Partiell integration
Vid integrering av produkter kan man ibland använda sig av en metod som kallas partiell integration. Metoden bygger på att man använder deriveringsregeln för produkter baklänges.
Om $f$ och $g$ är två deriverbara funktioner så gäller enligt produktregeln att
$$D(f\cdot g) = f' \cdot g + f \cdot g'$$
Om man nu integrerar båda leden får man
$$f \cdot g = \int (f' \cdot g + f \cdot g') = \int f' \cdot g + \int f\cdot g'$$
vilket ger formeln för partiell integration:
Partiell integration:
$$\int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g'$$
Detta innebär i praktiken att man integrerar en produkt av funktioner genom att kalla den ena funktionen $f'$ och den andra $g$, varefter man byter ut integralen $\int f' \cdot g$ mot den förhoppningsvis enklare integralen $\int f \cdot g'$.
Det är viktigt att påpeka att metoden inte alltid leder till en integral som är lättare än den ursprungliga. Det kan också vara helt avgörande hur man väljer funktionerna $f'$ och $g$, vilket följande exempel visar.
Betrakta integralen $\int x \cdot \sin x \, dx$. Om man väljer $\left[ \matrix { f' = x \\ g = \sin x} \right ]$ får man $\left[\matrix {f= x^2/2 \\ g' = \cos x} \right]$ och enligt formeln för partiell integration
$$\int x \cdot \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \cdot \sin x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \cos x \, dx$$
Den nya integralen är i detta fall inte enklare än den ursprungliga.
Om man i stället väljer $\left[\matrix{ f' = sin x \\ g= x} \right]$ får man $\left[\matrix { f = - \cos x \\ g' = 1} \right]$ , och
$$\int x \cdot \sin x \, dx = - x \cdot cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C$$
Exempel 1
Bestäm integralen $\displaystyle\int x^2 \cdot \ln x \, dx$.
Lösning
Sätt $\left[\matrix{ f'= x^2 \\ g= \ln x} \right]$ , vilket ger $\left[\matrix {f = x^3/3 \\ g'= 1/x}\right]$ .
$ \displaystyle\int x^2 \cdot \ln x \, dx = \displaystyle \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} \, dx = \displaystyle\frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \int x^2 \, dx =$
$= \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle \frac{x^3}{3} + C = \displaystyle \frac{x^3}{3} \left( \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \right) + C$
Exempel 2
Bestäm $\displaystyle\int x^2 e^x \, dx$
Lösning
Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^x \\ g = x^2} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= e^x \\ g' = 2x} \right]$ .
$$ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx$$
Här krävs ytterligare partiell integration för att lösa den nya integralen $\int 2x e^x \, dx$.
Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^x \\ g = 2x} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= e^x \\ g' = 2} \right]$ .
$$\int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2 e^x + C$$
Den ursprungliga integralen blir alltså:
$$ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C$$
Exempel 3
Bestäm $\displaystyle\int e^x \cos x \, dx$.
Lösning
Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^x \\ g = \cos x} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= e^x \\ g' = - \sin x} \right]$ .
$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x + \int e^x \sin x \, dx $$
Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^x \\ g = \sin x} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= e^x \\ g' = \cos x} \right]$ .
$$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx $$
Den ursprungliga integralen dyker här alltså upp igen. Vi får sammantaget:
$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx \quad \to \quad \int e^x \cos x \, dx = \frac{e^x}{2} ( \cos x + \sin x) + C$$
Trots att de partiella integrationerna i detta fall inte ledde till någon enklare integral kom vi alltså fram till en ekvation där den ursprungliga integralen kunde ”lösas ut”. Detta är inte helt ovanligt när integranden är en produkt av trigonometriska funktioner och/eller exponentialfunktioner.
Exempel 4
Beräkna integralen $\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{2x}{e^x} \, dx$ .
Lösning
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx$
Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^{-x} \\ g = 2x} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= - e^{-x} \\ g' = 2} \right]$ .
$ \displaystyle \int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx = \left[ -2x e^{-x} \right]_{0}^{1} + \displaystyle \int_{0}^{1} 2 e^{-x} = \left[ -2x e^{-x} \right]_{0}^{1} + \left[ -2 e^{-x} \right]_{0}^{1} =$
$= (-2 \cdot e^{-1}) - 0 + (- 2\cdot e^{-1}) - (-2) = - \displaystyle \frac{2}{e} - \displaystyle \frac{2}{e} + 2 = 2 - - \displaystyle \frac{4}{e}$
Exempel 5
Beräkna $ \displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx$ .
Lösning
Variabelsubstitution:
Sätt $\left [ \matrix{u= \sqrt{x} \\ du= (1/2 \sqrt{x})\, dx = (1/2u)\, dx \\ 2u\, du = dx} \right]$ .
$ \displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx = \displaystyle \int \ln u \cdot 2u \, du$
Partiell integration:
Sätt $\left [ \matrix{ f' = 2u \\ g = \ln u} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= u^2 \\ g' = 1/u} \right]$ .
$ \displaystyle \int \ln u \cdot 2u \, du = u^2 \ln u - \displaystyle \int u^2 \cdot \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \displaystyle \int u\, du = u^2 \ln u - \displaystyle \frac{u^2}{2} + C =$
$= x \ln \sqrt{x} - \displaystyle \frac {x}{2} + C = x \left( \ln \sqrt{x} - \displaystyle \frac{1}{2} \right) + C$
| 
