1.3 Övningar
Sommarmatte 2
Innehåll |
Övning 1.3:1
Bestäm kritiska punkter, terasspunkter, lokala extrempunkter och globala extrempunkter för funktionerna som beskrivs i graferna nedan. Ange också de intervall där funktionen är strängt växande respektive strängt avtagande.
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
d) |  |
Facit till alla delfrågor
| a) | Funktionen har en kritisk punkt då $x = 1$. Funktionen saknar terrasspunkt. Då $x = 1$ har funktionen som extrempunkt ett lokalt och globalt minimum. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le 0$, funktionen är strängt växande i intervallet $x\ge 0$. | b) | Funktionen har en kritisk punkt då $x = -1$ och då $x=1$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som lokala extrempunkter ett lokalt minimum då $x = -1$ och ett lokalt maximum då $x=1$. Funktionen har ett lokalt och globalt minimum i den vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt och globalt maximum i den högra ändpunkten. Funktionen är strängt växande i intervallen $x\le -1$ och $x\ge 1$, funktionen är strängt avtagande i intervallet $-1\le x\le 1$. |
| c) | Funktionen har kritiska punkter då $x = -2$, då $x=-1$ och då $x=1/2$. Funktionen har en terrasspunkt då $x=-1$. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt och globalt minimum då $x = -2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$, ett lokalt och globalt maximum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt minimum i den högra ändpunkten för definitionsintervallet. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -2$, strängt växande i intervallet $-2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$. | d) | Funktionen har kritiska punkter då $x = -5/2$ och då $x=1/2$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt minimum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall, ett lokalt och globalt minimum då $x = -5/2$, ett lokalt och globalt maximum då $x=-1$, ett lokalt miminum då $x=-1/2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$ och ett lokalt maximum i högra ändpunkten för funktionens definitionsintervall. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -5/2$, strängt växande i intervallet $-5/2\le x\le -3/4$, strängt avtagande i intervallet $-3/4\le x\le -1/2$, strängt växande då $-1/2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$. |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Övning 1.3:2
Bestäm lokala extrempunkter och skissera funktionsgrafen till
| a) | $f(x)= x^2 -2x+1$ | b) | $f(x)=2+3x-x^2$ |
| c) | $f(x)= 2x^3+3x^2-12x+1$ | d) | $f(x)=x^3-9x^2+30x-15$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $x=1\,$ (lokal minimipunkt) | b) | $x=\frac{3}{2}\,$ (lokal maximipunkt) |
| c) | $x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt) |
d) | lokal extrempunkt saknas |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Övning 1.3:3
Bestäm alla lokala extrempunkter till
| a) | $f(x)=-x^4+8x^3-18x^2$ | b) | $f(x)=e^{-3x} +5x$ |
| c) | $f(x)= x\ln x -9$ | d) | $f(x)=\displaystyle\frac{1+x^2}{1+x^4}$ |
| e) | $f(x)=(x^2-x-1)e^x$ då $-3\le x\le 3$ | ||
Facit till alla delfrågor
| a) | $x=0\,$ (lokal maximipunkt) | b) | $x=-\frac{1}{3}\ln\frac{5}{3}\,$ (lokal minimipunkt) |
| c) | $x=1/e\,$ (lokal minimipunkt) | d) | $x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt) $x=0\,$ (lokal minimipunkt) $x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt) |
| e) | $x=-3\,$ (lokal minimipunkt) $x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt) $x=3\,$ (lokal maximipunkt) |
||
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
Lösning till delfråga d)
Lösning till delfråga e)
Övning 1.3:4
Var på kurvan $y=1-x^2$ i första kvadranten ska punkten $P$ väljas för att rektangeln i figuren till höger ska ha maximal area?
| Svar |
| $P = \bigl(1/\sqrt{3},2/3\bigr)$ |
Övning 1.3:5
En $30$ cm bred pilt ska användas för att tillverka en ränna. Parallellt med plåtens långsidor viks kanterna upp enligt figuren. Hur stor ska vinkeln $\alpha$ vara för att ränna ska rymma så mycket vatten som möjligt?
| Svar |
| $\alpha=\pi/6$ |
Övning 1.3:6
En plåtmugg som har formen av en rät cirkulär cylinder ska tillverkas. Vilken radie och höjd ska muggen ha om man vill att den har en bestämd volym $V$ samtidigt som man använder så lite plåt som möjligt.
| Svar |
| radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ |
Övning 1.3:7
Ur en cirkulär skiva skärs en cirkelsektor bort och de två radiella kanter som uppstår fästs ihop så att man får en konformad strut. Hur stor vinkel ska den borttagna cirkelsektorn ha för att konen ska få maximal volym?
| Svar |
| Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort. |
