3.3 Övningar
Sommarmatte 2
Innehåll |
Övning 3.3:1
Skriv följande tal i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal.
| a) | $(i-1)^{12}$ | b) | $\displaystyle\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,\Bigr)^{12}$ |
| c) | $ (4\sqrt{3} -4i)^{22}$ | d) | $\Bigl(\displaystyle\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\,\Bigr)^{12}$ |
| e) | $\displaystyle\frac{(1+i\sqrt{3}\,)(1-i)^8}{(\sqrt{3}-i)^9}$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $-64$ | b) | $1$ |
| c) | $2^{65}+2^{65}\sqrt{3}\,i$ | d) | $-64$ |
| e) | $\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{32} - \frac{i}{32} $ |
Övning 3.3:2
Lös ekvationerna
| a) | $z^4=1$ | b) | $z^3=-1$ | c) | $ z^5=-1-i$ |
| d) | $(z-1)^4+4=0$ | e) | $\displaystyle\Bigl(\frac{z+i}{z-i}\Bigr)^2 = -1$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}1 \\ -1 \\ \phantom{-}i \\ -i\\ \end{matrix}\right.$ | b) | $z = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i \\ -1\phantom{{}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i \\ \end{matrix}\right.$ | c) | $\displaystyle z=2^{1/10}\exp\Bigl(\frac{\pi i}{4}+\frac{2k\pi i}{5}\Bigr)$ för $\ k=0,1,2,3,4$ |
| d) | $z= \left\{\begin{matrix} 2+i \\ 2-i \\ \phantom{-}i \\ -i\\ \end{matrix}\right.$ | e) | $z = \left\{\begin{matrix} \phantom{-}1 \\ -1 \end{matrix}\right.$ |
Övning 3.3:3
Kvadratkomplettera följande uttryck
| a) | $z^2 +2z+3$ | b) | $z^2 +3iz-\frac{1}{4}$ |
| c) | $-z^2-2iz +4z+1$ | d) | $iz^2+(2+3i)z-1$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $(z+1)^2+2$ | b) | $\left(z+\frac{3}{2}i\,\right)^2+2$ |
| c) | $-(z-2+i)^2+4(1-i)$ | d) | $i\bigl(z+\frac{3}{2}-i\bigl)^2-4-\frac{5}{4}\,i$ |
Övning 3.3:4
Lös ekvationerna
| a) | $z^2=i$ | b) | $z^2-4z+5=0$ |
| c) | $-z^2+2z+3=0$ | d) | $\displaystyle\frac{1}{z} + z = \frac{1}{2}$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}(1+i)/\sqrt{2}\\ -(1+i)/\sqrt{2}\\ \end{matrix}\right.$ | b) | $z = \left\{\begin{matrix} 2+i \\ 2-i \\ \end{matrix}\right.$ |
| c) | $z= \left\{\begin{matrix} -1 \\ \phantom{-}3 \\ \end{matrix}\right. $ | d) | $z= \left\{\begin{matrix} (1+i\sqrt{15})/4\\ (1-i\sqrt{15})/4 \end{matrix}\right.$ |
Övning 3.3:5
Lös ekvationerna
| a) | $z^2-2(1+i)z+2i-1=0$ | b) | $z^2-(2-i)z+(3-i)=0$ |
| c) | $z^2-(1+3i)z-4+3i=0$ | d) | $(4+i)z^2+(1-21i)z=17$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $z= \left\{\begin{matrix} 2+1 \\ i \\ \end{matrix}\right.$ | b) | $z = \left\{\begin{matrix} 1+i\phantom{2} \\ 1-2i \\ \end{matrix}\right.$ |
| c) | $z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}2+i\phantom{2} \\ -1+2i \\ \end{matrix}\right. $ | d) | $z= \left\{\begin{matrix} i \\ 1+4i \\ \end{matrix}\right.$ |
Övning 3.3:6
Bestäm lösningarna till $\,z^2=1+i\,$ dels i polär form, dels i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal. Använd resultatet för att beräkna $\ \tan \frac{\pi}{8}\,$.
Facit
Facit till alla delfrågor
| Lösningar: | $z= \left\{\eqalign{&\textstyle\sqrt[\scriptstyle 4]{2}\bigl(\cos\frac{\pi}{8}+i\,\sin\frac{\pi}{8}\bigr)\cr &\textstyle\sqrt[\scriptstyle 4]{2}\bigl(\cos\frac{9\pi}{8}+i\,\sin\frac{9\pi}{8}\bigr)}\right. = \left\{\eqalign{&\textstyle\phantom{-}{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}+2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}+i\,{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}-2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}\cr &\textstyle -{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}+2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}-i\,{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}-2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}}\right.$ |
| Uttryck: | $\displaystyle\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$ |
