Variabelsubstitution
När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är variabelsubstitution, vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner – den s.k. kedjeregeln.
Kedjeregeln, $ \quad \displaystyle \frac{d}{dx} f(u(x)) = f' (u(x)) \cdot u'(x)$
kan i integralform skrivas
$$ \displaystyle \int f'(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = f(u(x)) + C$$
eller,
$$ \displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C \quad \mbox{,}$$
där $F$ är en primitiv funktion till $f$.
Eftersom
$$ \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C \quad \mbox{,}$$
så får man
$$\displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C$$
Om man ersätter uttrycket $u(x)$ med variabeln $u$ och $u'(x)\, dx$ med $du$, kan man alltså omvandla den krångligare integranden $f(u(x)) \cdot u'(x)$ (med $x$ som variabel) med den förhoppningsvis enklare $f(u)$ (med $u$ som variabel).
Metoden kallas variabelsubstitution och kan användas när integranden kan skrivas på formen $f(u(x)) \cdot u'(x)$.
Anm.1
Metoden bygger naturligtvis på att alla förutsättningar för integrering är uppfyllda; att $u(x)$ är deriverbar i det aktuella intervallet, samt att $f$ är definierad och kontinuerlig i värdemängden till $u$, dvs. för alla värden som $u$ kan anta i intervallet.
Anm.2
Att ersätta $u'(x) \, dx$ med $du$ kan också motiveras genom att studera övergången från differenskvot till derivata:
$$\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \frac{\Delta u}{\Delta x} = \displaystyle \frac{du}{dx} = u'(x)$$
vilket när $\Delta x$ går mot noll kan betraktas som att
$$\Delta u = u'(x) \Delta x \quad \to \quad du = u'(x) \, dx$$
dvs., en liten ändring, $dx$, i variabeln $x$ ger upphov till ändringen $u'(x)\,dx$ i variabeln $u$.
Exempel 1
Bestäm integralen $ \displaystyle \int 2 x e^{x^2} \, dx$.
Lösning
Om man sätter $u(x)= x^2$ , så blir $u'(x)= 2x$.
Vid variabelbytet ersätts då $e^{x^2}$ med $e^u$ och $u'(x)\, dx$, dvs. $2x \, dx$ med $du$.
$$ \int 2 x e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$$
Exempel 2
Bestäm $\quad \displaystyle \int (x^3 + 1)^3 \cdot x^2 \, dx$
Lösning
Sätt $u=x^3 + 1$
Då blir $u'=3x^2$ , eller $du= 3x^2\, dx$
$$\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx = \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du = \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C$$
Exempel 3
Bestäm $\quad \displaystyle \int \tan x \, dx \quad$ $\quad, (-\displaystyle \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2})$
Lösning
$$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\matrix{u= \cos x \\ u' = - \sin x \\ du= - \sin x \, dx}\right] = \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C$$
Integrationsgränser vid variabelbyte
Vid beräkning av bestämda integraler, t.ex. en area, där man använder variabelsubstitution kan man gå till väga på två sätt. Antingen beräknar man integralen som vanligt, byter tillbaka till den ursprungliga variabeln och sätter in de ursprungliga integrationsgränserna.
Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet.
De båda metoderna illustreras i följande exempel.
Exempel 4
Beräkna integralen $\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx$.
Metod 1
Sätt $u=e^x \quad \to \quad u'= e^x \quad \to \quad du= e^x\, dx$
$\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{x=0}^{x=2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du = \left[ \ln |1+ u | \right]_{x=0}^{x=2} = \left[ \ln (1+ e^x) \right]_{0}^{2} = \ln (1+ e^x) - \ln 2 = \ln \left(\displaystyle \frac{1+ e^2}{2} \right)$
Metod 2
Sätt $u=e^x \quad \to \quad u'= e^x \quad \to \quad du= e^x\, dx$
$x=0$ motsvaras då av $u=e^0 = 1$ , $x = 2$ motsvaras av $u=e^2$
$\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{1}^{e^2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du = \left[ \ln |1+ u | \right]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^x) - \ln 2 = \ln \left(\displaystyle \frac{1+ e^2}{2} \right)$
Observera att integrationsgränserna i metod 1 måste skrivas $x = 0$ och $x = 2$ där variabeln inte är $x$. Det vore fel att skriva
$$\quad \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ osv.}$$
Exempel 5
Beräkna integralen $ \quad \displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx$.
Lösning
Substitutionen $\left[\matrix{u= \sin x \\ u' = \cos x \\ du= \cos x \, dx}\right]$
och $\left[\matrix{ x=0 \to u=\sin 0 = 0 \\ x=\displaystyle \frac{\pi}{2} \to u= \sin \frac{\pi}{2} = 1} \right]$ ger
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx= \displaystyle \int_{0}^{1} u^3 du = \left[ \displaystyle \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{4} - 0 = \displaystyle \frac{1}{4}$
(Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.)
Exempel 6
Betrakta beräkningen
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{ \cos x} {\sin^2 x} dx = \left[ \matrix{ u = \sin x \\ du = \cos x \, dx \\ u(- \frac{\pi}{2}) = -1 \\ u (\frac{\pi}{2}) = 1} \right ] = \displaystyle \int_{-1}^{1} \displaystyle \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\displaystyle \frac{1}{u} \right]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2$
Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på
att $f(u)= \displaystyle \frac{1}{u^2}$ inte är kontinuerlig i intervallet $[-1, 1]$ (se fig.).
Villkoret att $f(u(x))$ ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som $u(x)$ kan anta i det
aktuella intervallet är alltså nödvändigt för att
substitutionen $u=u(x)$ ska fungera.
| 
