3.4 Övningar
Sommarmatte 2
Innehåll |
Övning 3.4:1
| a) | $\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}$ | b) | $\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$ | c) | $\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a}$ | d) | $\displaystyle\frac{x^3 +x+2}{x+1}$ | e) | $\displaystyle \frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1}$ | mplexa talen $1+i, 3+2i$ och $3i$ bil
Facit till alla delfrågorna
| a) | $0$ | b) | $0$ | c) | $ 0 $ |
| d) | $0$ | e) | $0$ |
Övning 3.4:2
Ekvationen $z^3-3z^2+4z-2=0$ har roten $z=1$. Bestäm övriga rötter.
Facit till alla delfrågorna
|
$ z = \left\{ \begin{matrix} 1+i \\ 1-i \end{matrix} \right.$ |
Övning 3.4:3
Ekvationen $z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0$ har roten $z=2i$ och $z=-1+i$. Lös ekvationen.
Facit till alla delfrågorna
|
$z = \left\{ \begin{matrix} -2i \\ -1-i \\ 2i \\ 1+i \end{matrix} \right.$ |
Övning 3.4:4
Bestäm två reella tal $a$ och $b$ så att ekvationen $z^3+az+b=0$ har roten $z=1-2i$. Lös sedan ekvationen.
Facit till alla delfrågorna
|
$ \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 10 \end{matrix} \right.$ |
$ z = \left\{ \begin{matrix} 1-2i \\ 1+2i \\ -2 \end{matrix} \right.$ |
Övning 3.4:5
Bestäm $a$ och $b$ så att ekvationen $z^4-6z^2+az+b=0$ har en trippelrot. Lös sedan ekvationen.
Facit till alla delfrågorna
|
$ \left\{ \begin{matrix} a = 8 \\ b = -3 \end{matrix} \right.$ |
$ z = \left\{ \begin{matrix} 1\\ -3 \\ \end{matrix} \right.$ |
Övning 3.5:6
Ekvationen $z^4+3z^3+z^2+18z-30=0$ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter.
Facit till alla delfrågorna
|
$ z = \left\{ \begin{matrix} i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{29}}{2} \\ -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{29}}{2} \end{matrix} \right.$ |
Övning 2.5:7
Bestäm polynom som har följande nollställen
| a) | $1$ , $2$ och $4$ | b) | $-1+ i$ och $-1-i$ |
Facit till alla delfrågorna
| a) | $(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$ | b) | $(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $ |
