktion av $\alpha$ ($r$ konstant) ,
$$f(\alpha) = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$$
så får vi efter derivering
$\quad f'(\alpha) = -r\sin \alpha + ri \cos \alpha =ri^2 \sin \alpha + ri \cos \alpha = ir (\cos \alpha + i \sin \alpha) = i \cdot f(\alpha)$
$\quad f^{\prime \prime} (\alpha) = - r \cos \alpha - ri \sin \alpha = i^2 r(\cos \alpha + i \sin \alpha) = i^2 \cdot f(\alpha)$
etc.
Den enda reella funktion med dessa egenskaper är $f(x)= e^{kx}$ , vilket motiverar definitionen
$$e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha$$
Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter $z=a+bi$ så får man
$$e^z = e^{a+bi} = e^a \cdot e^{bi} = e^a(\cos b + i \sin b)$$
Definitionen av $e^z$ kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha) = re^{ia}$ .
Exempel 5
För ett reellt tal $z$ överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom $z=a +0 \cdot i$ ger
$$e^z = e^{a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a$$
Exempel 6
Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet
$$\left(e^{i\alpha}\right)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{in\alpha}$$
vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag,
$\left(a^x\right)^y = a^{xy}$.
Exempel 7
Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet
$$e^{\pi i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$$
vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken; $e,\pi , i$ och $1$.
Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.
Exempel 8
Lös ekvationen $(z+i)^3 = -8i$.
Lösning
Sätt $w = z + i$ . Man får då ekvationen $w^3=-8i$ .
$\cases{w=r(\cos \alpha + i \sin \alpha) = re^{i\alpha} \rightarrow w^3 = r^3 e^{3\alpha i } \cr -8i = 8(\cos \displaystyle\frac{3\pi}{2} + i \sin \displaystyle\frac{3\pi}{2} ) = 8e^{3\pi/2 \cdot i}}$
$\rightarrow \cases{ r^3 = 8 \quad \rightarrow \quad r= \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \cr 3\alpha = \displaystyle\frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \rightarrow \quad \alpha= \displaystyle\frac{\pi}{2} + k \cdot \displaystyle\frac{2\pi}{3} \; , \; k=0,1,2}$
$w_1 = 2e^{\pi/2 \cdot i} = 2(\cos \displaystyle\frac{\pi}{2} + i \sin \displaystyle\frac{\pi}{2}) = 2i \quad \rightarrow \quad z_1 = 2i-i=i$
$w_2 = 2e^{7\pi/6 \cdot i} = 2(\cos \displaystyle\frac{7\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{7\pi}{6}) = -2\sqrt{3} -2i \quad \rightarrow \quad z_2 = - 2\sqrt{3}-3i$
$w_3 = 2e^{11\pi/6 \cdot i} = 2(\cos \displaystyle\frac{11\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{11\pi}{6}) = 2\sqrt{3} -2i \quad \rightarrow \quad z_3 = 2\sqrt{3}-3i$
Exempel 9
Lös ekvationen $z^2 = \overline{z}$ .
Lösning
Om $z=a+bi$ har $|z|=r$ och $\arg z = \alpha$ så gäller att $\overline{z}= a-bi$ har $|\overline{z}|=r$ och $\arg \overline{z} = - \alpha$.
Då gäller att $z=re^{i\alpha}$ och $\overline{z} = re^{i\alpha}$ . Ekvationen kan därför skrivas
$\quad \quad \left(re^{i\alpha}\right)^2 = re^{-i\alpha}$, eller $r^2 e^{2i\alpha}= re^{-i\alpha}$ , vilket är ekvivalent med
$\quad \quad re^{3i\alpha} = 1 \quad$, som ger
$\cases{r=1 \cr 3\alpha = 0 + k \cdot 2\pi \quad \rightarrow \quad \alpha = k \cdot \displaystyle \frac{2\pi}{3} \; , \; k=0,1,2}$
$z_1 = e^0 = 1$
$z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos \displaystyle \frac{2\pi}{3} + i \sin \displaystyle \frac{2\pi}{3} = - \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} i$
$z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos \displaystyle \frac{4\pi}{3} + i \sin \displaystyle \frac{4\pi}{3} = - \displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} i$
Råd för inläsning
Tänk på att:
text
Lästips
stående
Länktips
stående
© Copyright 2007, math.se
| 
