Sommarmatte 2 - Nya sidor [sv]

Hela kursen som PDF

2007-07-23T13:58:43Z

Sammanfattning: /* Förberedande kurs i matematik 2 */

__NOTOC__
==Förberedande kurs i matematik 2==

'''Här kan du ladda ner hela kursen som PDF'''

Här kan du ladda ner hela kursen som en PDF-fil och skriva ut den, om du vill jobba med materialet "offline".

Filen innehåller dock inte examinationen (grundprov, slutprov), då dessa är dynamiska och därför måste göras via datorn. PDF:en innehåller facit med svar till alla övningsuppgifter, men fullständiga lösningar till övningsuppgifterna finns endast i webmaterialet.

Välj den version som du önskar:

[[Media: sf0601_20070720.pdf | Länk till hela kursen som PDF, Version 2007-07-20, förminskad storlek, 2 utskriftssidor per A4, 55 sidor (pdf-fil, 1.3 MB) »]]

[[Media: sf0601_fullstorlek_20070720.pdf | Länk till hela kursen som PDF, Version 2007-07-20, fullstorlek, 1 utskriftssidor per A4, 105 sidor (pdf-fil, 1.7 MB) »]]

För att spara pdf-filen till din dator kan du t.ex. högerklicka på länken och välja "Spara som ...". (Gäller Windows-användare).

Innehåll

2007-07-18T12:32:37Z

Sammanfattning:

<table><tr><td width="600">

<tr><td width="600">


'''1. Derivata'''
{|
|-
! colspan="3" align="left" style= "border-bottom:2px solid #E2F1F7;"|
|-
! width="250" align="left"|   1.1 Inledning derivata
|-
! width="250" align="left"|   1.2 Deriveringsregler
|-
! width="250" align="left"|   1.3 Max- och minproblem
|}

'''2. Integraler'''
{|
|-
! colspan="3" align="left" style= "border-bottom:2px solid #E2F1F7;"|
|-
! width="250" align="left"|   2.1 Inledning integraler
|-
! width="250" align="left"|   2.2 Variabelsubstitution
|-
! width="250" align="left"|   2.3 Partiell integrering
|}

'''3. Komplexa tal'''
{|
|-
! colspan="3" align="left" style= "border-bottom:2px solid #E2F1F7;"|
|-
! width="250" align="left"|   3.1 Räkning med komplexa tal
|-
! width="250" align="left"|   3.2 Polär form
|-
! width="250" align="left"|   3.3 Potenser och rötter
|-
! width="250" align="left"|   3.4 Komplexa polynom
|}

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Facit

2007-07-18T09:13:53Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Svar 1.1:1'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f'(-4)>0, \,\,\,\, f'(1)<0$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x=-3$ och $x=2$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-3\le x \le 2$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 1.1:2'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="33%">a) $f'(x)=2x-3$ </td>
<td class="ntext" width="33%">b) $f'(x)=-\sin x -\cos x$ </td>
<td class="ntext" width="33%">c) $f'(x)=e^x-\displaystyle\frac{1}{x}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="33%">d) $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}$</td>
<td class="ntext" width="33%">e) $f'(x)=4x(x^2-1)$</td>
<td class="ntext" width="33%">f) $f'(x)=-\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 1.1:3'''<br>
$14{,}0\,$ m/s

'''Svar 1.1:4'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">
Tangentens ekvation: $\ y=2x-1$<br>
Normalens ekvation: $\ y=-\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 1.1:5'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$\bigl(1-\sqrt2, -3+2\sqrt2\bigr)\,$ och $\,\bigl(1+\sqrt2, -3-2\sqrt2\bigr)$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 1.2:1'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2x\ln x+ x$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=1-\frac{2}{(x+1)^2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{(\ln x)^2}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\ln x + 1}{\sin x}-\frac{x\ln x \cos x}{\sin^2x}$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 1.2:2'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos x^2 \cdot 2x$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$e^{x^2+x}(2x+1)$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{x\ln x}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(2x+1)^3(10x+1)$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 1.2:3'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{1-2x^2}{x^2(1-x^2)^{3/2}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-\cos\cos\sin x \cdot \sin\sin x \cdot \cos x$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$e^{\sin x^2}\cdot \cos x^2 \cdot 2x$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x^{\tan x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2x}+\frac{\tan x}{x}\Bigr)$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 1.2:4'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{2\sin \ln x}{x}$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 1.3:1'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">Funktionen har en kritisk punkt då $x = 1$. Funktionen saknar terrasspunkt. Då $x = 1$ har funktionen som extrempunkt ett lokalt och globalt minimum. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le 0$, funktionen är strängt växande i intervallet $x\ge 0$. </td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">Funktionen har en kritisk punkt då $x = -1$ och då $x=1$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som lokala extrempunkter ett lokalt minimum då $x = -1$ och ett lokalt maximum då $x=1$. Funktionen har ett lokalt och globalt minimum i den vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt och globalt maximum i den högra ändpunkten. Funktionen är strängt växande i intervallen $x\le -1$ och $x\ge 1$, funktionen är strängt avtagande i intervallet $-1\le x\le 1$.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">Funktionen har kritiska punkter då $x = -2$, då $x=-1$ och då $x=1/2$. Funktionen har en terrasspunkt då $x=-1$. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt och globalt minimum då $x = -2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$, ett lokalt och globalt maximum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt minimum i den högra ändpunkten för definitionsintervallet. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -2$, strängt växande i intervallet $-2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$.</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">Funktionen har kritiska punkter då $x = -5/2$ och då $x=1/2$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt minimum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall, ett lokalt och globalt minimum då $x = -5/2$, ett lokalt och globalt maximum då $x=-1$, ett lokalt miminum då $x=-1/2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$ och ett lokalt maximum i högra ändpunkten för funktionens definitionsintervall. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -5/2$, strängt växande i intervallet $-5/2\le x\le -3/4$, strängt avtagande i intervallet $-3/4\le x\le -1/2$, strängt växande då $-1/2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$.</td>
</tr>
</table>

'''Svar 1.3:2'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=1\,$ (lokal minimipunkt)</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\frac{3}{2}\,$ (lokal maximipunkt)</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-2\,$ (lokal maximipunkt)<br> $x=1\,$ (lokal minimipunkt)</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">lokal extrempunkt saknas</td>
</tr>
</table>

'''Svar 1.3:3'''
<table cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext" width="100%">a) $\; x=0\,$ (lokal maximipunkt)$\qquad\qquad\quad$ b) $\; x=-\frac{1}{3}\ln\frac{5}{3}\,\qquad\qquad\quad$ c) $\; x=1/e\,$ (lokal minimipunkt)</td>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">$\mbox{d)}\quad\left\{ \eqalign{ x&=-\sqrt{\sqrt{2}-1}\quad \mbox{ (lokal maximipunkt)} \\ x&=0\qquad\qquad\quad \mbox{ (lokal minimipunkt) } \\ x&=\sqrt{\sqrt{2}-1}\quad \mbox{ (lokal maximipunkt)}} \right. \qquad\qquad\qquad \mbox{e)}\quad \left\{ \eqalign{ x&=-3\qquad \mbox{ (lokal minimipunkt) } \\ x&=-2\qquad \mbox{ (lokal maximipunkt) } \\ x&=1\qquad \mbox{ (lokal minimipunkt) } \\ x&=3\qquad \mbox{ (lokal maximipunkt) } }\right. $</td>
</tr>
</table><br><br>

'''Svar 1.3:4'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"><td>$P = \bigl(1/\sqrt{3},2/3\bigr)$</td></tr>
</table>

'''Svar 1.3:5'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"><td>$\alpha=\pi/6$</td></tr>
</table>

'''Svar 1.3:6'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"><td>radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ </td></tr>
</table>

'''Svar 1.3:7'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"><td>Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort.</td></tr>
</table>

'''Svar 2.1:1'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$6$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$2$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$2$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{5}{2}$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 2.1:2'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{44}{3}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle-\frac{9}{2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{32}{3}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$1$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 2.1:3'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\cos x + C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle-\frac{\cos 2x}{2}+C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{e^{3x}}{3}+\frac{e^{2x}}{2}+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{x^2}{2}+\ln x + C$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 2.1:4'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" align="left">a)     $3-\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}$ a.e.</td>
<td class="ntext">b)     $\displaystyle 4.\sqrt{3}$ a.e.</td>
<td class="ntext">c)     $32$ a.e.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)     $\sqrt{2}-1-\ln(\sqrt{2}-1)\,$ a.e.</td>
<td class="ntext">e)     $\displaystyle\frac{9}{2}$ a.e.</td>
</tr>
</table>

'''Svar 2.1:5'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" align="left">a)     $\displaystyle\frac{2}{27}\left((x+9)\sqrt{x+9}+x\sqrt{x}\right)+C$</td>
<td class="ntext">b)     $-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$</td>
</tr>
</table><br><br>

'''Svar 2.2:1'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{13}{1000}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{(x^2+3)^6}{12}+C$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{3}e^{\scriptstyle x^3}+C$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 2.2:2'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$0$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{1}{2}(e^4-e^3)$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$14$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{3}{4}$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 2.2:3'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\cos x^2+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{\sin^2x}{2}+C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\frac{1}{2}(\ln x)^2+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2x+2\right)+C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-2\cos\sqrt{x}+C$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 2.2:4'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt3}\right)+C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right)+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x-\arctan x + C$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 2.3:1'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-2(x+1)e^{-x}+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-(x+1)\cos x+\sin x + C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2x\cos x + (x^2-2)\sin x + C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{x^2}{2}\left(\ln x - \frac{1}{2}\right) + C$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 2.3:2'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x}-1\right)+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\ln|\cos x|+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x(\ln x-1)+C$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.1:1'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$8+3i$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-2+4i$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-3+2i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$31+i$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$7-i$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$1-i$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.1:2'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{5}{2}\,i$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle -\frac{19}{26} + \frac{2}{13}\,i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle -\frac{11}{4}-\frac{5\sqrt3}{4}\,i$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{7}{130} -\frac{93}{65}\,i$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.1:3'''<br>
$a=-6$

'''Svar 3.1:4'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=2+3i$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=\displaystyle\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=2+i$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=\displaystyle \frac{3}{5} - \frac{1}{5}i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=\displaystyle \frac{2}{3}-i$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=3+i$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.2:1'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)<br\>[[Bild:f_3_2_1a.gif]]</td>
<td class="ntext">b)<br\>[[Bild:f_3_2_1b.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)<br\>[[Bild:f_3_2_1c.gif]]</td>
<td class="ntext">d)<br\>[[Bild:f_3_2_1d.gif]]</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.2:2'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)<br\>[[Bild:f_3_2_2a.gif]]</td>
<td class="ntext">b)<br\>[[Bild:f_3_2_2b.gif]]</td>
</tr>
</table><br><br><br>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">c)<br\>[[Bild:f_3_2_2c.gif]]</td>
<td class="ntext">d)<br\>[[Bild:f_3_2_2d.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)<br\>[[Bild:f_3_2_2e.gif]]</td>
<td class="ntext">f)<br\>[[Bild:f_3_2_2f.gif]]</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.2:3'''<br>
$2+4i$

'''Svar 3.2:4'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$5$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{53}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$5\sqrt{13}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{5}{\sqrt{13}}$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.2:5'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\pi$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{3\pi}{4}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-\displaystyle\frac{\pi}{12}\,$ eller $\,\displaystyle\frac{23}{12}\pi$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{\pi}{4}$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.2:6'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle3(\cos 0 + i\,\sin 0)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle11\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\right)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle4\sqrt2\left(\cos \frac{5\pi}{4} + i\,\sin\frac{5\pi}{4}\right)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle2\sqrt{10}\left(\cos \frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\right)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{12} + i\,\sin\frac{\pi}{12}\right)$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{\sqrt2}{3}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\right)$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.3:1'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-64$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2^{65}+2^{65}\sqrt{3}\,i$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-64$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{32} - \frac{i}{32} $</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.3:2'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}1 \\ -1 \\ \phantom{-}i \\ -i\\ \end{matrix}\right.$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i \\ -1\phantom{{}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i \\ \end{matrix}\right.$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle z=2^{1/10}\exp\Bigl(\frac{\pi i}{4}+\frac{2k\pi i}{5}\Bigr)$ för $\ k=0,1,2,3,4$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z= \left\{\begin{matrix} 2+i \\ 2-i \\ \phantom{-}i \\ -i\\ \end{matrix}\right.$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z = \left\{\begin{matrix} \phantom{-}1 \\ -1 \end{matrix}\right.$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.3:3'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(z+1)^2+2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\left(z+\frac{3}{2}i\,\right)^2+2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-(z-2+i)^2+4(1-i)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$i\bigl(z+\frac{3}{2}-i\bigl)^2-4-\frac{5}{4}\,i$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.3:4'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}(1+i)/\sqrt{2}\\ -(1+i)/\sqrt{2}\\ \end{matrix}\right.$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z = \left\{\begin{matrix} 2+i \\ 2-i \\ \end{matrix}\right.$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} -1 \\ \phantom{-}3 \\ \end{matrix}\right. $</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} (1+i\sqrt{15})/4\\ (1-i\sqrt{15})/4 \end{matrix}\right.$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.3:5'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} 2+1 \\ i \\ \end{matrix}\right.$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z = \left\{\begin{matrix} 1+i\phantom{2} \\ 1-2i \\ \end{matrix}\right.$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}2+i\phantom{2} \\ -1+2i \\ \end{matrix}\right. $</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} i \\ 1+4i \\ \end{matrix}\right.$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.3:6'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">Lösningar:</td>
<td class="ntext" width="100%">$z= \left\{\eqalign{&\textstyle\sqrt[\scriptstyle 4]{2}\bigl(\cos\frac{\pi}{8}+i\,\sin\frac{\pi}{8}\bigr)\cr &\textstyle\sqrt[\scriptstyle 4]{2}\bigl(\cos\frac{9\pi}{8}+i\,\sin\frac{9\pi}{8}\bigr)}\right. = \left\{\eqalign{&\textstyle\phantom{-}{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}+2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}+i\,{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}-2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}\cr &\textstyle -{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}+2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}-i\,{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}-2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}}\right.$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">Uttryck:</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.4:1'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x+1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x-1+\frac{1}{x+1}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-ax+a^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-x+2$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x-1+\frac{2x+2}{x^2+3x+1}$</td>
</tr>
</table><br><br><br>

'''Svar 3.4:2'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">
$ z = \Bigl\{\eqalign{&1+i\cr &1-i}$
</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.4:3'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">
$z = \left\{\begin{matrix}-1+i\cr -1-i\cr \phantom{-}2i\cr -2i\end{matrix}\right.$
</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.4:4'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">
Välj $\,a=1\,$ och $\,b=10\,$. Lösningarna är $\ z = \left\{ \begin{matrix} 1-2i \\ 1+2i \\ -2 \end{matrix} \right.$
</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.4:5'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">
Två fall:
* Välj $\,a=8\,$ och $\,b=-3\,$. Lösningarna är $\,z=1\,$ (trippelroten) och $\,z=-3\,$.
* Välj $\,a=-8\,$ och $\,b=-3\,$. Lösningarna är $\,z=-1\,$ (trippelroten) och $\,z=3\,$.
</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.5:6'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">
$ z = \left\{ \begin{matrix} \phantom{-}i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{29}\,i \\ -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{29}\,i \end{matrix} \right.$
</td>
</tr>
</table>

'''Svar 3.5:7'''
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $</td>
</tr>
</table>
<br><br><br><br><br><br>

Övningar 3.4

2007-07-18T09:06:59Z

Sammanfattning:

'''Övning 3.4:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-10px;">Utför följande polynomdivisioner (alla går inte jämnt ut)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{x^3 +x+2}{x+1}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" >$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.4:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-10px;">
Ekvationen $\,z^3-3z^2+4z-2=0\,$ har roten $\,z=1\,$. Bestäm övriga rötter.
</div>

'''Övning 3.4:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-10px;">
Ekvationen $\,z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0\,$ har rötterna $\,z=2i\,$ och $\,z=-1-i\,$. Lös ekvationen.
</div>

'''Övning 3.4:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-10px;">
Bestäm två reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^3+az+b=0\ $ har roten $\,z=1-2i\,$. Lös sedan ekvationen.
</div>

'''Övning 3.4:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-10px;">
Bestäm $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^4-6z^2+az+b=0\ $ har en trippelrot. Lös sedan ekvationen.
</div>

'''Övning 3.5:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-10px;">
Ekvationen $\ z^4+3z^3+z^2+18z-30=0\ $ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter.
</div>

'''Övning 2.5:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-10px;">
Bestäm polynom som har följande nollställen
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1\,$, $\,2\,$ och $\,4$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-1+ i\,$ och $\,-1-i$</td>
</tr>
</table>
</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 3.3

2007-07-18T08:57:21Z

Sammanfattning:

'''Övning 3.3:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Skriv följande tal i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(i-1)^{12}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,\Bigr)^{12}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(4\sqrt{3} -4i)^{22}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\Bigl(\displaystyle\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\,\Bigr)^{12}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{(1+i\sqrt{3}\,)(1-i)^8}{(\sqrt{3}-i)^9}$</td>
<td class="ntext"> </td>
<td class="ntext" width="33%"> </td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.3:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z^4=1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z^3=-1$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$ z^5=-1-i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(z-1)^4+4=0$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\Bigl(\frac{z+i}{z-i}\Bigr)^2 = -1$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.3:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Kvadratkomplettera följande uttryck
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2 +2z+3$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2 +3iz-\frac{1}{4}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-z^2-2iz +4z+1$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$iz^2+(2+3i)z-1$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.3:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2=i$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2-4z+5=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-z^2+2z+3=0$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{z} + z = \frac{1}{2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.3:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2-2(1+i)z+2i-1=0$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2-(2-i)z+(3-i)=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2-(1+3i)z-4+3i=0$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(4+i)z^2+(1-21i)z=17$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.3:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Bestäm lösningarna till $\,z^2=1+i\,$ dels i polär form, dels i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal. Använd resultatet för att beräkna $\ \tan \frac{\pi}{8}\,$.
</div>

<br><br><br>

Övningar 3.2

2007-07-18T08:50:50Z

Sammanfattning:

'''Övning 3.2:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">Givet de komplexa talen $\,z=2+i\,$, $\,w=2+3i\,$ och $\,u=-1-2i\,$. Markera följande tal i det komplexa talplanet
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z\,$ och $\,w$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z+u\,$ och $\,z-u$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2z+w$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z-\overline{w}+u$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.2:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">Rita in följande mängder i det komplexa talplanet
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$0\le \mbox{Im}\, z \le 3$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$0 \le \mbox{Re} \, z \le \mbox{Im}\, z \le 1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ |z|=2$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$|z-1-i|=3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \mbox{Re}\, z = i + \bar z$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2<|z-i|\le3$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.2:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">De komplexa talen $\,1+i\,$, $\,3+2i\,$ och $\,3i\,$ bildar i det komplexa talplanet tre hörn i en kvadrat. Bestäm kvadratens fjärde hörn.
</div>

'''Övning 3.2:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Bestäm beloppet av
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3+4i$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(2-i) + (5+3i)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(3-4i)(3+2i)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\quad\displaystyle\frac{3-4i}{3+2i}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.2:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">Bestäm argumentet av
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-10$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-2+2i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ (\sqrt{3} +i)(1-i)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{i}{1+i}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.2:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">Skriv följande tal i polär form
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-11i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ -4-4i$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{10} + \sqrt{30}\,i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\quad\displaystyle\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\quad\displaystyle\frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3}\,)}{3i(\sqrt{12} -2i)}$</td>
</tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br>

Övningar 3.1

2007-07-18T08:44:31Z

Sammanfattning:

'''Övning 3.1:1'''
<div class="ovning">Skriv i formen $\,a+bi\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(5-2i)+(3+5i)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3i -(2-i)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ i(2+3i)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(3-2i)(7+5i)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ (1+i)(2-i)^2$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$i^{\,20} + i^{\,11}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.1:2'''
<div class="ovning">Skriv i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3-2i}{1+i}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3i}{4-6i} - \displaystyle\frac{1+i}{3+2i}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\frac{(2-i\sqrt{3}\,)^2}{1+i\sqrt{3}}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{5-\displaystyle\frac{1}{1+i}}{3i + \displaystyle\frac{i}{2-3i}}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.1:3'''
<div class="ovning">Bestäm det reella tal $\,a\,$ så att uttrycket $\ \displaystyle\frac{3+i}{2+ai}\ $ blir rent imaginärt (dvs. realdel lika med noll).
</div>

'''Övning 3.1:4'''
<div class="ovning">Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z+3i=2z-2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(2-i) z= 3+2i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ iz+2= 2z-3$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(2+i) \overline{z} = 1+i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\frac{iz+1}{z+i} = 3+i$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(1+i)\overline{z}+iz = 3+5i$</td>
</tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 2.3

2007-07-18T08:41:42Z

Sammanfattning:

'''Övning 2.3:1'''
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2x e^{-x} \, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int(x+1) \sin x \, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int x^2 \cos x \, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int x \ln x \, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.3:2'''
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int e^{\sqrt x}\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1} x^3 e^{x^2} \, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \tan x \, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \ln x\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 2.2

2007-07-18T08:36:39Z

Sammanfattning:

'''Övning 2.2:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{(3x-1)^4}$ genom att använda substitution $u=3x-1$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int (x^2+3)^5x \, dx$ genom att använda substitution $u=x^2+3$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \, dx$ genom att använda substitution $u=x^3$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.2:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos 5x\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1/2} e^{2x+3}\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int_{0}^{5} \sqrt{3x + 1} \, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[\scriptstyle3]{1 - x}\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.2:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2x \sin x^2\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \sin x \cos x\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{\ln x}{x}\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2+2x+2}\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{3x}{x^2+1}\, dx$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.2:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">Använd formeln $$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$$ för att beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4x+8}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{x^2}{x^2 +1}\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 2.1

2007-07-18T08:29:44Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 2.1:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle\int_{-1}^{2} 2\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle\int_{0}^{1} (2x+1)\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle \int_{0}^{2} (3-2x)\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle\int_{-1}^{2}|x| \, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.1:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{2} (x^2+3x^3)\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int_{4}^{9} \left(\sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.1:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \sin x\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.1:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
<table cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean mellan kurvan $y=\sin x$ och $x$-axeln när $0\le x \le \frac{5\pi}{4}$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean av det område under kurvan $y=-x^2+2x+2$ och ovanför $x$-axeln</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean av det ändliga området mellan kurvorna $y=\frac{1}{4}x^2+2$ och $y=8-\frac{1}{8}x^2$ (studentexamen 1965).</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean av det ändliga området som kurvorna $y=x+2, y=1$ och $y=\frac{1}{x}$ innesluter.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean av området som ges av olikheterna $x^2\le y\le x+2$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.1:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad$ (Ledning: förläng med nämnarens konjugat)</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int \sin^2 x\quad$ (Ledning: skriv om integranden m.h.a. trigonometrisk formel)</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br>

Övningar 1.3

2007-07-18T08:24:54Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 1.3:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Bestäm kritiska punkter, terasspunkter, lokala extrempunkter och globala extrempunkter för funktionerna som beskrivs i graferna nedan. Ange också de intervall där funktionen är strängt växande respektive strängt avtagande.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1a.gif]]</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1b.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1c.gif]]</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1d.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.3:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Bestäm lokala extrempunkter och skissera funktionsgrafen till
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)= x^2 -2x+1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=2+3x-x^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)= 2x^3+3x^2-12x+1$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=x^3-9x^2+30x-15$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.3:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Bestäm alla lokala extrempunkter till
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=-x^4+8x^3-18x^2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=e^{-3x} +5x$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)= x\ln x -9$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=\displaystyle\frac{1+x^2}{1+x^4}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=(x^2-x-1)e^x$ då $-3\le x\le 3$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br>
'''Övning 1.3:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Var på kurvan $y=1-x^2$ i första kvadranten ska punkten $P$ väljas för att rektangeln i figuren till höger ska ha maximal area? <br\>
<div align="center">[[Bild:O_1_3_4.gif]]</div>
</div>

'''Övning 1.3:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
En $30$ cm bred plåt ska användas för att tillverka en ränna. Parallellt med plåtens långsidor viks kanterna upp enligt figuren. Hur stor ska vinkeln $\alpha$ vara för att ränna ska rymma så mycket vatten som möjligt? <br\>
<div align="center">[[Bild:O_1_3_6.gif]]</div>
</div>

'''Övning 1.3:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
En plåtmugg som har formen av en rät cirkulär cylinder ska tillverkas. Vilken radie och höjd ska muggen ha om man vill att den har en bestämd volym $V$ samtidigt som man använder så lite plåt som möjligt.
</div>

'''Övning 1.3:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Ur en cirkulär skiva skärs en cirkelsektor bort och de två radiella kanter som uppstår fästs ihop så att man får en konformad strut. Hur stor vinkel ska den borttagna cirkelsektorn ha för att konen ska få maximal volym?
</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 1.2

2007-07-18T08:21:36Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 1.2:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos x \cdot \sin x$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2\ln x$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2+1}{x+1}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\sin x}{x}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x}{\ln x}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x \ln x}{\sin x}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.2:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$ \sin x^2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$e^{x^2+x}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sqrt{\cos x}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\ln \ln x$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x(2x+1)^4$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos \sqrt{1-x}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.2:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$ \ln (\sqrt{x} + \sqrt{x+1})$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sqrt{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin \cos \sin x$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$e^{\sin x^2}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^{\tan x}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.2:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Beräkna andraderivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$ \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x ( \sin \ln x +\cos \ln x )$</td>
</tr>
</table>
</div><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 1.1

2007-07-18T08:03:03Z

Sammanfattning:

'''Övning 1.1:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Grafen till $f(x)$ är ritad i figuren. <br\>
[[Bild:o_1_1_1a.gif]]
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Vilket tecken har $f'(-4)$ respektive $f'(1)$?</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">För vilka $x$-värden är $f'(x)=0$?</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">I vilket eller vilka intervall är $f'(x)$ negativ?</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.1:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Bestäm $f'(x)$ om
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x) = x^2 -3x +1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=\cos x -\sin x$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)= e^x-\ln x$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=\sqrt{x}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x) = (x^2-1)^2$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)= \cos (x+\pi/3)$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.1:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
En liten boll som släpps från höjden $h=10$m ovanför marken vid tidpunkten $t=0$, har vid tiden $t$ (mätt i sekunder) höjden $h(t)=10-\displaystyle\frac{9,\!82}{2}\,t^2$. Vilken fart har bollen när den slår i backen?
</div>

'''Övning 1.1:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan $y=x^2$ i punkten $(1,1)$.
</div>

'''Övning 1.1:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-18px;">
Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$.
</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

3.4. Komplexa polynom

2007-07-18T07:49:36Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

{{Info|
'''Innehåll:'''
* Faktorsatsen
* Polynomdivision
* Algebrans fundamentalsats
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* Utföra polynomdivision.
* Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom.
* Veta att en polynomekvation av grad ''n'' har ''n'' rötter (räknade med multiplicitet).
* Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.
}}

</td>
<td>
</td></tr>
<tr><td width=600>
==Polynom och ekvationer==
Ett uttryck på formen
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0$$

där $\,n\,$ är ett naturligt tal, kallas ett ''polynom'' av grad $\,n\,$ i en obestämd variabel $\,x\,$. Talet $\,a_1\,$ kallas koefficienten för $\,x\,$, $\,a_2\,$ koefficienten för $\,x^2\,$, etc. Konstanten $\,a_0\,$ kallas ''konstanttermen''.

Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''
<br/>
<br/>
Jämför följande heltal skrivet i basen 10,
$$1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3$$
med ett polynom i $\,x\,$
$$x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3$$
och sedan följande divisioner,

*$\quad\displaystyle\frac{1353}{11} = 123 \qquad$ eftersom $\ 1353= 123\cdot 11\,$,

*$\quad\displaystyle\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad$ eftersom $\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,$.

</div>

Om $\,p(x)\,$ är ett polynom av grad $\,n\,$ så kallas $\,p(x)=0\,$ en ''polynomekvation'' av grad $\,n\,$. Om $\,x=a\,$ är ett tal sådant att $\,p(a)=0\,$ så kallas $\,x=a\,$ en ''rot'', eller lösning till ekvationen. Man säger också att $\,x=a\,$ är ett ''nollställe'' till $\,p(x)\,$.

Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. $\,37\,$ divideras med $\,5\,$, får man
$$\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}$$
Uträkningen kan även skrivas $\ 37= 7\cdot 5+2\,$. Talet 7 kallas ''kvot'' och talet 2 ''rest''. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.

Om $\,p(x)\,$ och $\,q(x)\,$ är polynom så kan man på liknande sätt dividera $\,p(x)\,$ med $\,q(x)\,$ och entydigt bestämma polynom $\,k(x)\,$ och $\,r(x)\,$ så att
$$\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}$$
eller $\ p(x)= k(x)\cdot q(x)+r(x)\,$. Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten $\,k(x)\,$ och resten $\,r(x)\,$.

Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt:
Om $\,r(x)=0\,$ så är $\,p(x)\,$ delbart med $\,q(x)\,$, eller, $\,q(x)\,$ är en ''delare'' till $\,p(x)\,$. Man skriver
$$\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}$$
eller $\ p(x) = k(x)\cdot q(x)\,$.

<br><br><br>
==Polynomdivision==
Om $\,p(x)\,$ är ett polynom med högre grad än polynomet $\,q(x)\,$ så kan man dividera $\,p(x)\,$ med $\,q(x)\,$. Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multiplar av $\,q(x)\,$ från $\,p(x)\,$ tills den återstående täljaren har lägre grad än $\,q(x)\,$ i nämnaren.

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''
<br/>
<br/>
Utför polynomdivisionen $\ \displaystyle\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,$.
<br/>
<br/>
Det första steget är att vi ''lägger till och drar ifrån'' en lämplig $\,x^2\,$-term i täljaren
$$\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}$$
Anledningen till att vi gör detta är att nu kan deluttrycket $\,x^3+2x^2\,$ skrivas som $\,x^2(x+2)\,$ och förkortas med nämnaren
$$\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}$$
Sedan lägger vi till och drar ifrån en lämplig $\,x\,$-term så att den ledande $\,x^2\,$-termen i täljaren kan förkortas bort
$$\eqalign{x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\cr &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}}$$
Det sista steget är att vi lägger till och drar ifrån en konstant
$$x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$
Alltså gäller att
$$\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$
Kvoten är $\,x^2 -x + 1\,$ och resten är $\,2\,$. Eftersom resten inte är noll går divisionen inte jämnt upp, dvs. $\,q(x)= x+2\,$ är inte en ''delare'' till $\,p(x)=x^3 + x^2 -x +4\,$.

</div>

==Samband mellan faktorer och nollställen==
Om $\,q(x)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så gäller alltså att $\,p(x)=k(x)\cdot q(x)\,$. Vi har därmed ''faktoriserat'' $\,p(x)\,$ . Man säger att $\,q(x)\,$ är en faktor i $\,p(x)\,$. Speciellt gäller att om förstagradspolynomet $\,(x-a)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så är $\,(x-a)\,$ en faktor i $\,p(x)\,$ , dvs.
$$p(x)= q(x)\cdot (x-a)\,\mbox{.}$$
Eftersom $\ p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0\ $ så betyder detta att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$. Detta är precis innehållet i den s.k. ''faktorsatsen''.

<div class="regel">
'''Faktorsatsen'''<br\>
$(x-a)\,$ är en delare till polynomet $\,p(x)\,$ om och endast om $\,x=a\,$ är ett
nollställe till $\,p(x)\,$.
</div>

Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$ så vet man automatiskt att $\,p(x)\,$ är delbart med $\,(x-a)\,$.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''
<br/>
<br/>
Polynomet $\,p(x) = x^2-6x+8\,$ kan faktoriseras som
$$x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$$
och har därför nollställena $\,x=2\,$ och $\,x=4\,$ (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen $\ x^2-6x+8 = 0\,$.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''
<br/>
<br/>
<ol type="a">
<li> Faktorisera polynomet $\ x^2-3x-10\,$.
<br/>
<br/>
Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer. Andragradsekvationen $\ x^2-3x-10=0\ $ har lösningarna
$$x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}$$
dvs. $\,x=-2\,$ och $\,x=5\,$. Detta betyder att $\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,$.
</li>
<br/>
<li> Faktorisera polynomet $\ x^2+6x+9\,$.
<br/>
<br/>
Detta polynom har en dubbelrot
$$x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3$$
och därmed är $\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,$.
</li>
<br/>
<li> Faktorisera polynomet $\ x^2 -4x+5\,$.
<br/>
<br/>
I detta fall har polynomet två komplexa rötter
$$x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i$$
och faktoriseringen blir $\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,$.
</li>
<br/>
</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
<br/>
<br/>
Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena $\,1\,$ , $\,-1\,$ och $\,3\,$.
<br/>
<br/>
Polynomet måste enligt faktorsatsen ha faktorerna $\,(x-1)\,$, $\,(x+1)\,$ och $\,(x-3)\,$. Multiplicerar vi ihop dessa faktorer får vi just ett tredjegradspolynom
$$(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}$$

</div>

==Algebrans fundamentalsats==
Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen $\,x^2=-1\,$ och man kan nu ställa sig den lite mer teoretiska frågan om detta räcker, eller behöver vi uppfinna fler typer av tal för att kunna lösa andra mer komplicerade polynomekvationer. Svaret på den frågan är att det behöver vi inte göra utan det räcker med de komplexa talen. Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss bevisade år 1799 ''algebrans fundamentalsats'' som säger följande:

<div class="regel">
Varje polynom av grad $\,n\ge1\,$ med komplexa koefficienter har minst ett nollställe bland de komplexa talen.
</div>

Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:

<div class="regel">
Varje polynom av grad $\,n\ge1\,$ har exakt $\,n\,$ stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin ''multiplicitet''.
</div>
(Med multiplicitet menas att ett dubbelt nollställe räknas 2 gånger, ett trippelnollställe 3 gånger, osv.)

Notera att dessa satser bara säger att det ''finns'' komplexa rötter till polynom men inte ''hur'' man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller oss till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep som kan hjälpa oss att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''
<br/>
<br/>
Visa att polynomet $\,p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5\,$ har nollställena $\,x=i\,$ och $\,x = 2-i\,$. Bestäm därefter övriga nollställen.
<br/>
<br/>
Vi har att
$$\eqalign{p(i)&=i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\cr p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}}$$
För att räkna ut det sista uttrycket behöver vi bestämma
$$\eqalign{(2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\cr (2-i)^3&=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\cr (2-i)^4&= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}}$$
Detta ger att
$$\eqalign{p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\cr &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}}$$
vilket visar att $\,i\,$ och $\,2-i\,$ är nollställen till polynomet.

Eftersom polynomet har reella koefficienter kan vi direkt säga att de två andra nollställena är komplexkonjugatet av de två första nollställena, dvs. de två andra rötterna är $\,z=-i\,$ och $\,z=2+i\,$.

</div>

En konsekvens av algebrans fundamentalsats (och faktorsatsen) är att alla polynom kan faktoriseras i en produkt av komplexa förstagradsfaktorer. Detta gäller även polynom med reella koefficienter, men för dessa går det att multiplicera ihop förstagradsfaktorer som hör till komplexkonjugerade rötter och få en faktorisering helt med reella första- och andragradsfaktorer.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''
<br/>
<br/>
Visa att $\,x=1\,$ är ett nollställe till $\,p(x)= x^3+x^2-2\,$. Faktorisera därefter $\,p(x)\,$ i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.
<br/>
<br/>
Vi har att $\ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ $ vilket visar att $\,x=1\,$ är ett nollställe till polynomet. Enligt faktorsatsen betyder detta att $\,x-1\,$ är en faktor i $\,p(x)\,$, dvs. att $\,p(x)\,$ är delbar med $\,x-1\,$. Vi delar därför polynomet med $\,x-1\,$ för att få återstående faktor om $\,x-1\,$ bryts ut ur polynomet
$$\eqalign{\frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} \cr &= x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} \cr &= x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1}= x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}}$$
Alltså har vi att $\ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,$.

Nu återstår att faktorisera $\,x^2+2x+2\,$. Ekvationen $\,x^2+2x+2=0\,$ har lösningarna
$$x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i$$
och därför har polynomet följande faktoriseringen i komplexa förstagradsfaktorer
$$\eqalign{x^3+x^2-2= (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\cr &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}}$$

</div>
</td></tr>
</table>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

3.3. Potenser och rötter

2007-07-18T07:37:02Z

Sammanfattning: /* Lösning med formel */

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

{{Info|
'''Innehåll:'''
* de Moivres formel
* Binomiska ekvationer
* Exponentialform
* Eulers formel
* Kvadratkomplettering
* Andragradsekvationer
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* Beräkna potenser av komplexa tal med de Moivres formel.
* Beräkna rötter av vissa komplexa tal genom omskrivning till polär form.
* Lösa binomiska ekvationer.
* Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck.
* Lösa komplexa andragradsekvationer.
}}
</td>
<td>

</td></tr>
<tr><td width=600>
==De Moivres formel==
Räknereglerna $\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ $ och $\ |\,zw\,| = |\,z\,|\cdot|\,w\,|\ $ betyder att
$$\biggl\{\eqalign{&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \cr &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|}\qquad\biggl\{\eqalign{&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3}\qquad\text{o.s.v.}$$
För ett godtyckligt tal $\,z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)\,$ har vi därför följande samband

$$z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}$$

Om $\,|\,z\,|=1\,$, (dvs. $\,z\,$ ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt

<div class="regel">
$$(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{,}$$
</div>
vilket brukar kallas ''de Moivres formel''. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''
<br/>
<br/>
Om $\ z=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt2}\,$, beräkna $\,z^3\,$ och $\,z^{100}\,$.
<br/>
<br/>
Skriver vi $\,z\,$ i polär form $\ \ \displaystyle z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ $ så ger de Moivres formel oss att
$$\eqalign{z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\cr z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}\cr &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''
<br/>
<br/>
På traditionellt sätt kan man med kvadreringsregeln utveckla
$(\cos v + i\,\sin v)^2 = \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v $<br>
$\phantom{(\cos v + i\,\sin v)^2}{} = \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v$<br>
och med de Moivres formel få att
$$(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}$$
Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna
$$\biggl\{\eqalign{\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\cr \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''
<br/>
<br/>
Beräkna $\ \displaystyle\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,$.
<br/>
<br/>
Vi skriver talen $\,\sqrt{3}+i\,$, $\,1+i\sqrt{3}\,$ och $\,1+i\,$ i polär form
*$\quad\displaystyle\sqrt3 + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\,$,
*$\quad\displaystyle 1+i\sqrt3 = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\,$,
*$\quad\displaystyle 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\,$.
Då får vi med de Moivres formel att
$$\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \cdot (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}$$
och detta uttryck kan förenklas genom att utföra multiplikationen och divisionen i polär form
$$\eqalign{\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\cr &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}}$$

</div>

==Binomiska ekvationer==
Ett komplext tal $\,z\,$ kallas en ''n'':te rot av det komplexa talet $\,w\,$ om
<div class="regel">
$$z^n= w \mbox{.}$$
</div>

Ovanstående samband kan också ses som en ekvation där $\,z\,$ är den obekante, och en sådan ekvation kallas en ''binomisk ekvation''. Lösningarna ges av att skriva båda leden i polär form och jämföra belopp och argument.

För ett givet tal $\,w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta)\,$ ansätter man det sökta talet $\,z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)$ och den binomiska ekvationen blir

$$r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}$$

där de Moivres formel använts i vänsterledet. För belopp och argument måste nu gälla
$$\biggl\{\eqalign{r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\cr n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}}$$
Observera att vi lägger till en multipler av $\,2\pi\,$ för att få med alla värden på argumentet som anger samma riktning som $\,\theta\,$. Man får då att
$$\biggl\{\eqalign{ r&={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}}\cr \alpha&= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots}$$
Detta ger ''ett'' värde på $\,r\,$, men oändligt många värden på $\,\alpha\,$. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från $\,k = 0\,$ till $\,k = n - 1\,$ får man olika argument för $\,z\,$ och därmed olika lägen för $\,z\,$ i det komplexa talplanet. För övriga värden på $\,k\,$ kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar.
Detta resonemang visar att ekvationen $\,z^n=w\,$ har exakt $\,n\,$ rötter.

''Anm.'' Observera att rötternas olika argument ligger $\,2\pi/n\,$ ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien $\,\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}\,$ och bildar hörn i en regelbunden ''n''-hörning.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''
<br/>
<br/>
Lös den binomiska ekvationen $\ z^4= 16\,i\,$.
<br/>
<br/>
Skriv $\,z\,$ och $\,16\,i\,$ i polär form
*$\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,$,
*$\quad\displaystyle 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}$.
Då ger ekvationen $\ z^4=16\,i\ $ att
$$r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}$$
När vi identifierar belopp och argument i båda led fås att
$$\biggl\{\eqalign{r^4&=16 \cr 4\alpha &=\pi/2 + k\cdot 2\pi}\qquad\text{d.v.s.}\qquad\biggl\{\eqalign{r&=\sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \cr \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3}$$
[[Bild:komplext-talplan-16.gif|right|250px]]
Lösningarna till ekvationen är alltså
$$\left\{\eqalign{\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr)\cr
\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\cr
\displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\cr
\displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr)}\right.$$

</div>

==Exponentialform av komplexa tal==
Om vi behandlar $\,i\,$ likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal $\,z\,$ som en funktion av $\,\alpha\,$ (och $\,r\,$ är en konstant),
$$f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)$$
så får vi efter derivering
$$\eqalign{f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha =r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\cr f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{o.s.v.}}$$

Den enda reella funktion med dessa egenskaper är $\,f(x)= e^{\,kx}\,$, vilket motiverar definitionen

$$e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}$$

Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter $\,z=a+ib\,$ så får man

$$e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \cdot e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}$$

Definitionen av $\,e^{\,z}\,$ kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom $\,z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,$.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
<br/>
<br/>
För ett reellt tal $\,z\,$ överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom $\,z=a +0 \cdot i\,$ ger att
$$e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}$$
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''
<br/>
<br/>
Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet
$$\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}$$
vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag,
$$\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''
<br/>
<br/>
Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet
$$e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$$
vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken: $\,e\,$, $\,\pi\,$, $\,i\,$ och 1.
Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''
<br/>
<br/>
Lös ekvationen $\ (z+i)^3 = -8i$.
<br/>
<br/>
Sätt $\,w = z + i\,$. Vi får då den binomiska ekvationen $\ w^3=-8i\,$. Till att börja med skriver vi om $\,w\,$ och $\,-8i\,$ i polär form
*$\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}$
*$\quad\displaystyle -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}$
Ekvationen blir i polär form $\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ $ och identifierar vi belopp och argument i båda led har vi att
$$\biggl\{\eqalign{ r^3 &= 8\cr 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\eqalign{r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\cr \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2}$$
Rötterna till ekvationen blir därmed
*$\quad\displaystyle w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\quad\vphantom{\biggl(}$ d.v.s. $\,z_1 = 2i-i=i\,$.
*$\quad\displaystyle w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\quad\vphantom{\Biggl(}$ d.v.s. $\,z_2 = - \sqrt{3}-2i\,$.
*$\quad\displaystyle w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\quad\vphantom{\biggl(}$ d.v.s. $\,z_3 = \sqrt{3}-2i\,$.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''
<br/>
<br/>
Lös ekvationen $\ z^2 = \overline{z}\,$.
<br/>
<br/>
Om $\,z=a+ib\,$ har $\,|\,z\,|=r\,$ och $\,\arg z = \alpha\,$ så gäller att $\,\overline{z}= a-ib\,$ har $\,|\,\overline{z}\,|=r\,$ och $\,\arg \overline{z} = - \alpha\,$. Därför gäller att $\,z=r\,e^{i\alpha}\,$ och $\,\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}\,$. Ekvationen kan därmed skrivas
$$(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\,\qquad\text{eller}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}$$
vilket är ekvivalent med $\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,$, som ger efter identifikation av belopp och argument
$$\biggl\{\eqalign{r&=1\cr 3\alpha &= 0 + 2k\pi}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\eqalign{r&=1\cr \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2}$$
Lösningarna är
*$\quad z_1 = e^0 = 1$
*$\quad\displaystyle z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\vphantom{\Biggl(}$
*$\quad\displaystyle z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i$

</div>

==Kvadratkomplettering==
Kvadreringsreglerna,
$$\left\{\eqalign{(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\cr (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2}\right.$$
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck. Exempelvis är
$$\eqalign{x^2+4x+4&=(x+2)^2\,\mbox{,}\cr x^2-10x+25&=(x-5)^2\,\mbox{.}}$$
Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
$$\eqalign{x^2+4x+4&=9\,\mbox{,}\cr (x+2)^2&=9\,\mbox{.}}$$
Rotutdragning ger sedan att $\,x+2=\pm\sqrt{9}\,$ och därmed att $\,x=-2\pm 3\,$, dvs. $\,x=1\,$ eller $\,x=-5\,$.

Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
$$x^2+4x-5=0\,\mbox{.}$$
Genom att addera $\,9\,$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
$$\eqalign{x^2+4x-5+9&=0+9\,\mbox{,}\cr x^2+4x+4\phantom{{}+9}&=9\,\mbox{.}}$$
Metoden kallas <i>kvadratkomplettering</i>.

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''
<br/>
<br/>
<ol type="a">
<li> Lös ekvationen $\ x^2-6x+7=2\,$.
<br/>
<br/>
Koefficienten framför $\,x\,$ är $\,-6\,$ och det visar att vi måste ha talet $\,(-3)^2=9\,$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $\,2\,$ på båda sidor åstadkommer vi detta:
$$\eqalign{x^2-6x+7+2&=2+2\,\mbox{,}\cr x^2-6x+9\phantom{{}+2}&=4\,\mbox{,}\cr \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{}&=4\,\mbox{.}}$$
Rotutdragning ger sedan att $\,x-3=\pm 2\,$, vilket betyder att $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$.
</li>
<br/>
<li> Lös ekvationen $\ z^2+21=4-8z\,$.
<br/>
<br/>
Ekvationen kan skrivas $\,z^2+8z+17=0\,$. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
$$\eqalign{z^2+8z+17-1&=0-1\,\mbox{,}\cr z^2+8z+16\phantom{{}-1}&=-1\,\mbox{,}\cr \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{}&=-1\,\mbox{,}}$$
och därför är $\,z+4=\pm\sqrt{-1}\,$. Med andra ord är lösningarna $\,z=-4-i\,$ och $\,z=-4+i\,$.
</li>
<br/>
</ol>

</div>

Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.
Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''
<br/>
<br/>
Lös ekvationen $\ \displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,$.
<br/>
<br/>
Halva koefficienten för $\,x\,$ är $\,-\frac{4}{3}\,$. Vi lägger alltså till $\,\bigl(-\frac{4}{3}\bigr)^2=\frac{16}{9}\,$ i båda led
$$\eqalign{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1&=2+{\textstyle\frac{16}{9}}\,\mbox{,}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}}{}+1&={\textstyle\frac{34}{9}}\,\mbox{,}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1}&={\textstyle\frac{25}{9}}\,\mbox{.}}$$
Nu är det enkelt att få fram att $\,x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}\,$ och därmed att $\,x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\,$, dvs. $\,x=-\frac{1}{3}\,$ och $\,x=3\,$.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 12'''
<br/>
<br/>
Lös ekvationen $\ x^2+px+q=0\,$.
<br/>
<br/>
Kvadratkomplettering ger
$$\eqalign{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\cr \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\cr \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}}$$
Detta ger den vanliga formeln, <i>pq-formeln</i>, för lösningar till andragradsekvationer
$$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 13'''
<br/>
<br/>
Lös ekvationen $\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,$.
<br/>
<br/>
Halva koefficienten för $\,z\,$ är $\,-(6+2i)\,$ så vi adderar kvadraten på detta uttryck till båda led
$$z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}$$
Räknar vi ut kvadraten $\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ $ i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås
$$\eqalign{(z-(6+2i))^2-4+24i&=32+24i\,\mbox{,}\cr \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{}&=36\,\mbox{.}}$$
Efter en rotutdragning har vi att $\ z-(6+2i)=\pm 6\ $ och därmed är lösningarna $\,z=12+2i\,$ och $\,z=2i\,$.

</div>

Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis
$$\eqalign{x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\cr &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 14'''
<br/>
<br/>
Kvadratkomplettera uttrycket $\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,$.
<br/>
<br/>
Lägg till och dra ifrån termen $\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,$,
$$\eqalign{z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}}$$

</div>

==Lösning med formel==
Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\,\sqrt{a+ib}\,$. Man kan då ansätta
$$z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}$$
Genom att kvadrera båda led får vi att
$$\eqalign{(x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}}$$
Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att
$$\left\{\eqalign{&x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\cr &2xy=b\,\mbox{.}}\right.$$
Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. $\,y= b/(2x)\,$ som kan sättas in i den första ekvationen.

<div class="exempel">
'''Exempel 15'''
<br/>
<br/>
Beräkna $\ \sqrt{-3-4i}\,$.
<br/>
<br/>
Sätt $\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ $ där $\,x\,$ och $\,y\,$ är reella tal. Kvadrering av båda led ger
$$\eqalign{(x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}}$$
vilket leder till ekvationssystemet
$$\Bigl\{\eqalign{x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\cr 2xy&= -4\,\mbox{.}}$$
Ur den andra ekvationen kan vi lösa ut $\ y=-4/(2x) = -2/x\ $ och sätts detta in i den första ekvationen fås att
$$x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}$$
Denna ekvation är en andragradsekvation i $\,x^2\,$ vilket man ser lättare genom att sätta $\,t=x^2$
$$t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}$$
Lösningarna är $\,t = 1\,$ och $\,t = -4\,$. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom $x$ och $y$ är reella tal och då kan inte $\,x^2=-4\,$. Vi får att $\,x=\pm\sqrt{1}\,$, vilket ger oss två möjligheter
* $\ x=-1\ $ som ger att $\ y=-2/(-1)=2\,$.
* $\ x=1\ $ som ger att $\ y=-2/1=-2\,$.

Vi har alltså kommit fram till att
$$\sqrt{-3-4i} = \Bigl\{\eqalign{&\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\cr &-1+2i\,\mbox{.}\cr}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 16'''

<ol type="a">
<li> Lös ekvationen $\ z^2-2z+10=0\,$.
<br/>
<br/>
Formeln för lösningar till en andragradsekvation (se exempel 3) ger att
$$z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}$$
</li>
<li> Lös ekvationen $\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}$
<br/>
<br/>
Även här ger ''pq''-formeln lösningarna direkt
$$\eqalign{z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\cr &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}}$$
</li>
<li> Lös ekvationen $\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}$
<br/>
<br/>
Division av båda led med $i$ ger att
$$\eqalign{z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\cr z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}}$$
Applicerar vi sedan ''pq''-formeln så fås att
$$\eqalign{z&=-3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\cr z&=-3+i \pm \sqrt{-3-4i}\cr z&= -3+i\pm(1-2i)}$$
där vi använt det framräknade värdet på $\ \sqrt{-3-4i}\ $ från exempel 6. Lösningarna är alltså
$$z=\biggl\{\eqalign{&-2-i\,\mbox{,}\cr &-4+3i\,\mbox{.}}$$
</li>
</ol>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

3.2. Polär form

2007-07-18T07:25:05Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">
{{Info|
'''Innehåll:'''
* Det komplexa talplanet
* Addition och subtraktion i talplanet
* Belopp och argument
* Polär form
* Multiplikation och division i polär form
* Multiplikation med $\,i\,$ i talplanet
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* Ha geometrisk förståelse för de komplexa talen och räkneoperationerna i talplanet.
* Kunna omvandla komplexa tal mellan formen $\,a+ib\,$ och polär form.
}}
</td>
<td>

</td></tr>
<tr><td width=600>

==Det komplexa talplanet==
Eftersom ett komplext tal $\,z=a+bi\,$ består av en realdel $\,a\,$ och en imaginärdel $\,b\,$, så kan $\,z\,$ betraktas som ett ordnat talpar $\,(a,b)\,$ och tolkas som en punkt i ett koordinatsystem.
Man bildar därför ett koordinatsystem genom att ställa en imaginär axel (en tallinje med enheten $\,i\,$) vinkelrät mot en reell axel (den reella tallinjen). Vi kan nu beskriva varje komplext tal med en punkt i detta koordinatsystem, och varje punkt beskriver ett unikt komplext tal.
<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-1.gif]]</div>
<br\>

Denna geometriska tolkning av de komplexa talen kallas det <i>komplexa talplanet</i>.<br\>
Anm:
De reella talen, dvs. alla komplexa tal med imaginärdel $\,0\,$, ligger alltså längs den reella axeln. Man kan därför se utvidgningen av talsystemet från $\displaystyle\mathbb{R}$ (de reella talen) till $\mathbb{C}$ (de komplexa talen) som att tillföra en ny dimension till den redan fyllda tallinjen.
<br\><br\>
Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:

<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-2.gif||center|]]</div>
<br\>
Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. $\,z-w=z+(-w)\,$ och får följande utseende:

<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-3.gif||center|]]</div>
<br\>

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''<br\>

Givet $\,z=2+i\,$ och $\,w=-3-i\,$. Markera $\,z\,$, $\,w\,$, $\,\overline{z}\,$, $\,\overline{z}-\overline{w}\,$ och $\,z-w\,$ i det komplexa talplanet.
<br/>
<br/>
Vi har att
*$\overline{z}=2-i$
*$\overline{w}=-3+i$
*$z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$
*$\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})$
<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-4.gif||center|]]</div>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''<br\>
Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller följande villkor: <br\>
<ol type="a">
<li>$\mathop{\rm Re} z \ge 3$</li>
<li>$ -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2$</li>
</ol>
<br/>
Den första olikheten definierar området markerat med A i figuren nedan och den andra olikheten området B.
<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-9.gif||center|]]</div>
</div>

==Absolutbelopp==
De reella talen går att ordna i storleksordning, dvs. vi kan avgöra om ett reellt tal är större än ett annat; ju längre till höger på den reella tallinjen desto större är talet.

För de komplexa talen saknar man denna möjlighet. Vi kan inte utan vidare avgöra vilket tal som är störst av t.ex. $\,z=1-i\,$ och $\,w=-1+i\,$ . Med hjälp av begreppet <i>absolutbelopp</i> kan vi dock definiera ett mått på storleken av ett komplext tal.

För ett komplext tal $\,z=a+ib\,$ definieras absolutbeloppet $\,|\,z\,|\,$ som <br\><br\>
<div class="regel">$$|\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}$$</div>
Vi ser att $\,|\,z\,|\,$ är ett reellt tal och att $\,|\,z\,|\ge 0\,$. För reella tal är $\,b = 0\,$ och då gäller att $\,|\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|\,$, vilket överensstämmer med den vanliga definitionen för absolutbelopp av reella tal.
Geometriskt är absolutbeloppet avståndet från talet $\,z=a+ib\,$ (punkten $\,(a, b)\,$) till $\,z = 0\,$ (origo), enligt Pythagoras sats.<br\>
<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-5.gif||center|]]</div>

==Avstånd mellan komplexa tal==
Med hjälp av formeln för avstånd mellan punkter i ett koordinatsystem får man också en viktig och användbar tolkning av absolutbelopp. Avståndet $\,s\,$ mellan två komplexa tal $\,z=a+ib\,$ och $\,w=c+id\,$ (se fig.) kan med hjälp av avståndsformeln skrivas <br\>
<div class="regel">$$s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}$$</div>
<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-6.gif||center|]]</div><br>
Eftersom $\,z-w=(a-c)+i(b-d)\,$, så får man att <br>
<center>$|\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={}$avståndet mellan talen $\,z\,$ och $\,w\,$.</center>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''<br/><br/>
Markera följande talmängder i det komplexa talplanet:
<br/>
<br/>
<ol type="a">
<li>$\,\, |\,z\,|=2$
<br/>
<br/>
Ekvationen beskriver alla tal vars avstånd till origo är 2. Dessa tal bildar i det komplexa talplanet en cirkel med radien 2 och medelpunkt i origo.</li>
<br/>
<li>$\,\, |\,z-3\,|=1$
<br/>
<br/>
Denna ekvation uppfylls av alla tal vars avstånd till talet 3 är 1, dvs. en cirkel med radien 1 och medelpunkt i $\,z = 3\,$.
</li>
<br/>
<li>$\,\, |\,z+2-i\,|\le 2$
<br/>
<br/>
Vänsterledet kan skrivas $\,|\,z-(-2+i)\,|\,$, vilket innebär alla tal på avståndet ${}\le 2$ från talet $\,-2+i\,$, dvs. en cirkelskiva med radien 2 och medelpunkt i $\,-2+i\,$.
</li>
<br/>
<li>$\,\, \frac{1}{2}\le |\,z-(2+3i)\,|\le 1$
<br/>
<br/>
Mängden ges av alla tal vars avstånd till $\,z=2+3i\,$ är mellan $\,\frac{1}{2}\,$ och $\,1\,$.
<br/>
<br/>
</li>
</ol>

<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-7.gif||center|]]</div>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''<br/><br/>
Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller villkoren
<br/>
<br/>
<ol type="a">
<li>$\, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.$
<br/>
<br/>
Den första olikheten ger punkterna på och innanför cirkeln med radie 3 och medelpunkt i $\,2i\,$. Den andra olikheten ger ett vertikalt band av punkter med realdel mellan 1 och 2. Det område som uppfyller de båda olikheterna ges av de punkter som samtidigt ligger inom cirkeln och bandet.
</li>
<br/>
<li>$\, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|$
<br/>
<br/>
Ekvationen kan skrivas $\,|\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,|\,$. Man ser då att $\,z\,$ ska ligga på samma avstånd från $\,-1\,$ som från $\,2\,$. Detta villkor uppfylls av alla tal $\,z\,$ som har realdel $\,1/2\,$.
</li>
</ol>
<br/>
<br/>
<center>[[Bild:komplext-talplan-8.gif|||Området i deluppgift a]][[Bild:komplext-talplan-10.gif|||Området i deluppgift b]]</center>

</div>

==Polär form==
I stället för att ange ett komplext tal $\,z=x+iy\,$ i dess rektangulära koordinater $\,(x,y)\,$ kan man använda polära koordinater. Detta innebär att man anger talets läge i det komplexa talplanet genom dess avstånd, $\,r\,$, till origo, samt den vinkel $\,\alpha\,$ som bildas mellan den positiva ''x''-axeln och sträckan från origo till talet (se figuren).
<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-11.gif||center|]]</div>
Eftersom $\ \cos\alpha = x/r\ $ och $\ \sin\alpha = y/r\ $ så är $\ x = r\cos\alpha\ $ och $\ y= r\sin\alpha\,$. Talet $\,z=x+iy\,$ kan därför skrivas som
<div class="regel">$$z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{,}$$</div>
vilket kallas den <i>polära formen</i> av ett komplext tal $\,z\,$. Vinkeln $\,\alpha\,$ kallas <i>argumentet</i> för $\,z\,$ och skrivs
<div class="regel">$$\alpha=\arg z\,\mbox{.}$$</div>
Vinkeln $\,\alpha\,$ kan t.ex. bestämmas genom att lösa ekvationen $\,\tan\alpha=y/x\,$. Denna ekvation har dock flera lösningar, varför man måste se till att man väljer den lösning $\,\alpha\,$ som gör att $\,z= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,$ hamnar i rätt kvadrant.

Argumentet till ett komplext tal är inte heller unikt bestämt eftersom vinklar som skiljer sig åt med $\,2\pi\,$ anger samma riktning i det komplexa talplanet. Normalt brukar man dock ange argumentet som en vinkel mellan 0 och $\,2\pi\,$ eller mellan $\,-\pi\,$ och $\,\pi\,$.

Det reella talet $\,r\,$, avståndet till origo, känner vi redan som beloppet av $\,z\,$,
<div class="regel">$$r=\sqrt{x^2+y^2}=|\,z\,|$$</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
<br/>
<br/>
Skriv följande komplexa tal i polär form:
<ol type="a">
<li>$\,\,-3$
<br/>
<br/>
Vi har att $\,|\,-3\,|=3\,$ och $\,\arg (-3)=\pi\,$, vilket betyder att $\ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi)\,$.
</li>
<br/>
<li>$\,i$
<br/>
<br/>
Vi har att $\,|\,i\,|=1\,$ och $\,\arg i = \pi/2\,$ så i polär form är $\ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,$.
</li>
<br/>
<li>$\,1-i$
<br/>
<br/>
Formeln för beloppet av ett komplext tal ger att $\,|\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\,$. Det komplexa talet ligger i den fjärde kvadranten och bildar vinkeln $\,\pi/4\,$ med den positiva reella axeln, vilket ger att $\,\arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4$. Alltså är $\ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr)\,$.
</li>
<br/>
<li>$\,2\sqrt{3}+2i$
<br/>
<br/>
Beloppet är enklast att räkna ut
$$|\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}$$
Om vi kallar argumentet för $\,\alpha\,$ så uppfyller det sambandet
$$\tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
och eftersom talet ligger i den första kvadranten (positiv real- och imaginärdel) så är $\,\alpha=\pi/6\,$ och vi har att
$$2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}$$
</li>
<br/>
</ol>
<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-12.gif||center|]]</div>

</div>

==Multiplikation och division i polär form==
Den stora fördelen med att ha komplexa tal skrivna i polär form är att multiplikation och division då blir väldigt enkla att utföra. För godtyckliga komplexa tal $\,z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha)\,$ och $\,w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta)\,$ kan man genom de trigonometriska additionsformlerna visa att
<div class="regel">
$$\eqalign{z\cdot w&=|\,z\,|\,|\,w\,|\,\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\,\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,\mbox{,}\cr \frac{z}{w}&=\frac{|z|}{|w|}\bigl(\cos(\alpha-\beta)+i\,\sin(\alpha-\beta)\bigr)\,\mbox{.}}$$
</div>
Vid multiplikation av komplexa tal <i>multipliceras</i> alltså beloppen, medan argumenten <i>adderas</i>.
Vid division av komplexa tal <i>divideras</i> beloppen och argumenten <i>subtraheras</i>. Detta kan kortfattat skrivas:
<div class="regel">
$$|\,z\cdot w\,|=|\,z\,|\cdot |\,w\,|\quad \mbox{och}\quad \arg(z\cdot w)=\arg\,z + \arg\,w\,\mbox{,}$$
$$\Bigl|\,\frac{z}{w}\,\Bigr|=\frac{|\,z\,|}{|\,w\,|}\quad\quad\quad\; \mbox{ och}\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg \,z - \arg\,w\,\mbox{.}$$
</div>
I det komplexa talplanet innebär alltså en multiplikation av $\,z\,$ med $\,w\,$ att $\,z\,$ förlängs med faktorn $\,|\,w\,|\,$ och roteras moturs med vinkeln $\,\arg\,w\,$.
<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-13.gif||center|]]</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''
<br/>
<br/>
Beräkna följande uttryck och genom att skriva om på polär form:
<ol type="a">
<li> $\Bigl(\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)$
<br/>
<br/>
Vi skriver täljaren och nämnaren i polär form
$$\eqalign{\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\cr \Bigr(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)}$$
och då följer att
$$\eqalign{&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\displaystyle\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\displaystyle\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\cr &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\vphantom{\Biggr)^{\Bigl(}}}$$
</li>
<br/>
<li> $(-2-2i)(1+i)$
<br/>
<br/>
Faktorerna i uttrycket skriver vi i polär form
$$\eqalign{(-2-2i)&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{,}\cr (1+i)&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}}$$
Genom att utföra multiplikationen i polär form får vi att
$$\eqalign{(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\cr &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}}$$
</li>
<br/>
</ol>
</div>
<br><br><br>
<div class="exempel">
'''Exempel 7'''
<br/>
<br/>
<ol type="a">
<li>Beräkna $\,iz\,$ och $\,\displaystyle\frac{z}{i}\,$ om $\ \displaystyle z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)\,$. Svara på polär form.
<br/>
<br/>
Eftersom $\ \displaystyle i=1\cdot \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ $ så är
$$\eqalign{iz&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\cr \frac{z}{i}&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}}$$
</li>
<br/>
<li> Beräkna $\,iz\,$ och $\,\displaystyle\frac{z}{i}\,$ om $\ \displaystyle z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)\,$. Svara på polär form.
<br/>
<br/>
Använder vi den polära formen av $\,i\,$ så fås att
$$\eqalign{iz&=3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) =3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\cr &=3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\cr \frac{z}{i}&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}}$$
</li>
<br/>
</ol>
Vi ser här att multiplikation med $\,i\,$ innebär en rotation $\,\pi/2\,$ moturs, medan division med $\,i\,$ medför en rotation $\,\pi/2\,$ medurs.
<center>[[Bild:komplext-talplan-14.gif|||Deluppgift a]][[Bild:komplext-talplan-15.gif|||Deluppgift b]]</center>

</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

3.1. Räkning med komplexa tal

2007-07-18T06:55:52Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

{{Info|
'''Innehåll:'''
* Real- och imaginärdel
* Addition och subtraktion av komplexa tal
* Komplexkonjugat
* Multiplikation och division av komplexa tal
}}
{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* Beräkna uttryck som innehåller komplexa tal och är uppbyggda av de fyra räknesätten.
* Lösa komplexa förstagradsekvationer och förenkla svaret.
}}
</td>
<td>

</td></tr>
<tr><td width=600>

==Inledning==
De reella talen utgör en fullständig mängd av tal i den meningen att de fyller tallinjen, dvs. det finns inga "hål" i den reella tallinjen. Trots detta räcker de reella talen inte till som lösningar till alla algebraiska ekvationer, dvs. det finns ekvationer av typen
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$$
som inte har någon lösning bland de reella talen. Exempelvis har ekvationen $\,x^2+1=0\,$ ingen reell lösning, eftersom inget reellt tal uppfyller att $\,x^2=-1\,$. Om vi däremot kan tänka oss $\,\sqrt{-1}\,$ som det tal som uppfyller ekvationen $\,x^2=-1\,$ och tillåter oss att räkna med $\,\sqrt{-1}\,$ som vilket tal som helst, så visar det sig att alla algebraiska ekvationer har lösningar.

Talet $\,\sqrt{-1}\,$ är alltså inget reellt tal; vi kan inte gå ut i naturen och uppmäta $\,\sqrt{-1}\,$ någonstans, eller hitta något som är $\,\sqrt{-1}\,$ till antalet, men vi kan ändå ha nytta av talet i högst reella sammanhang.
<br\>
<div class="exempel">
'''Exempel 1'''<br\>
Om vi skulle vilja ta reda på summan av rötterna (lösningarna) till ekvationen $\,x^2-2x+2=0\,$ så får vi först lösningarna $\,x_1=1+\sqrt{-1}\,$ och $\,x_2=1-\sqrt{-1}\,$. Dessa rötter innehåller det icke-reella talet $\,\sqrt{-1}\,$. Om vi för en stund tillåter oss att räkna med $\,\sqrt{-1}\,$ så ser vi att summan av $\,x_1\,$ och $\,x_2\,$ blir $\,1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2\,$, alltså ett högst reellt tal.

För att lösa vårt problem var vi här tvungna att tillfälligtvis använda tal som inte är reella för att komma fram till den reella lösningen.
</div>

==Definition av komplexa tal==
Man inför den <i>imaginära enheten</i> $\,i=\sqrt{-1}\,$ och definierar ett <i>komplext tal</i> som ett objekt som kan skrivas på formen
<div class="regel">
$$z=a+bi\,\mbox{,}$$
</div>
där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal, och $\,i\,$ uppfyller $\,i^2=-1\,$.

Om $\,a = 0\,$ så kallas talet "rent imaginärt". Om $\,b = 0\,$ så är talet reellt. Vi ser här att de reella talen utgör en delmängd av de komplexa talen. Mängden av de komplexa talen betecknas med '''C'''.

För ett godtyckligt komplext tal använder man ofta beteckningen $\,z\,$. Om $\,z=a+bi\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella, så kallas $\,a\,$ för realdelen och $\,b\,$ för imaginärdelen av $\,z\,$. Man använder följande skrivsätt:<br\>

<div class="regel">
$$\eqalign{a &= \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\cr b&=\mathop{\rm Im} z\,\mbox{.}}$$
</div>

När man räknar med komplexa tal gör man i princip som med de reella talen, men håller reda på att $\,i^2=-1\,$.

==Addition och subtraktion==
Vid addition och subtraktion av komplexa tal lägger man ihop (drar ifrån) realdel och imaginärdel var för sig. Om $\,z=a+bi\,$ och $\,w=c+di\,$ är två komplexa tal gäller alltså att
<br\><br\>

<div class="regel">
$$\eqalign{z+w&=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i\,\mbox{,}\cr z-w&=a+bi-(c+di)=a-c+(b-d)i\,\mbox{.}}$$
</div>

<br\>
<div class="exempel">
'''Exempel 2'''<br\><br\>
<ol type="a">
<li> $(3-5i)+(-4+i)=-1-4i$<br\><br\>
<li> $\bigl(\frac{1}{2}+2i\bigr)-\bigl(\frac{1}{6}+3i\bigr)=\frac{1}{3}-i$<br\><br\>
<li> $\displaystyle\frac{3+2i}{5}-\frac{3-i}{2}=\frac{6+4i}{10}-\frac{15-5i}{10}=\frac{-9+9i}{10}=-0{,}9+0{,}9i$
</ol>
</div>

==Multiplikation==
Komplexa tal multipliceras som vanliga reella tal eller algebraiska uttryck, med tillägget att $\,i^2=-1\,$. Generellt gäller för två komplexa tal $\,z=a+bi\,$ och $\,w=c+di\,$ att
<div class="regel">$$z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}$$
</div><br\>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''<br\><br\>
<ol type="a">
<li> $3(4-i)=12-3i$<br\><br\>
<li> $2i(3-5i)=6i-10i^2=10+6i$<br\><br\>
<li> $(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i$<br\><br\>
<li> $(3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13$<br\><br\>
<li> $(3+i)^2=3^2+2\cdot3i+i^2=8+6i$<br\><br\>
<li> $i^{12}=(i^2)^6=(-1)^6=1$<br\><br\>
<li> $i^{23}=i^{22}\cdot i=(i^2)^{11}\cdot i=(-1)^{11}i=-i$<br\>
</ol>
</div>

==Komplexkonjugat==
Om $\,z=a+bi\,$ så kallas $\,\overline{z} = a-bi\,$ det <i>komplexa konjugatet</i> till $\,z\,$ (omvänt gäller också att $\,z\,$ är konjugatet till $\,\overline{z}\,$). Man får då sambanden <br\>
<div class="regel">
$$\eqalign{z+\overline{z} &= a + bi + a - bi = 2a = 2\, \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\cr z-\overline{z} &= a + bi - (a - bi) = 2bi = 2i\, \mathop{\rm Im} z\,\mbox{,}}$$
</div>
men kanske framför allt, pga. konjugatregeln, att <br\>
<div class="regel">
$$z\cdot \bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\,\mbox{,}$$
</div>
dvs. att produkten av ett komplext tal och dess konjugat är alltid reell.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''<br\>
<ol type="a">
<li> $z=5+i\qquad$ då är $\quad\overline{z}=5-i\,$.<br\>
<li> $z=-3-2i\qquad$ då är $\quad\overline{z} =-3+2i\,$.<br\>
<li> $z=17\qquad$ då är $\quad\overline{z} =17\,$.<br\>
<li> $z=i\qquad$ då är $\quad\overline{z} =-i\,$.<br\>
<li> $z=-5i\qquad$ då är $\quad\overline{z} =5i\,$.<br\>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''<br\>
<ol type="a">
<li> Om $\,z=4+3i\,$ då gäller att
*$z+\overline{z} = 4 + 3i + 4 -3i = 8$
*$z-\overline{z} = 6i$
*$z \cdot \overline{z} = 4^2-(3i)^2=16+9=25$
<br\>
<li> För $\,z\,$ gäller att $\,\mathop{\rm Re} z=-2$ och $\,\mathop{\rm Im} z=1\,$, och får vi att
*$z+\overline{z} = 2\,\mathop{\rm Re} z = -4$
*$z-\overline{z} = 2i\,\mathop{\rm Im} z = 2i$
*$z\cdot \overline{z} = (-2)^2+1^2=5$
</ol>
</div>

==Division==
När man dividerar två komplexa tal med varandra förlänger man med nämnarens konjugat och utnyttjar härigenom att nämnaren då blir ett reellt tal. Därefter kan såväl realdel som imaginärdel i täljaren divideras med detta tal.
Generellt, om $\,z=a+bi\,$ och $\,w=c+di\,$:<br\><br\>
<div class="regel">
$\qquad\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$<br>
$\qquad\displaystyle\phantom{\frac{z}{w}}{}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i$
</div><br\>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''<br\>
<ol type="a">
<li>$\quad\displaystyle\frac{4+2i}{1+i}=\frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2}=\frac{6-2i}{2}=3-i$<br\><br\>
<li>$\quad\displaystyle\frac{25}{3-4i}=\frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2}=\frac{25(3+4i)}{25}=3+4i$<br\><br\>
<li>$\quad\displaystyle\frac{3-2i}{i}=\frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)}=\frac{-3i+2i^2}{-i^2}=\frac{-2-3i}{1}=-2-3i$
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''<br/>
<ol type="a">
<li>$\quad\displaystyle\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}=\frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)}-\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}$<br/>
$\quad\displaystyle\phantom{\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}}{}=\frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10}=\frac{3-i}{10}\vphantom{\Biggl(}$
<br\>
<br\>
<li>$\quad\displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{2}{1-i}}{2i+\displaystyle\frac{i}{2+i}}=\frac{\displaystyle\frac{1-i}{1-i}-\frac{2}{1-i}}{\displaystyle\frac{2i(2+i)}{(2+i)}+\frac{i}{2+i}}=
\frac{\displaystyle\frac{1-i-2}{1-i}}{\displaystyle\frac{4i+2i^2 + i}{2+i}}=\frac{\displaystyle\frac{-1-i}{1-i}}{\displaystyle\frac{-2+5i}{2+i}}$<br/>
$\quad\displaystyle\phantom{\smash{\frac{1-\displaystyle\frac{2}{1-i}}{2i+\displaystyle\frac{i}{2+i}}}}{}=\frac{-1-i}{1-i}\cdot \frac{2+i}{-2+5i}=\frac{(-1-i)(2+i)}{(1-i)(-2+5i)}\vphantom{\Biggl(}$<br/>
$\quad\displaystyle\phantom{\smash{\frac{1-\displaystyle\frac{2}{1-i}}{2i+\displaystyle\frac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}=\frac{-1-3i}{3+7i}=\frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)}\vphantom{\Biggl(}$<br\>
$\quad\displaystyle\phantom{\smash{\frac{1-\displaystyle\frac{2}{1-i}}{2i+\displaystyle\frac{i}{2+i}}}}{}= \frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}=\frac{-24-2i}{58}=\frac{-12-i}{29} \vphantom{\Biggl(}$
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''<br\>
Bestäm det reella talet $\,a\,$ så att uttrycket $\ \displaystyle\frac{2-3i}{2+ai}\ $ blir reellt.
<br\>
<br\>
Förläng med nämnarens konjugat så att uttrycket kan skrivas med separata real- och imaginärdelar
$$\displaystyle\frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)}=\frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2}=
\frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}$$
Om uttrycket ska bli reellt så måste imaginärdelen vara 0, dvs.
$$2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}$$
</div>

<br><br>
==Ekvationer==
För att två komplexa tal $\,z=a+bi\,$ och $\,w=c+di\,$ ska vara lika, krävs att både real- och imaginärdel är lika, dvs. att $\,a=c\,$ och $\,b=d\,$.
När man söker ett okänt komplext tal $\,z\,$ i en ekvation kan man antingen försöka lösa ut talet $\,z\,$ på vanligt vis, eller sätta in $\,z=a+bi\,$ i ekvationen och därefter jämföra real- och imaginärdelar i ekvationens båda led med varandra.
<br\>
<div class="exempel">
'''Exempel 9'''<br\>
<br\>
<ol type="a">
<li> Lös ekvationen $\,3z+1-i=z-3+7i\,$.
<br/>
<br/>
Samla $\,z\,$ i vänsterledet genom att subtrahera båda led med $\,z\,$
$$2z+1-i = -3+7i$$
och subtrahera sedan med $\,1-i\,$
$$2z = -4+8i\,\mbox{.}$$
Detta ger att $\ \displaystyle z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}$
<br/>
<br/>
<li> Lös ekvationen $\,z(-1-i)=6-2i\,$.
<br/>
<br/>
Dela båda led med $\,-1-i\,$ för att få fram $\,z\,$
$\displaystyle z =\frac{6-2i}{-1-i}=\frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)}=\frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2}$<br> $\displaystyle\phantom{z}{}=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}$
<br/>
<li> Lös ekvationen $\,3iz-2i=1-z\,$.
<br/>
<br/>
Adderar vi $\,z\,$ och $\,2i\,$ till båda led fås
$$3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}$$
Detta ger att
$$z = \frac{1+2i}{1+3i}=\frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2}=\frac{7-i}{10}\,\mbox{.}$$
<br/>
<li> Lös ekvationen $\,2z+1-i=\bar z +3 + 2i\,$.
<br/>
<br/>
I ekvationen förekommer $\,z\,$ också som $\,\overline{z}\,$ och därför skriver vi $\,z\,$ som $\,z=a+ib\,$ och löser ekvationen för $\,a\,$ och $\,b\,$ genom att sätta real- och imaginärdel av båda led lika
$$2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i$$
dvs.
$$(2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}$$
vilket ger att
$$\left\{\eqalign{2a+1&=a+3\cr 2b-1&=2-b}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\eqalign{a&=2\cr b&=1}\right.\,\mbox{.}$$
Svaret är alltså $\,z=2+i\,$.

</ol>

</div>

<div class="inforuta">
'''Råd för inläsning'''

'''Tänk på att:'''

Räkning med komplexa tal fungerar på samma sätt som med vanliga tal förutom att $\,i^2=-1\,$.

Kvoter av komplexa tal räknas ut genom att förlänga bråket med nämnarens komplexkonjugat.

</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

2.3. Partiell integrering

2007-07-17T14:48:18Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

{{Info|
'''Innehåll:'''
* Partiell integration
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* Förstå härledningen av formeln för partiell integration.
* Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration i ett eller två steg.
* Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration följt av en substitution (eller tvärt om).

}}

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>

==Partiell integration==
Vid integrering av produkter kan man ibland använda sig av en metod som kallas ''partiell integration''. Metoden bygger på att man använder deriveringsregeln för produkter baklänges. Om $\,f\,$ och $\,g\,$ är två deriverbara funktioner så gäller enligt produktregeln att

$$D\,(\,f\cdot g) = f^{\,\prime} \cdot g + f \cdot g'\,\mbox{.}$$

Om man nu integrerar båda leden får man

$$f \cdot g = \int (\,f^{\,\prime} \cdot g + f \cdot g'\,)\,dx = \int f^{\,\prime} \cdot g\,dx + \int f\cdot g'\,dx$$

eller efter ommöblering

$$\int f^{\,\prime} \cdot g\,dx = f \cdot g - \int f \cdot g'\,dx\,\mbox{.}$$

Detta ger oss formeln för partiell integration.

<div class="regel">
'''Partiell integration:'''
$$\int f(x)\cdot g(x)\,dx = F(x) \cdot g(x) - \int F(x) \cdot g'(x)\,dx\,\mbox{.}$$
</div>

Detta innebär i praktiken att man integrerar en produkt av funktioner genom att kalla den ena faktorn $\,f\,$ och den andra $\,g\,$, varefter man byter ut integralen $\,\int f \cdot g\,dx\ $ mot den förhoppningsvis enklare integralen $\,\int F \cdot g'\,dx\,\mbox{,}\ $ där $\,F\,$ är en primitiv funktion till $\,f\,$ och $\,g'\,$ är derivatan av $\,g\,$.

Det är viktigt att påpeka att metoden inte alltid leder till en integral som är lättare än den ursprungliga. Det kan också vara helt avgörande hur man väljer funktionerna $\,f\,$ och $\,g\,$, vilket följande exempel visar.

Betrakta integralen $\,\int x \cdot \sin x \, dx\,$. Om man väljer $\,f=x\,$ och $\,g=\sin x\,$ får man $\,F=x^2/2\,$ och $\,g'=\cos x\,$, och enligt formeln för partiell integration

$$\int x \cdot \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \cdot \sin x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \cos x \, dx\,\mbox{.}$$

Den nya integralen i högerledet är i detta fall inte enklare än den ursprungliga integralen.

Om man i stället väljer $\,f=\sin x\,$ och $\,g=x\,$ får man $\,F=-\cos x\,$ och $\,g'=1\,$, och

$$\int x \cdot \sin x \, dx = - x \cdot \cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

Bestäm integralen $\ \ \displaystyle\int x^2 \cdot \ln x \, dx\,$.
<br>
<br>
Sätt $\,f=x^2\,$ och $\,g=\ln x\,$ eftersom då deriverar vi bort logaritmfunktionen när vi utför en partiell integrering: $\,F=x^2/2\,$ och $\,g'=1/x\,$. Detta ger oss alltså att
$$\eqalign{\int x^2 \cdot \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\cr &= \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = {\textstyle\frac{1}{3}}x^3 ( \ln x - {\textstyle\frac{1}{3}} ) + C\,\mbox{.}}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

Bestäm integralen $\ \ \displaystyle\int x^2 e^x \, dx\,$.
<br>
<br>
Sätt $\,f=e^x\,$ och $\,g=x^2\,$, vilket ger att $\,F=e^x\,$ och $\,g'=2x\,$, och en partiell integrering ger att

$$ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}$$

Här krävs ytterligare partiell integration för att lösa den nya integralen $\,\int 2x\,e^x \, dx\,$. Vi väljer i detta fall $\,f=e^x\,$ och $\,g=2x\,$, vilket ger att $\,F=e^x\,$ och $\,g'=2\,$

$$\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}$$

Den ursprungliga integralen blir alltså

$$ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

Bestäm integralen $\ \ \displaystyle\int e^x \cos x \, dx\,$.
<br>
<br>
I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn $\,e^x\,$ och derivera faktorn $\,\cos x\,$

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cdot \cos x - \int e^x \cdot(-\sin x) \, dx\,\mbox{.}$$

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}$$

Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn $\,\cos x\,$ mot $\,\sin x\,$ i integralen. Om vi därför partialintegrerar en gång till (integrera $\,e^x\,$ och derivera $\,\sin x\,$) då får vi att

$$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}$$

Den ursprungliga integralen dyker här alltså upp igen. Vi får sammantaget:

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$$

och samlar vi integralerna i ena ledet fås att
$$\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}$$

Trots att de partiella integrationerna i detta fall inte ledde till någon enklare integral kom vi alltså fram till en ekvation där den ursprungliga integralen kunde ”lösas ut”. Detta är inte helt ovanligt när integranden är en produkt av trigonometriska funktioner och/eller exponentialfunktioner.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

Beräkna integralen $\ \ \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{2x}{e^x} \, dx\,$.
<br>
<br>
Integralen kan skrivas om som
$$\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx\,\mbox{.}$$
Sätt nu $\,f=e^{-x}\,$ och $g=2x$, och partialintegrera
$$\eqalign{\int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x} = \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\cr &= (-2 \cdot e^{-1}) - 0 + (- 2\cdot e^{-1}) - (-2) = - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

Beräkna integralen $\ \ \displaystyle \int \ln \sqrt{x} \ dx\,$.
<br>
<br>
Vi utför först en variabelsubstitution $\,u=\sqrt{x}\,$ vilket ger att $\,du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u\,$, dvs, $dx = \,2u\,du\,$,

$$\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du\,\mbox{.}$$

Sedan partialintegrerar vi. Sätt $\,f=2u\,$ och $g=\ln u\,$, vilket ger att

$$\eqalign{\int \ln u \cdot 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \cdot \frac{1}{u} du = u^2 \ln u - \int u\, du = u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C\cr &= x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C = x \bigl( \ln \sqrt{x} - {\textstyle\frac{1}{2}} \bigr) + C\,\mbox{.}}$$

''Anm.'' Ett alternativt tillvägagångssätt är att skriva om den ursprungliga integranden som $\,\ln\sqrt{x} = \frac{1}{2}\ln x\,$ och sedan partialintegrera produkten $\,\frac{1}{2}\cdot\ln x\,$.

</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

2.2. Variabelsubstitution

2007-07-17T14:16:32Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

{{Info|
'''Innehåll:'''
* Variabelsubstitution
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* Förstå härledningen av formeln för variabelsubstitution.
* Lösa enklare integrationsproblem som kräver omskrivning och/eller substitution i ett steg.
* Veta hur integrationsgränserna ändras under variabelsubstitution.
* Veta när en variabelsubstitution är tillåten.

}}

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>

==Variabelsubstitution==
När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är ''variabelsubstitution'', vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner — den s.k. ''kedjeregeln''.

Kedjeregeln $\ \displaystyle \frac{d}{dx}\,f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \cdot u'(x)\ \ $ kan i integralform skrivas
$$ \displaystyle \int f^{\,\prime}(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = f(u(x)) + C$$
eller,
<div class="regel">
$$ \displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}$$
</div>
där $\,F\,$ är en primitiv funktion till $\,f\,$. Jämför vi denna formel med
$$ \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{,}$$

så kan vi se det som att vi ersätter uttrycket $\,u(x)\,$ med variabeln $\,u\,$ och $\,u'(x)\, dx\,$ med $\,du\,$. Man kan alltså omvandla den krångligare integranden $\,f(u(x)) \cdot u'(x)\,$ (med $\,x\,$ som variabel) med den förhoppningsvis enklare $\,f(u)\,$ (med $\,u\,$ som variabel).
Metoden kallas variabelsubstitution och kan användas när integranden kan skrivas på formen $\,f(u(x)) \cdot u'(x)\,$.

''Anm.''1<br>
Metoden bygger naturligtvis på att alla förutsättningar för integrering är uppfyllda; att $\,u(x)\,$ är deriverbar i det aktuella intervallet, samt att $\,f\,$ är kontinuerlig i värdemängden till $\,u\,$, dvs. för alla värden som $\,u\,$ kan anta i intervallet.

''Anm.''2<br>
Att ersätta $\,u'(x) \, dx\,$ med $\,du\,$ kan också motiveras genom att studera övergången från differenskvot till derivata:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \frac{\Delta u}{\Delta x} = \displaystyle \frac{du}{dx} = u'(x)\,\mbox{,}$$

vilket när $\,\Delta x\,$ går mot noll kan betraktas som en formell gränsövergång

$$\Delta u \approx u'(x) \Delta x \quad \to \quad du = u'(x) \, dx\,\mbox{,}$$

dvs., en liten ändring, $\,dx\,$, i variabeln $\,x\,$ ger upphov till en ungefärlig ändring $\,u'(x)\,dx\,$ i variabeln $\,u\,$.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

Bestäm integralen $ \displaystyle\ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx$.
<br>
<br>
Om man sätter $\,u(x)= x^2\,$, så blir $\,u'(x)= 2x\,$. Vid variabelbytet ersätts då $\,e^{x^2}\,$ med $\,e^u\,$ och $\,u'(x)\,dx\,$, dvs. $\,2x\,dx\,$, med $\,du\,$
$$ \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}$$

</div>
<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

Bestäm integralen $\ \displaystyle \int (x^3 + 1)^3 \cdot x^2 \, dx\,$.
<br>
<br>
Sätt $\,u=x^3 + 1\,$. Då blir $\,u'=3x^2\,$, eller $\,du= 3x^2\, dx\,$, och
$\displaystyle\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx = \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du $<br>
$\displaystyle \phantom{\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx}{}= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}$
</div>
<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

Bestäm integralen $\ \displaystyle \int \tan x \, dx\ \ $ där $\,-\pi/2 < x < \pi/2\,$.
<br>
<br>
Efter en omskrivning av $\,\tan x\,$ substituerar vi $\,u=\cos x\,$
$\displaystyle \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\eqalign{u&= \cos x\cr u' &= - \sin x\cr du&= - \sin x \, dx}\,\right] $<br><br>
$\displaystyle \phantom{\int \tan x \, dx}{}= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}$

</div>

==Integrationsgränser vid variabelbyte==
Vid beräkning av bestämda integraler, t.ex. en area, där man använder variabelsubstitution kan man gå till väga på två sätt. Antingen beräknar man integralen som vanligt, byter tillbaka till den ursprungliga variabeln och sätter in de ursprungliga integrationsgränserna.
Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet.
De båda metoderna illustreras i följande exempel.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

Beräkna integralen $\ \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx$.

''Metod'' 1

Sätt $\,u=e^x\,$ vilket ger att $\,u'= e^x\,$ och $\,du= e^x\,dx$
$$\eqalign{\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\cr &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}}$$
Observera att integrationsgränserna måste skrivas $\,x = 0\,$ och $\,x = 2\,$ när integrationsvariabeln inte är $\,x\,$. Det vore fel att skriva
$$\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ osv.}$$

''Metod'' 2

Sätt $\,u=e^x\,$ vilket ger att $\,u'= e^x\,$ och $\,du= e^x\, dx\,$. Integrationsgränsen $\,x=0\,$ motsvaras då av $\,u=e^0 = 1\,$ och $\,x=2\,$ motsvaras av $\,u=e^2\,$
$$\int_{0}^{2} \frac{e^x\, dx}{1 + e^x} = \int_{1}^{\,e^2} \frac{du}{1 + u} = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
[[Bild:Integral20.gif|200px|right]]
Beräkna integralen $ \ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x \, dx\,$.
<br>
<br>
Substitutionen $\,u=\sin x\,$ ger att $\,du=\cos x\,dx\,$ och integrationsgränserna förändras till $\,u=\sin 0=0\,$ och $\,u=\sin(\pi/2)=1\,$. Integralen blir
$$\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx= \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[ {\textstyle\frac{1}{4}}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = {\textstyle\frac{1}{4}} - 0 = {\textstyle\frac{1}{4}}\,\mbox{.}$$

(Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.)
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Betrakta beräkningen

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{ \cos x} {\sin^2 x}\, dx = \left[\,\eqalign{ &u = \sin x\cr &du = \cos x \, dx\cr &u(-\pi/2) = -1\cr &u (\pi/2) = 1}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{du}{u^2} = \Bigl[\, \frac{-1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}$$

[[Bild:Integral21.gif|200px|right]]
Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på att $\,f(u)=1/u^2\,$ inte är kontinuerlig i '''hela''' intervallet $\,[-1,1]\,$.

Villkoret att $\,f(u(x))\,$ ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som $u(x)$ kan anta i det aktuella intervallet behövs om man vill vara säker på att substitutionen $\,u=u(x)\,$ ska fungera.

</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Sommarmatte2 PDF-material

2007-07-17T13:41:03Z

Sammanfattning:

[[Innehåll]]<br>
[[Facit]]

<table width="100%">
<tr>
<td width="5%"> </td>
<td width="25%" valign="top">
[[1.1. Inledning till derivata]]<br>
[[1.2. Deriveringsregler]]<br>
[[1.3. Max- och minproblem]]<br>
[[2.1. Inledning till integraler]]<br>
[[2.2. Variabelsubstitution]]<br>
[[2.3. Partiell integrering]]<br>
[[3.1. Räkning med komplexa tal]]<br>
[[3.2. Polär form]]<br>
[[3.3. Potenser och rötter]]<br>
[[3.4. Komplexa polynom]]
</td>
<td width="5%"> </td>
<td width="25%">
[[Övningar 1.1]]<br>
[[Övningar 1.2]]<br>
[[Övningar 1.3]]<br>
[[Övningar 2.1]]<br>
[[Övningar 2.2]]<br>
[[Övningar 2.3]]<br>
[[Övningar 3.1]]<br>
[[Övningar 3.2]]<br>
[[Övningar 3.3]]<br>
[[Övningar 3.4]]<br><br>
</td>
</tr>
</table>

Övrigt material är identiskt med Sommarmatte 1 och återfinnes på https://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/Sommarmatte1_PDF-material <br>
"Skriftlig framställning och kommunikation" ingår inte i denna kurs.

2.1. Inledning integraler

2007-07-17T12:49:44Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

{{Info|
'''Innehåll:'''
* Integralens definition (översiktligt).
* Integralkalkylens huvudsats.
* Primitiv funktion till $\,x^\alpha\,$, $\,1/x\,$, $\,e^x\,$, $\,\cos x\,$ och $\,\sin x\,$.
* Primitiv funktion till summa och differens.
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* Tolka integraler som areor, dvs. "area ovanför $x$-axeln" minus "area under $x$-axeln".
* Förstå andra tolkningar av integralen, t. ex. massa/densitet, fart/sträcka, ström/laddning, etc.
* Kunna bestämma primitiv funktion till $\,x^\alpha\,$, $\,1/x\,$, $\,e^{kx}\,$, $\,\cos kx\,$, $\,\sin kx\,$ och summa/differens av sådana termer.
* Kunna räkna ut area under en funktionskurva.
* Kunna räkna ut area mellan två funktionskurvor.
* Veta att alla funktioner inte har primitiv funktion som kan skrivas som ett analytiskt slutet uttryck, t.ex. $\,e^{x^2}\, $, $(\sin x)/x\,$, $\,\sin \sin x\,$, etc.
}}

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>

==Area under en funktionskurva==
Vi har tidigare sett att lutningen på en funktionskurva är intressant. Den ger oss information om hur funktionen ändras och har stor betydelse i många tillämpningar.
På ett liknande sätt är den area som bildas mellan en funktionskurva och ''x''-axeln betydelsefull. Den är naturligtvis beroende av funktionskurvans utseende och därmed intimt besläktad med funktionen i fråga. Det är lätt att inse att denna area har en praktisk betydelse i många olika sammanhang. <br>
Om ett föremål rör sig så kan vi beskriva dess hastighet ''v'' efter tiden ''t'' i ett ''v-t''-diagram. Vi ser här tre olika fiktiva exempel:
$$v(t)=5,\qquad v(t)= \left \{ \matrix{4, \quad 0 \le t < 5\\ 6, \quad 5 \le t \le 10}\right.\quad\text{och}\quad v(t) =0{,}5 t\,\mbox{.}$$

[[Bild:Vt-diagram.gif|500px|center|‎]]

Den tillryggalagda sträckan är i respektive fall
$$s(10)=5\cdot 10 = 50\,\mbox{m},\quad s(10)= 5\cdot4+5\cdot 6=50\,\mbox{m},\quad s(10)=\displaystyle\frac{5\cdot10}{2}=25\,\mbox{m}\,\mbox{.}$$

I samtliga fall ser man att föremålets tillryggalagda sträcka motsvaras av arean under funktionskurvan. <br>
Fler exempel på vad arean under en funktionskurva kan symbolisera följer nedan.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

[[Bild:Integral2.gif|500px|center|‎]]

Anm: Eftersom arean kan approximeras med en (eller flera) rektangel så kan produkten av koordinataxlarnas enheter visa areans enhet och därmed ge en vink om vad arean symboliserar. Areans enhet:
{| class="wikitable" cellpadding="0px" cellspacing="0px" align="center"
|-
|width="300" style="text-align:center"|$\text{W}\cdot\text{s} = \text{J}/\text{s} \cdot\text{s} = \text{J}$
|width="300" style="text-align:center"|$\text{N}\cdot\text{m} = \text{Nm} = \text{J}$
|width="300" style="text-align:center"|$\text{A}\cdot\text{s} = \text{As} = \text{C}$ (Coulomb)
|}

</div>

==Integralbeteckningen==
För att beskriva arean under en funktionskurva i symbolform inför man ''integraltecknet''
$\,\int\,$ och gör följande definition:

<div class="tips">

Med integralen av den positiva funktionen $\,f(x)\,$ från $\,a\,$ till $\,b\,$ menas arean mellan kurvan $\,y=f(x)\,$ och ''x''-axeln från $\,x=a\,$ till $\,x=b\,$ , vilket med symboler skrivs
$$\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}$$
Talen $\,a\,$ och $\,b\,$ kallas undre respektive övre integrationsgräns, $\,f(x)\,$ kallas integrand och $\,x\,$ integrationsvariabel.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''
[[Bild:Integral3.gif‎|200px|right|]]
Ur definitionen följer direkt att
$$\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''
[[Bild:Integral4.gif|150px|right|‎]]
För ett föremål, vars hastighet förändras enligt funktionen $\,v(t)\,$ kan den tillryggalagda sträckan efter 10 s beskrivas med integralen
$$\int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

Vatten rinner in i en tank med en hastighet som är $\,f(t)\,$ liter/s efter $\,t\,$ sekunder. Integralen
$$\int_{9}^{10} f(t)\, dt$$
anger då hur många liter som rinner in i tanken under den tionde sekunden.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

Beräkna integralerna

[[Bild:Integral5.gif‎|right|]]
<ol type="a">
<li> $\displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx$<br> <br>
Integralen kan tolkas som arean under kurvan (linjen) $\,y=3\,$ från $\,x = 0\,$ till $\,x = 4\,$,
dvs. en rektangel med basen 4 och höjden 3, <br>
$\qquad\displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12\,\mbox{.}$ <br><br>
</ol>

[[Bild:Integral6.gif|200px|right]]
<ol type="a" start=2>
<li>$\displaystyle \int_{2}^{5} \Bigl(\displaystyle \frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx$ <br><br>
Integralen kan tolkas som arean under linjen $\,y=x/2-1\,$ från $\,x = 2\,$ till $\,x = 5\,$,
dvs. en triangel med basen 3 och höjden 1,5 <br>
$\qquad\displaystyle\int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx = \frac{3 \cdot 1{,}5}{2} = 2{,}25\,\mbox{.}$<br><br>
</ol>

[[Bild:Integral7.gif|200px|right]]
<ol type="a" start=3>
<li>$\displaystyle \int_{0}^{a} kx \, dx\,\mbox{}\quad$ där $k>0\,$.<br><br>
Integralen kan tolkas som arean under linjen $\,y=kx\,$ från $\,x = 0\,$ till $\,x = a\,$, dvs. en triangel
med basen $\,a\,$ och höjden $\,ka\,$<br>
$\qquad\displaystyle \int_{0}^{\,a} kx\,dx = \frac{a \cdot ka}{2} = \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}$
</ol>

</div>

==Primitiv funktion==
Funktionen $\,F\,$ är en ''primitiv'' funktion till $\,f\,$ om $\,F'(x) = f(x)\,$ i något intervall. Om $\,F(x)\,$ är en primitiv funktion till $\,f(x)\,$ så är det klart att även $\,F(x) + C\,$ är det, för varje konstant $\,C\,$. Dessutom kan man visa att $\,F(x) + C\,$ beskriver samtliga primitiva funktioner till $\,f(x)\,$.

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''
<ol type="a">
<li>$F(x) = x^3 + \cos x - 5\,$ är en primitiv funktion till $\,f(x) = 3x^2 - \sin x\,$, eftersom
$$F'(x) = D\,(x^3+\cos x-5) = 3x^2-\sin x-0 = f(x)\,\mbox{.}$$
<li>$G(t) = e^{3t + 1} + \ln t\,$ är en primitiv funktion till $\,g(t)= 3 e^{3t + 1} + 1/t\,$, eftersom
$$G'(t) = D\,\bigl(e^{3t+1}+\ln t\bigr) = e^{3t+1}\cdot 3+\frac{1}{t} = g(t)\,\mbox{.}$$
<li>$F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x + C\,$, där $\,C\,$ är en godtycklig konstant, beskriver samtliga primitiva
funktioner till $\,f(x) = x^3 - 1\,$.
</ol>

</div>

==Samband mellan integral och primitiv funktion==
Vi har tidigare konstaterat att arean under en funktionskurva, dvs. integralen av en funktion, är beroende av funktionskurvans utseende. Det visar sig att detta beroende utnyttjar den primitiva funktionen, vilket också ger oss möjligheten att beräkna en sådan area exakt.

Antag att $\,f\,$ är en kontinuerlig funktion på ett intervall (= funktionskurvan har inga avbrott i intervallet). Värdet av integralen $\ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ $ är då beroende av integrationsgränserna $\,a\,$ och $\,b\,$, men om man låter $\,a\,$ vara ett fixt värde och sätter $\,x\,$ som övre gräns blir integralens värde beroende enbart av den övre integrationsgränsen. För att tydliggöra detta använder vi här i stället $\,t\,$ som integrationsvariabel:

<div align="center">[[Bild:Integral8.gif‎|300px|center|]]</div>

$$A(x) = \int_{a}^{\,x} f(t) \, dt\,\mbox{.}$$

Vi ska nu visa att $\,A\,$ i själva verket är en primitiv funktion till $\,f\,$.

<div align="center">[[Bild:Integral9.gif‎ ‎|300px|center|]]</div>

Den gråskuggade arean kan för varje $\,x\,$ beskrivas på två sätt, dels som $\,A(x+h) - A(x)\,$, men även som $\,h \cdot f(c)\,$, för något $\,c\,$ mellan $\,x\,$ och $\,x + h\,$, det vill säga:
$$\eqalign{A(x+h) - A(x) &= h \cdot f(c)\,\mbox{,}\qquad \textrm {eller}\cr \frac{A(x+h) - A(x)}{h} &= f(c)}$$

Om vi låter $\,h \rightarrow 0\,$ så går vänstra ledet mot $\,A'(x)\,$ och det högra ledet mot $\,f(x)\,$ , dvs.
$$A'(x) = f(x)\,\mbox{.}$$
Funktionen $\,A(x)\,$ är alltså en primitiv funktion till $\,f(x)\,$.

==Beräkning av integraler==
För att kunna använda primitiva funktioner vid beräkning av en bestämd integral, noterar vi först att om $\,F\,$ är en primitiv funktion till $\,f\,$ så är

$$\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C$$

där konstanten $\,C\,$ måste väljas så att högerledet blir noll när $\,b=a\,$, dvs.

$$\int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0$$

vilket ger att $\,C=-F(a)\,$. Om vi sammanfattar har vi alltså att

$$\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) - F(a)\,\mbox{.}$$

Vi kan naturligtvis här lika gärna välja $\,x\,$ som integrationsvariabel och skriva

$$\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\,\mbox{.}$$

Vid beräkning av integraler utför man detta i två steg. Först bestämmer man en primitiv funktion och sedan sätter man in integrationsgränserna. Man skriver vanligtvis

$$\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx = \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

[[Bild:Integral10.gif‎|200px|right]]
Arean som begränsas av kurvan $\,y=2x - x^2\,$ och ''x''-axeln kan beräknas med hjälp av integralen
$$\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{.}$$
Eftersom $\,x^2-x^3/3\,$ är en primitiv funktion till integranden är integralens värde
$$\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx=\Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2} = \bigl( 2^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}2^3\bigr) - \bigl(0^2-{\textstyle\frac{1}{3}}0^3\bigr) = 4 - {\textstyle\frac{8}{3}} = {\textstyle\frac{4}{3}}\,\mbox{.}$$

Arean är $\,\frac{4}{3}\,$ a.e.

''Anm:''
Integralvärdet har ingen enhet. I praktiska tillämpningar kan dock arean ha en enhet. Om arean i en enhetslös figur efterfrågas skriver man ofta ''a.e. (areaenheter)'' efter siffervärdet.

</div>

==Baklängesderivering==
Att derivera de vanliga funktionstyperna innebär inga oöverstigliga problem; det finns generella metoder för detta. Att utföra den omvända operationen, dvs. hitta en primitiv funktion till en given funktion är dock betydligt svårare och i vissa fall omöjligt! Det finns ingen systematisk metod som fungerar överallt, men genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna "baklänges" och dessutom lära sig ett antal specialmetoder och knep kan man klara av en stor del av de funktioner som vanligtvis förekommer.

Symbolen $\ \int f(x) \,dx\ $ kallas den ''obestämda'' integralen av $\,f(x)\,$ och används för att beteckna en godtycklig primitiv funktion till $\,f(x)\,$. De vanliga deriveringsreglerna ger att

$$\eqalign{\int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{där }\ n \ne -1\cr \int x^{-1} \, dx &= \ln |x| + C\cr \int e^x \, dx &= e^x + C\cr \int \cos x \, dx &= \sin x + C\cr \int \sin x \, dx &= -\cos x + C}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle\int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx = \displaystyle\frac{x^5}{5} - \displaystyle\frac{2x^4}{4} + \displaystyle\frac{4x^2}{2} - 7x + C $<br>
$\phantom{\displaystyle\int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx} = \displaystyle\frac{x^5}{5} - \displaystyle\frac{x^4}{2} + 2x^2 - 7x + C$ <br><br>
<li>$\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx = \int \Bigl( 3x^{-2} - \frac{1}{2} x^{-3} \Bigr) dx = \frac{3x^{-1}}{-1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-2}}{(-2)} + C$ <br>
$\displaystyle\phantom{\int \Bigl(\displaystyle\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx}{}= - 3x^{-1} + {\textstyle\frac{1}{4}}x^{-2} + C = -\frac{3}{x} + \frac{1}{4x^2} + C\vphantom{\Biggl(}$ <br><br>
<li>$\displaystyle\int \displaystyle\frac{2}{3x} \,dx = \int \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = {\textstyle\frac{2}{3}} \ln |x| + C$ <br><br>
<li>$\displaystyle\int ( e^x - \cos x - \sin x ) \, dx = e^x - \sin x + \cos x +C$
</ol>

</div>

==Kompensation för ”inre derivata”==
Vid derivering av en sammansatt funktion använder man sig av ''kedjeregeln'', som innebär att man '''multiplicerar''' med den ''inre derivatan''. Om den inre funktionen då är linjär så blir den inre derivatan en konstant. Vid integrering av en sådan funktion måste man därför '''dividera''' med den inre derivatan för att kompensera för detta.

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''

<ol type="a">
<li>$\displaystyle\int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C$ <br><br>
<li>$\displaystyle\int \sin 5x \, dx = - \frac{ \cos 5x}{5} + C$ <br><br>
<li>$\displaystyle\int (2x +1)^4 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{5 \cdot 2} + C$ <br><br>
</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle\int \sin kx \, dx = - \frac{\cos kx}{k} + C$ <br><br>
<li>$\displaystyle\int \cos kx \, dx = \frac{\sin kx }{k} + C$ <br><br>
<li>$\displaystyle\int e^{kx} \, dx = \displaystyle \frac{e^{kx}}{k} + C$ <br><br>
</ol>

</div>

Observera att detta sätt att kompensera för den inre derivatan endast fungerar om den inre derivatan är en konstant.

==Räkneregler för integraler==
Med hjälp av beräkningsformeln för integraler är det lätt att visa följande räkneregler för integraler:

# $\displaystyle \int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}$
# $\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \displaystyle \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \displaystyle \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}$
# $\displaystyle \int_{a}^{\,b} k \cdot f(x)\, dx = k \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}$
# $\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \displaystyle \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \displaystyle \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}$

Dessutom gäller att area under ''x''-axeln räknas negativt, dvs. om funktionskurvan ligger under ''x''-axeln så blir integralens värde negativt:

<div align="center">[[Bild:Integral11.gif‎|center]]</div>

$$A_1 = \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx \quad , \quad A_2 = -\displaystyle \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx$$

Den sammanlagda arean blir $\qquad A_1 + A_2 = \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \displaystyle \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,$.

''Anm:''<br>
Värdet av en '''integral''' kan alltså vara negativt, medan en '''area''' alltid har ett positivt värde.

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''
[[Bild:Integral12.gif|200px|right|‎]]
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} 2 \, dx\vphantom{\Biggl(}$<br>
$\displaystyle\qquad{}=\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1+2) \, dx$<br>
$\displaystyle\qquad{}= \Bigl[\,{\textstyle\frac{1}{4}}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2}\vphantom{\Biggl(}$<br>
$\displaystyle\qquad{}= \bigl({\textstyle\frac{1}{4}}\cdot 4-2^3 + 2^2+3\cdot 2\bigr)$<br>
$\qquad\qquad{} - \bigl({\textstyle\frac{1}{4}}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2 +3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggl(}$ <br>
$\displaystyle\qquad{}=6-3-{\textstyle\frac{1}{4}} ={\textstyle\frac{11}{4}}$ <br><br>
</ol>

[[Bild:Integral13.gif|200px|right|‎]]
<ol type="a" start=2>
<li>$\displaystyle \int_{1}^{3} (x^2 - 4x) \, dx + \displaystyle \int_{1}^{3} (4x - x^2 + 3) \, dx\vphantom{\Biggl(}$<br>
$\displaystyle\qquad{}=\int_{1}^{3} 3 \, dx = \Bigl[\,3x\,\Bigr]_{1}^{3} = 3\cdot 3 - 3\cdot 1 = 6$ <br><br>
</ol>

<ol type="a" start=3>
<li>$ \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx $<br>
$\displaystyle\phantom{\int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx}{}= \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx\vphantom{\Biggl(}= \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} $<br>
$\displaystyle\phantom{\int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx}{}= \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = {\textstyle\frac{2}{3}}(3 - \ln 2) = 2 - {\textstyle\frac{2}{3}}\ln 2 $ <br><br>
</ol>

[[Bild:Integral14.gif|200px|right|‎]]
<ol type="a" start=4>
<li>$\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2} $<br>
$\displaystyle\phantom{\int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx}{}= \bigl({\textstyle\frac{8}{3}} - 2\bigr) - \bigl({\textstyle\frac{-1}{3}} + 1 \bigr) = 0$<br>
(Detta visar att den skuggade arean under ''x''-axeln är lika stor som den skuggade arean ovanför ''x''-axeln.)<br><br><br><br>
</ol>

</div>

==Area mellan kurvor==
Om $\,f(x) \ge g(x)\,$ i ett intervall $\,a\le x\le b\,$ gäller att arean mellan funktionskurvorna ges av <br><br><br><br>
$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}$$
vilket kan förenklas till
$$\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\,\mbox{.}$$

<div align="center">[[Bild:Integral15.gif|500px|center]]</div>

Observera att det inte spelar någon roll om $\,f(x) < 0\,$ eller $\,g(x) < 0\,$ så länge som $\,f(x) \ge g(x)\,$. Arean mellan kurvorna är naturligtvis lika stor oavsett om kurvorna ligger över eller under ''x''-axeln, vilket följande figurer illustrerar:

<div align="center">[[Bild:Integral16.gif|500px|center]]</div>

$$\eqalign{A &= \displaystyle\int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\cr A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-2) - (g(x)-2)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\cr A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-3) - (g(x)-3)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 12'''

[[Bild:Integral17.gif|150px|right]]
Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna $\,y=e^x + 1\,$ och $\,y=1 - x^2/2\,$ samt linjerna $\,x = –1\,$ och $\,x = 1\,$.
<br>
<br>
Eftersom $\,e^x + 1 > 1 - x^2/2\,$ i hela intervallet blir områdets area
$$\eqalign{&\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx = \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx\cr &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} = \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr) = e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \text{a.e.}}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 13'''

Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna $\,y= x^2\,$ och $\,y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}\,$.
<br>
<br>
[[Bild:Integral18.gif|150px|right]]
Kurvorna skär varandra i punkter där deras ''y''-värden är lika
$$\eqalign{&x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x \quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\cr&\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{eller} \quad x=1\,\mbox{.}}$$
Mellan $\,x=0\,$ och $\,x=1\,$ är $\,\sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2\,$ så områdets area ges av
$$\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx = \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1} = {\textstyle\frac{3}{4}} - {\textstyle\frac{1}{3}} - 0 = {\textstyle\frac{5}{12}}\ \text{a.e.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 14'''

Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan $\,y= \displaystyle \frac{1}{x^2}\,$ samt linjerna $\,y=x\,$ och $\,y = 2\,$.
<br>
<br>
[[Bild:Integral19.gif|200px|right]]
I figuren till höger är kurvan och de två linjerna skisserade och då ser vi att området kan delas upp i två delområden som var och en ligger mellan två funktionskurvor. Den totala arean är därför summan av integralerna
$$A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx\quad\text{och}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}$$
Vi bestämmer först skärningspunkterna $\,x=a\,$, $\,x=b\,$ och $\,x=c\,$:

*Skärningspunkten $\,x=a\,$ bestäms av ekvationen
$$\frac{1}{x^2} = 2 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}$$
:(Den negativa roten är dock inte aktuell.)

*Skärningspunkt $\,x=b\,$ bestäms av ekvationen
$$\frac{1}{x^2} = x \quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}$$

*Skärningspunkt $\,x=c\,$ bestäms av ekvationen $\,x = 2\,$.

Integralerna blir därför
$$\eqalign{A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} \cr &= \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}=(2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\cr A_2&= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{.}}$$

Den sammanlagda arean blir
$$ A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + {\textstyle\frac{1}{2}} = {\textstyle\frac{7}{2}} - 2\sqrt{2}\ \text{a.e.}$$

</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

1.3. Max- och minproblem

2007-07-17T12:41:15Z

Sammanfattning: /* Andraderivatan */

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

{{Info|
'''Innehåll:'''
* Kurvskissering
* Max- och minproblem
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* Kunna definitionen av strängt växande funktion, strängt avtagande funktion, lokalt maximum, lokalt minimum, globalt maximum, globalt minimum.
* Veta att om $\,f'>0\,$ i ett intervall så är $\,f\,$ strängt växande i intervallet, och att om $\,f'<0\,$ i ett intervall så är $\,f\,$ strängt avtagande i intervallet.
* Kunna bestämma lokala max- och minpunkter samt terasspunkter genom teckenstudium av derivatan.
* Kunna skissera funktionsgrafer genom att göra en teckentabell över derivatan.
* Kunna bestämma globala och lokala max- och minpunkter genom 1) teckenstudium av derivatan, 2) punkter där funktionen inte är deriverbar, 3) ändpunkter till definitionsmängden.
* Kunna avgöra lokala max- och minpunkter med tecknet på andraderivatan.
}}

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


==Växande och avtagande==
Begreppen växande och avtagande känns kanske självklara när man pratar om matematiska funktioner; om funktionen är växande så lutar grafen uppåt och den är avtagande så lutar grafen nedåt.

De matematiska definitionerna är följande:

En funktion är växande i ett intervall om för alla $\,x\,$ inom intervallet gäller att

$$x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}$$

En funktion är avtagande i ett intervall om för alla $x$ inom intervallet gäller att
$$x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}$$

Med vardagligt språk säger alltså definitionen av t.ex. växande funktion att för ett x-värde till höger på x-axeln är funktionsvärdet minst lika stort som för ett x-värde till vänster.
Lägg märke till att denna definition innebär att en funktion kan vara konstant i ett intervall och ändå vara växande eller avtagande. En funktion som är konstant i hela det aktuella intervallet är enligt definitionen både växande och avtagande.

Om man vill utesluta möjligheten att en växande/avtagande funktionen är konstant på ett intervall talar man istället om ''strängt'' växande och ''strängt'' avtagande funktioner.

En funktion är ''strängt'' växande i ett intervall om för alla $\,x\,$ inom intervallet gäller att

$$x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}$$

En funktion är ''strängt'' avtagande i ett intervall om för alla $x$ inom intervallet gäller att

$$x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}$$

(En strängt växande/avtagande funktion får alltså inte vara konstant i någon del av intervallet.)

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

{|
|-
| width=50% valign=top |
<ol type="a">
<li> $y= f(x)\,$ är växande i intervallet $\,0 \le x \le 10\,$.
</ol>
| width=45% valign=top |
[[Bild:Växande-f.gif|200px|right|]]
| width=5% valign=top |

|}

{|
|-
| width=50% valign=top |
<ol type="a" start=2>
<li>Funktionen $\,y=-x^3\,$ är en strängt avtagande funktion.
</ol>
| width=45% valign=top |
[[Bild:X3.gif|200px|right|]]
| width=5% valign=top |

|}

{|
|-
| width=60% valign=top |
<ol type="a" start=3>
<li> $\,y=x^2\,$ är strängt växande för $\,x \ge 0$.
</ol>
| width=40% valign=top |
[[Bild:YX2.gif|200px|right|‎]]

|}

</div>

Derivatan kan givetvis användas för att undersöka om en funktion är växande eller avtagande. Vi har att
$$\eqalign{f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ är (strängt) växande.}\cr f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ är (strängt) avtagande.}}$$

Observera att även enstaka '''punkter''' där $\,f^{\,\prime}(x) = 0\,$ kan ingå i ett strängt växande eller avtagande intervall.

==Kritiska punkter==
Punkter där $\,f^{\,\prime}(x) = 0\,$ kallas kritiska (eller stationära) punkter och är vanligtvis av tre olika slag:
* lokal maximipunkt med $\,f^{\,\prime}(x) > 0\,$ till vänster, och $\,f^{\,\prime}(x) < 0\,$ till höger om punkten.
* lokal minimipunkt med $\,f^{\,\prime}(x) < 0\,$ till vänster, och $\,f^{\,\prime}(x) > 0\,$ till höger om punkten.
* terrasspunkt med $\,f^{\,\prime}(x) < 0\,$ eller $\,f^{\,\prime}(x) > 0\,$ på båda sidor om punkten.
Observera att en punkt kan vara en lokal maximi-/minimipunkt utan att $\,f^{\,\prime}(x) = 0\,$.

<div align="center">[[Bild:Mamiter2.gif|400px|center|]]</div>

Funktionen i figuren ovan har en lokal minimipunkt för $\,x = -2\,$, terrasspunkt för $\,x = 0\,$ och lokal maximipunkt för $\,x = 2\,$.

==Teckentabell==
Genom att studera derivatans tecken (+, – eller 0) kan vi alltså få en bra uppfattning om kurvans utseende.

Detta utnyttjar man i en s.k. ''teckentabell''. Man bestämmer först de x-värden där $\,f^{\,\prime}(x) =0\,$ och beräknar sedan derivatans tecken på båda sidor om dessa. Med hjälp av en eller annan "stödpunkt" på kurvan kan man dessutom utifrån teckentabellen skissera kurvan på ett ofta godtagbart sätt.

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

Gör en teckentabell över funktionen $\,f(x) = x^3 -12x + 6\,$ och skissera därefter funktionens graf.
<br>
<br>
Funktionens derivata ges av
$$f'(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).$$
Faktorn $\,x-2\,$ är negativ till vänster om $\,x=2\,$ och positiv till höger om $\,x=2\,$. På samma sätt är faktorn $\,x+2\,$ negativ till vänster om $\,x=-2\,$ och positiv till höger om $\,x=-2\,$. Denna information kan vi också sammanfatta i en tabell:

{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"
|-
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| $x$
|style="background:#efefef;"|
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| $-2$
|style="background:#efefef;"|
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| $2$
|style="background:#efefef;"|
|-
|width="50px" align="center"| $x-2$
|width="50px" align="center"| $-$
|width="50px" align="center"| $-$
|width="50px" align="center"| $-$
|width="50px" align="center"| $0$
|width="50px" align="center"| $+$
|-
|width="50px" align="center"| $x+2$
|width="50px" align="center"| $-$
|width="50px" align="center"| $0$
|width="50px" align="center"| $+$
|width="50px" align="center"| $+$
|width="50px" align="center"| $+$
|-
|}

Eftersom derivatan är produkten av $\,x-2\,$ och $\,x+2\,$ så kan vi bestämma derivatans tecken utifrån faktorernas tecken och ställa upp en följande tabell över derivatans tecken på tallinjen:

{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"
|-
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| $x$
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| $-2$
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| $2$
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
|-
|width="50px" align="center"| $f^{\,\prime}(x)$
|width="50px" align="center"| $+$
|width="50px" align="center"| $0$
|width="50px" align="center"| $-$
|width="50px" align="center"| $0$
|width="50px" align="center"| $+$
|-
|width="50px" align="center"| $f(x)$
|width="50px" align="center"| $\nearrow$
|width="50px" align="center"| $22$
|width="50px" align="center"| $\searrow$
|width="50px" align="center"| $-10$
|width="50px" align="center"| $\nearrow$
|}

I tabellens sista rad har vi skrivit ut pilar som visar om funktionen är strängt växande $\,(\,\nearrow\,\,)\,$ eller strängt avtagande $\,(\,\searrow\,\,)\,$ i respektive intervall samt funktionens värde i de kritiska punkterna $\,x=-2\,$ och $\,x=2\,$.

Från diagrammet ser vi att $\,f(x)\,$ har en lokal maximipunkt i $\,(–2, 22)\,$ och en lokal minimipunkt i $\,(2, –10)\,$. Grafen kan nu skissas:

<div align="center">[[Bild:X3-12x+6.gif|300px|center|]]</div>

</div>

==Max- och minpunkter (extrempunkter)==
Punkter där en funktion antar sitt största eller minsta värde i jämförelse med omgivningen kallas för ''lokala maximi-'' eller ''minimipunkter'' (förkortas ofta max- och minpunkter). Med ett gemensamt namn kallas dessa punkter för ''extrempunkter''.

En extrempunkt kan uppträda i tre olika slags punkter:

:* i en kritisk punkt $\,(\, f^{\,\prime}(x)=0 \,)\,$.
:* i en punkt där derivatan inte existerar (s.k. ''singulär punkt'').
:* i en ändpunkt till definitionsmängden.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

Funktionen nedan har fyra extrempunkter; maxpunkter i $\,x=c\,$ och $\,x=e\,$, och minpunkter i $\,x=a\,$ och $\,x=d\,$.

<div align="center">[[Bild:Critpoints.gif|300px|center|]]</div>

I $\,x=a\,$, $\,x=b\,$ och $\,x=d\,$ är $\,f'(x) =0\,$, men det är endast i $\,x=a\,$ och $\,x=d\,$ som vi har extrempunkter, eftersom $\,x=b\,$ är en terrasspunkt.

I $\,x=c\,$ är inte derivatan definierad (eftersom det är en spets, eller hörn, på kurvan och lutningen inte går att bestämma). Punkten $\,x=e\,$ är en ändpunkt.

</div>

När man letar efter extrempunkter hos en funktion gäller det alltså att ta reda på och undersöka alla tänkbara kandidater av punkter. En lämplig arbetsgång är:

:# Derivera funktionen
:# Kontrollera om det finns några punkter där $\,f'(x)\,$ inte är definierad.
:# Bestäm alla punkter där $\,f'(x) = 0\,$.
:# Gör en teckentabell för att få fram alla extrempunkter.
:# Beräkna funktionsvärdet i alla extrempunkter, samt i eventuella ändpunkter.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

Bestäm alla extrempunkter på kurvan $\,y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12\,$.
<br>
<br>
Funktionens derivata ges av
$$y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}$$
För att bestämma hur derivatans tecken varierar över tallinjen försöker vi faktorisera derivatan så långt som möjligt. Vi har redan lyckats bryta ut faktorn $\,12x\,$ och vi kan faktorisera det återstående uttrycket $\,x^2+x-2\,$ ytterligare genom att hitta dess nollställen
$$x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{eller}\quad x=1.$$
Detta betyder att $\,x^2+x-2=(x+2)(x-1)\,$ och hela derivatan kan skrivas som
$$y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}$$
Det går direkt ur denna formel se att derivatan är noll för $\,x=-2\,$, $\,x=0\,$ och $\,x=1\,$. Dessutom kan vi se hur derivatans tecken varierar genom att undersöka tecknet för varje enskild faktor i produkten för olika värden på $\,x\,$

{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"
|-
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| $x$
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| $-2$
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| $0$
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| $1$
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|
|-
|width="40px" align="center"| $x+2$
|width="40px" align="center"| $-$
|width="40px" align="center"| $0$
|width="40px" align="center"| $+$
|width="40px" align="center"| $+$
|width="40px" align="center"| $+$
|width="40px" align="center"| $+$
|width="40px" align="center"| $+$
|-
|width="40px" align="center"| $x$
|width="40px" align="center"| $-$
|width="40px" align="center"| $-$
|width="40px" align="center"| $-$
|width="40px" align="center"| $0$
|width="40px" align="center"| $+$
|width="40px" align="center"| $+$
|width="40px" align="center"| $+$
|-
|width="40px" align="center"| $x-1$
|width="40px" align="center"| $-$
|width="40px" align="center"| $-$
|width="40px" align="center"| $-$
|width="40px" align="center"| $-$
|width="40px" align="center"| $-$
|width="40px" align="center"| $0$
|width="40px" align="center"| $+$
|-
|}

Derivatan är produkten av dessa faktorer och vi får derivatans tecken genom att multiplicera ihop faktorernas tecken i respektive intervall.

{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"
|-
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| $x$
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| $-2$
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| $0$
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| $1$
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|
|-
|width="40px" align="center"| $f^{\,\prime}(x)$
|width="40px" align="center"| $-$
|width="40px" align="center"| $0$
|width="40px" align="center"| $+$
|width="40px" align="center"| $0$
|width="40px" align="center"| $-$
|width="40px" align="center"| $0$
|width="40px" align="center"| $+$
|-
|width="40px" align="center"| $f(x)$
|width="40px" align="center"| $\searrow$
|width="40px" align="center"| $-20$
|width="40px" align="center"| $\nearrow$
|width="40px" align="center"| $12$
|width="40px" align="center"| $\searrow$
|width="40px" align="center"| $7$
|width="40px" align="center"| $\nearrow$
|-
|}

Kurvan har alltså lokala minpunkter i $\,(–2, –20)\,$ och $\,(1, 7)\,$ samt lokal maxpunkt i $\,(0, 12)\,$.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

Bestäm alla extrempunkter på kurvan $\,y= x - x^{2/3}\,$.
<br>
<br>
Derivatan till funktionen ges av
$$y' = 1 - \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}$$
Från detta uttryck ser vi att $\,y'\,$ inte är definierad för $\,x = 0\,$ (vilket dock $\,y\,$ är). Detta betyder att funktionen har en singulär punkt i $\,x=0\,$.

De kritiska punkterna till funktionen ges av
$$\displaystyle y'=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1= \frac {2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt[3]{x} = {\textstyle\frac {2}{3}} \quad \Leftrightarrow \quad x = \bigl({\textstyle\frac{2}{3}}\bigr)^3 = {\textstyle\frac{8}{27}}\,\mbox{.}$$

De enda punkter där funktionen eventuellt kan ha extrempunkter är alltså $\,x=0\,$ och $\,x=\frac{8}{27}\,$. För att avgöra dessa punkters karaktär skriver vi upp en teckentabell:

{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"
|-
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| $x$
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| $0$
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| $\frac{8}{27}$
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
|-
|width="50px" align="center"| $y'$
|width="50px" align="center"| $+$
|width="50px" align="center"| ej def.
|width="50px" align="center"| $-$
|width="50px" align="center"| $0$
|width="50px" align="center"| $+$
|-
|width="50px" align="center"| $y$
|width="50px" align="center"| $\nearrow$
|width="50px" align="center"| $0$
|width="50px" align="center"| $\searrow$
|width="50px" align="center"| $-\frac{4}{27}$
|width="50px" align="center"| $\nearrow$
|}

Kurvan har alltså en lokal maximipunkt i $\,(0, 0)\,$ (en spets) och en lokal minimipunkt i $\,(\frac{8}{27},-\frac{4}{27})\,$.

<div align="center">[[Bild:X-xu23.gif|200px|center|‎]]</div>

</div>

==Absolut max/min==
En funktion har ett ''absolut'' (eller ''globalt'') maximum (minimum) i en punkt om funktionsvärdet inte är större (mindre) i någon annan punkt i hela definitionsmängden. Ofta kallar man också detta för funktionens största (minsta) värde.

För att bestämma en funktions absoluta max. eller min. så måste man alltså hitta alla extrempunkter och beräkna funktionsvärdena i dessa. Om definitionsmängden har ändpunkter måste man givetvis också undersöka funktionens värde i dessa punkter.

Observera att en funktion kan sakna såväl absolut max. som absolut min. Notera också att en funktion kan ha flera lokala extrempunkter utan att ha ett globalt max. eller min.

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

:::[[Bild:Ejmaxmin.gif‎|200px]] [[Bild:Ejmin.gif|200px]]

I den första figuren saknar funktionen såväl globalt maximum som globalt minimum. I den andra figuren saknar funktionen globalt minimum.

</div>

I tillämpningar ger omständigheterna ofta en begränsad definitionsmängd, dvs. man betraktar endast en del av funktionens graf. Man måste därför vara vaksam på att ett globalt max. eller min. mycket väl kan ligga i intervallets ändpunkter.

<div align="center">[[Bild:Absmaxmin.gif|500px|center|]]</div>

Funktionen ovan betraktas endast i intervallet $a\le x \le e$.
Vi ser att funktionens minsta värde i detta intervall inträffar i den kritiska punkten $x=b$ , medan största värdet återfinns i ändpunkten $x=e$.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

Bestäm största och minsta värde för funktionen $\,f(x) = x^3 -3x + 2\,$ i intervallet $\,-0{,}5 \le x \le 1\,$.
<br>
<br>
Vi deriverar funktionen $\,f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3\,$ och sätter derivatan lika med noll för att få fram alla kritiska punkter
$$f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}$$
Punkten $x = –1$ ligger dock utanför den aktuella definitionsmängden och $x = 1$ sammanfaller med definitionsmängdens ena ändpunkt. Eftersom funktionen saknar singulära punkten (funktioen är deriverbar överallt) måste funktionens största och minsta värde antas i intervallets ändpunkter.
$$\eqalign{f(-0{,}5) &= 3{,}375\cr f(1)&=0}$$
Funktionens största värde i det givna intervallet är alltså $3{,}375$. Minsta värdet är $0$ (se fig.)

<div align="center">[[Bild:X3-3x+2.gif|400px|center|]]</div>

Figuren visar funktionens hela graf streckad, med den del som ligger inom det givna intervallet heldragen.

</div>

==Andraderivatan==
Tecknet på derivatan av en funktion ger oss information om huruvida funktionen är växande eller avtagande. På samma sätt kan andraderivatans tecken visa om förstaderivatan är växande eller avtagande. Detta kan man bl.a. utnyttja för att ta reda på om en given extrempunkt är en max-, eller minpunkt.

[[Bild:Fmax.gif‎|200px|right]]
Om funktionen $\,f(x)\,$ har en kritisk punkt i $\,x=a\,$ där $f^{\,\prime\prime}(a)<0$, då gäller att
:# Derivatan $\,f^{\,\prime}(x)\,$ är strängt avtagande i en omgivning kring $\,x=a\,$.
:# Eftersom $\,f^{\,\prime}(a)=0\,$ är alltså $\,f^{\,\prime}(x)>0\,$ till vänster om $\,x=a\,$ och $\,f^{\,\prime}(x)<0\,$ till höger om $\,x=a\,$.
:# Detta medför att funktionen $\,f(x)\,$ har en lokal maximipunkt i $\,x=a\,$.

[[Bild:Fmin.gif‎|200px|right]]
Om funktionen $\,f(x)\,$ har en kritisk punkt i $\,x=a\,$ där $f^{\,\prime\prime}(a)>0$, då gäller att
:# Derivatan $\,f^{\,\prime}(x)\,$ är strängt växande i en omgivning kring $\,x=a\,$.
:# Eftersom $\,f^{\,\prime}(a)=0\,$ är alltså $\,f^{\,\prime}(x)<0\,$ till vänster om $\,x=a\,$ och $\,f^{\,\prime}(x)>0\,$ till höger om $\,x=a\,$.
:# Detta medför att funktionen $\,f(x)\,$ har en lokal minimipunkt i $\,x=a\,$.

Om $\,f^{\,\prime\prime}(a)=0$, får vi ingen information utan ytterligare undersökning krävs, t.ex. teckentabell.

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

Bestäm alla extrempunkter för funktionen $\,f(x)=x^3 -x^2 -x +2\,$ och bestäm deras karaktär med hjälp av andraderivatan.
<br>
<br>
Funktionen är ett polynom och är därför deriverbar överallt. Om funktionen har några extrempunkter så måste de därför finnas bland de kritiska punkterna. Vi deriverar därmed funktionen, $\,f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1\,$, och sätter derivatan lika med noll
$$f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1 \quad\text{eller}\quad x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}$$
Funktionen har kritiska punkter i $x = 1$ och $x=-\frac{1}{3}$. Med hjälp av tecknet på andraderivatan $\,f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2\,$ kan vi bestämma vilken typ av extrempunkt respektive kritisk punkt är.
:*För $\,x=-\frac{1}{3}\,$ har vi att $\,f^{\,\prime\prime}(-\frac{1}{3})=-4<0\,$ och det betyder att $\,x=-\frac{1}{3}\,$ är en lokal maximipunkt.
:*För $\,x=1\,$ har vi att $\,f^{\,\prime\prime}(1)=4>0\,$ och det betyder att $\,x=1\,$ är en lokal minimipunkt.

</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

1.2. Deriveringsregler

2007-07-17T12:11:56Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

{{Info|
'''Innehåll:'''
* Derivata av en produkt och kvot
* Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln)
* Högre ordningars derivata
}}

{{Info|
'''Färdigheter:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* I princip kunna derivera vilken elementär funktion som helst.
}}

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>

==Derivering av produkt och kvot==
Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:

<div class="regel">
'''Deriveringsregler för produkter och kvoter:'''
$$\eqalign{D\,\bigl(\,f(x) \cdot g(x) \bigr) &= f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\cr D\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\bigl( g(x)\bigr)^2}}$$
</div>
(Observera att derivering av produkter och kvoter '''inte''' är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''
<ol type="a">
<li>$ D\,(x^2 e^x) = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (2x +x^2)\,e^x\,$. <br><br>
<li>$ D\,(x \sin x) = 1\cdot \sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x \cos x\,$.<br><br>
<li>$\displaystyle D\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 -1 = \ln x\,$. <br><br>
<li>$\displaystyle D\,\tan x = D\,\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{ \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} $
$\displaystyle \phantom{D\,\tan x = D\,\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\,$. <br><br>
<li>$\displaystyle D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}} = \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x} - (1+x) \cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2} = \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x}$ <br>$\displaystyle \phantom{D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}} = \frac { \displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,$. <br><br>
<li>$\displaystyle D\,\frac{x\,e^x}{1+x} = \frac{(1\cdot e^x + x\cdot e^x)(1+x) - x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2} $<br>
$\displaystyle \phantom{D\,\frac{x\,e^x}{1+x}}= \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} = \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,$.
</ol>

</div>

==Derivering av sammansatta funktioner==

En funktion $\,y=f(g)\,$ där variabeln $\,g\,$ i sin tur är beroende av en variabel $\,x\,$ får formen $\,y=f \bigl( g(x)\bigr)$ och kallas sammansatt funktion.
Om man deriverar en sammansatt funktion med avseende på den oberoende variabeln $\,x\,$, använder man följande regel:
$$y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr) \cdot g'(x)\,\mbox{.}$$
Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter $y=f(u)$ och $u=g(x)$ kan kedjeregeln skrivas
$$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\,\mbox{.}$$
Man brukar säga att den sammansatta funktionen $\,y\,$ består av den ''yttre'' funktionen $\,f\,$ och den ''inre'' funktionen $\,g\,$. Analogt kallas $\,f^{\,\prime}\,$ för den ''yttre derivatan'' och $\,g'\,$ den ''inre derivatan''.

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

För funktionen $y=(x^2 + 2x)^4$ är

:::{| class="wikitable" cellpadding="0px" cellspacing="0px" align="center"
|-
|style="text-align:left"| $y=u^4\quad$
|style="text-align:left" | yttre funktionen, och
|style="text-align:left"| $\quad u=x^2 + 2x\quad$
|style="text-align:left" | inre funktion.
|-
|style="text-align:left"| $\displaystyle \frac{dy}{du} = 4 u^3\quad$
|style="text-align:left" | yttre derivatan, och
|style="text-align:left"| $\quad\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x + 2\quad$
|style="text-align:left" | inre derivatan.
|}

Derivatan av funktionen $\,y\,$ med avseende på $\,x\,$ blir enligt kedjeregeln
$$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \displaystyle \frac{dy}{du} \cdot \displaystyle \frac{du}{dx} = 4 u^3 \cdot (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \cdot (2x +2)\,\mbox{.}$$

</div>

När man vant sig vid kedjeregeln inför man sällan nya beteckningar för yttre och inre funktion, utan man lär sig känna igen dessa och deriverar ”rakt på”, enligt mönstret

$$(\text{yttre derivata})\cdot (\text{inre derivata})\,\mbox{.}$$

Kom ihåg att även använda produkt- eller kvotregeln när detta är nödvändigt.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''
<ol type="a">
<li>$ f(x) = \sin (3x^2 + 1)$<br><br>
$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&\cos (3x^2 +1)\cr \text{Inre derivatan:}&6x\end{array}$<br><br>
$\,f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos (3x^2 +1)$
<br><br>

<li>$ y = 5 \, e^{x^2}$ <br><br>
$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&5 \, e^{x^2}\cr \text{Inre derivatan:}&2x\end{array}$<br><br>
$\,y' = 5 \, e^{x^2} \cdot 2x = 10x\, e^{x^2}$
<br><br>

<li>$ f(x) = e^{x\cdot \sin x}$ <br><br>
$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&e^{x\cdot \sin x}\cr \text{Inre derivatan:}&1\cdot \sin x + x \cos x\end{array}$<br><br>
$\,f^{\,\prime}(x) = e^{x\cdot \sin x} (\sin x + x \cos x)$
<br><br>

<li>$ s(t) = t^2 \cos (\ln t) $ <br><br>
$ s'(t) = 2t \cdot \cos (\ln t) + t^2 \cdot\Bigl(-\sin (\ln t) \cdot \displaystyle \frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)$ <br><br>

<li>$ D\,a^x = D\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x = D\,e^{\ln a \cdot x} = e^{\ln a \cdot x} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a $ <br><br>

<li>$ D\,x^a = D\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = D\,e^{ a \cdot \ln x } = e^{a \cdot \ln x} \cdot a \cdot \displaystyle \frac{1}{x} = x^a \cdot a \cdot x^{-1} = ax^{a-1}$

</ol>

</div>

Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen $y= f \bigl( g(h(x))\bigr)$ har derivatan
$$y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\,\mbox{.}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''
<ol type="a">
<li>$ D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x $<br>
$ \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)$ <br>
$ \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\cdot\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x$ <br><br>
<li>$ D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot D\,\bigl((x^2 -3x)^4\bigr)$<br>
$\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot D\,(x^2-3x)$<br>
$\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3\cdot (2x-3) $ <br><br>
<li>$ D\,\sin^4 (x^2 -3x) = D\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4 = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot D\,\sin(x^2-3x)$<br>
$\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x) \cdot D(x^2 -3x)$<br>
$\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x)\cdot (2x-3)$ <br><br>
<li>$\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr) = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot D\,\sqrt{x^3-1} = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot D\,(x^3-1)$<br>
$\displaystyle\phantom{\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{}= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}}$
</ol>

</div>

==Derivator av högre ordningar==
Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv. <br>
Andraderivatan brukar betecknas $f^{\,\prime\prime}$ (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc, betecknas $\,f^{\,(3)}\,$, $\,f^{\,(4)}\,$ osv.

Även beteckningarna $\,D^2 f\,$, $\,D^3 f\,$, $\,\ldots\,$ och $\,\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\,$, $\,\displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}\,$, $\,\ldots\,$ är vanliga.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
<ol type="a">
<li>$ f(x) = 3\,e^{x^2 -1}$ <br>
$ f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot D\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}$ <br>
$ f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) $ <br><br>
<li>$ y = \sin x\,\cos x$ <br>
$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}$ <br>
$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x $ <br><br>
<li>$ D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$ <br>
$ D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) $<br>
$ \phantom{D^2(e^x\sin x)} =e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x)= 2\,e^x \cos x\vphantom{\biggl(}$<br>
$D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x) $<br>
$\phantom{D^3 ( e^x \sin x)} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )$
</ol>

</div>
<br><br><br><br><br><br>

1.1. Inledning till derivata

2007-07-17T11:56:08Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

{{Info|
'''Innehåll:'''
* Derivatans definition (översiktligt).
* Derivatan av $\,x^\alpha\,$, $\,\ln x\,$, $\,e^x\,$, $\,\cos x\,$, $\,\sin x\,$ och $\,\tan x$.
* Derivata av summa och differens.
* Tangent och normal till kurvor.
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''<br>
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: <br>
* Förstå derivatan $\,f^{\,\prime}(a)\,$ som lutningen av kurvan $\,y=f(x)\,$ i punkten $\,x=a\,$.
* Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, o.s.v.).
* Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. $\,f(x)=\vert x\vert\,$ i $\,x=0\,$).
* Kunna derivera $x^\alpha\,$, $\,\ln x\,$, $\,e^x\,$, $\,\cos x\,$, $\,\sin x\,$ och $\,\tan x\,$ samt summor/differenser av sådana termer.
* Kunna bestämma tangent och normal till $y=f(x)$.
* Veta att derivatan kan betecknas med $\,f^{\,\prime}(x)\,$ och $\,df/dx(x)\,$.
}}

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


==Inledning==
När man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.

Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde ($\,y\,$) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet ($\,x\,$).
Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{skillnad i y-led}}{\text{skillnad i x-led}}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

De linjära funktionerna $\,f(x)=x\,$ respektive $\,g(x)=-2x\,$ förändras på samma sätt hela tiden. Deras förändringsgrad är $\,1\,$ resp. $\,−2\,$, vilket vi känner till som linjernas respektive riktningskoefficient.

<div align="center">[[Bild:X&-2x.gif|300px|center]]</div>

För en linjär funktion gäller alltså att funktionens förändringsgrad är samma som linjens riktningskoefficient.

</div>

Om man har en funktion där funktionsvärdet förändras med tiden är det naturligt att använda begreppet förändringshastighet, eftersom förändringsgraden här anger hur funktionsvärdet ändras per tidsenhet.

Om en bil rör sig med hastigheten 80 km/h så kan den tillryggalagda sträckan, ''s'' km, efter ''t'' timmar beskrivas med funktionen $\,s(t)=80 t\,$.
Funktionens förändringsgrad anger hur funktionsvärdet ändras per timme, vilket naturligtvis är detsamma som bilens hastighet, 80 km/h.

För icke-linjära funktioner gäller ju att lutningen på funktionskurvan ändras hela tiden och därmed också funktionens förändringsgrad. För att bestämma hur en sådan funktion förändras kan vi antingen ange funktionens genomsnittliga förändring (medelförändringen) mellan två punkter på funktionskurvan, eller den momentana förändringsgraden i en punkt på kurvan.

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

För funktionen $\,f(x)=4x-x^2\,$ är $\,f(1)=3\,$, $\,f(2)=4\,$ och $\,f(4)=0\,$.

<div align="center">[[Bild:4x-x2.gif‎|300px|center]]</div>

<ol type="a">
<li>Medelförändringen (medellutningen) från $\,x = 1\,$ till $\,x = 2\,$ är
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}$$
och funktionen ökar i detta intervall.<br><br></li>

<li>Medelförändringen från $\,x = 2\,$ till $\,x = 4\,$ är
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}$$
och funktionen avtar i detta intervall.<br><br></li>

<li>Mellan $\,x = 1\,$ och $\,x = 4\,$ är medelförändringen
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(1)}{4-1}= \frac{0-3}{3}=-1\,\mbox{.}$$
I genomsnitt är funktionen avtagande i detta intervall, även om funktionen både växer och avtar i intervallet.<br><br></li>
</ol>

</div>

==Derivatans definition==
För att beräkna den momentana förändringsgraden hos en funktion, dvs. funktionskurvans lutning i en punkt $\,P\,$, tar vi temporärt hjälp av ytterligare en punkt $\,Q\,$ i närheten av $\,P\,$ och bildar ändringskvoten mellan $\,P\,$ och $\,Q\,$:

<div align="center">[[Bild:Fxfx+h.gif|400px|center]]</div>

'''Ändringskvoten'''
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Om vi låter $\,Q\,$ närma sig $\,P\,$ (dvs. låter $\,h \rightarrow 0\,$) så kan vi lista ut vad värdet blir om punkterna sammanfaller och därmed få fram lutningen i punkten $\,P\,$. Vi kallar detta värde för ''derivatan'' av $\,f(x)\,$ i punkten $\,P\,$, vilket kan tolkas som den momentana förändringsgraden av $\,f(x)\,$ i punkten $\,P\,$.

Derivatan av en funktion $\,f(x)\,$ betecknas $\,f^{\,\prime}(x)\,$ och kan formellt definieras så här:

<div class="regel">
''Derivatan'' av en funktion $\,f(x)\,$, definieras som
$$f^{\,\prime}(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,.$$
Om $\,f^{\,\prime}(x_0)\,$ existerar, säger man att $\,f(x)\,$ är ''deriverbar'' i punkten $\,x=x_0\,$.
</div>

Olika symboler för derivatan förekommer, t.ex.

{| BORDER="0" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"
!width="200" STYLE="border-bottom:2px solid grey;"|Funktion
!width="200" STYLE="border-bottom:2px solid grey;"|Derivata
|-
|align="center" | $f(x)$
|align="center" | $f^{\,\prime}(x)$
|-
|align="center" | $y$
|align="center" | $y^{\,\prime}$
|-
|align="center" | $y$
|align="center" | $Dy$
|-
|align="center" | $y$
|align="center" | $\displaystyle\frac{dy}{dx}$
|-
|align="center" | $s(t)$
|align="center" | $\dot s(t)$
|}

==Derivatans tecken==

Derivatans tecken (+/−) visar oss om funktionens graf lutar uppåt eller nedåt, dvs. om funktionen är växande eller avtagande:

* $f^{\,\prime}(x)>0\,$ (positiv lutning) medför att $\,f(x)\,$ är växande.
* $f^{\,\prime}(x)<0\,$ (negativ lutning) medför att $\,f(x)\,$ är avtagande.
* $f^{\,\prime}(x)=0\,$ (ingen lutning) medför att $\,f(x)\,$ är stationär (horisontell).

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

<ol type="a">
<li>$f(2)=3\ $ betyder att '''funktionens värde''' är $\,3\,$ när $\,x=2\,$.<br><br></li>
<li>$f^{\,\prime}(2)=3\ $ betyder att '''derivatans värde''' är $\,3\,$ när $\,x=2\,$, vilket i sin tur betyder att funktionens graf har lutningen $\,3\,$ när $\,x=2\,$.</li>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

I figuren kan man utläsa att
{|
|-
| width=10% |
| width=35% valign=center |
$\displaystyle\eqalign{f^{\,\prime}(a) &> 0\cr f(b) &= 0\cr f^{\,\prime}(c) &= 0\cr f(d) &= 0\cr f^{\,\prime}(e) &= 0\cr f(e) &< 0\cr f^{\,\prime}(g) &> 0} $
| width=60% valign=top |
[[Bild:F&f'.gif|400px]]
| width=5% valign=top |

|}

Notera betydelsen av $\,f(x)\,$ respektive $\,f^{\,\prime}(x)\,$.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

Temperaturen i en termos beskrivs av en funktion, där $\,T(t)\,$ är temperaturen i termosen efter $\,t\,$ minuter. Skriv följande med matematiska symboler:

<ol type="a">
<li>Efter 10 minuter är temperaturen 80°.<br><br>
$T(10)=80$<br><br></li>
<li>Efter 2 minuter sjunker temperaturen i termosen med 3° per minut.<br><br>
$T'(2)=-3\,$ (funktionen är avtagande, varför derivatan är negativ)<br><br></li>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Funktionen $\,f(x)=|x|\,$ saknar derivata då $\,x=0\,$. Man kan nämligen inte bestämma hur funktionens graf lutar i punkten $\,(0,0)\,$ (se figuren nedan).

Man kan uttrycka detta på exempelvis något av följande sätt: "$\,f^{\,\prime}(0)\,$ existerar inte" , "$\,f^{\,\prime}(0)\,$ är ej definerad" eller "$\,f(x)\,$ är inte deriverbar i $\,x=0\,$".

<div align="center">[[Bild:Absx.gif‎|300px|center]]</div>

</div>

==Deriveringsregler==
Med hjälp av derivatans definition kan man bestämma derivatan för de vanliga funktionstyperna.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

Om $\,f(x)=x^2\,$ så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten

$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}$$

Om vi sedan låter $\,h\,$ gå mot noll så ser vi att lutningen i punkten blir $\,2x\,$. Vi har därmed visat att lutningen i en godtycklig punkt på kurvan $\,y=x^2\,$ är $\,2x\,$, dvs. derivatan av $\,x^2\,$ är $\,2x\,$.
</div>

På liknande sätt kan man härleda allmänna deriveringsregler:

{| BORDER="0" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;;"|Funktion
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;"|Derivata
|-
|align="center"|$x^n$
|align="center"|$n \cdot x^{n-1}$
|-
|align="center"|$\ln x$
|align="center"|$1/x$
|-
|align="center"|$e^x$
|align="center"|$e^x$
|-
|align="center"|$\sin x$
|align="center"|$\cos x$
|-
|align="center"|$\cos x$
|align="center"|$-\sin x$
|-
|align="center"|$\tan x$
|align="center"|$1/\cos^2 x$
|}

Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att
$$D(f(x) +g(x))= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}$$

Samt, om ''k'' är en konstant, att
$$D(k \cdot f(x)) = k \cdot f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''
<ol type="a">
<li> $D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 6x^2 - 4 + 0 - \cos x\,$. <br><br>
<li>$ y= 3 \ln x + 2e^x \quad$ ger att $\quad\displaystyle y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,$. <br><br>
<li>$\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl({\textstyle\frac{3}{5}}x^2 - {\textstyle\frac{1}{2}}x^3\bigr)= {\textstyle\frac{3}{5}}\cdot 2x - {\textstyle\frac{1}{2}}\cdot 3x^2= {\textstyle\frac{6}{5}}x - {\textstyle\frac{3}{2}}x^2\,$. <br><br>
<li>$\displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad$ ger att $\quad\displaystyle s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,$.
</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad$ ger att $\quad\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,$. <br><br>
<li>$\displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = {\textstyle\frac{1}{3}}\cdot x^{-2} \quad$ ger att $\quad\displaystyle f^{\,\prime}(x) = {\textstyle\frac{1}{3}}\cdot(-2)x^{-3} = -\frac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,$. <br><br>
<li>$\displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad$ ger att $\quad\displaystyle g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,$. <br><br>
<li>$\displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}$<br>
$\qquad\quad$ ger att $\quad\displaystyle y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,$.
</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

Funktionen $\,f(x)=x^2 + x^{-2}\,$ har derivatan
$$f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}$$
Detta betyder exempelvis att $\,f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}\,$ och att $\,f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0\,$. Däremot är derivatan $\,f'(0)\,$ inte definierad.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''

Ett föremål rör sig enligt $\,s(t) = t^3 -4t^2 +5t\,$, där $\,s(t)\,$ km är avståndet från startpunkten efter $\,t\,$ timmar. Beräkna $\,s'(3)\,$ och förklara vad värdet står för.
<br>
<br>
Tidsderivatan ges av
$$s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad\text{vilket ger att}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8\,\mbox{.}$$
Detta kan tolkas som att efter 3 timmar är föremålets hastighet 8 km/h.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 12'''

Totalkostnaden $\,T\,$ kr för tillverkning av $\,x\,$ gummidräkter ges av funktionen
$$ T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2 \quad \text{för} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}$$
Beräkna och förklara innebörden av nedanstående uttryck.
<br>
<br>
<ol type="a">
<li>$T(120)$<br><br>
$T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,$.<br>
Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr.<br><br>
<li>$T'(120)$<br><br>
Derivatan ges av $\,T^{\,\prime}(x)= 370 - 0{,}18x\,$ och därför är $\,T^{\,\prime}(120) = 370 - 0{,}18 \cdot 120 \approx 348\,$.<br>
Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.<br><br>
</ol>

</div>

==Tangenter och normaler==
En ''tangent'' till en kurva är en rät linje som tangerar kurvan.

En ''normal'' till en kurva är en rät linje som är vinkelrät mot kurvan i en viss punkt på kurvan (och därmed också vinkelrät mot kurvans tangent i denna punkt).

För vinkelräta linjer gäller att produkten av deras riktningskoefficienter är $\,–1\,$, dvs. om tangentens riktningskoefficient betecknas $\,k_T\,$ och normalens $\,k_N\,$ så är $\,k_T \cdot k_N = -1\,$. Eftersom vi kan bestämma lutningen på en kurva med hjälp av derivatan så kan vi också bestämma ekvationen för en tangent eller en normal om vi känner till funktionsuttrycket för kurvan.

<div class="exempel">
'''Exempel 13'''

Bestäm ekvationen för tangenten respektive normalen till kurvan $\,y=x^2 + 1\,$ i punkten $\,(1,2)\,$.
<br>
<br>
[[Bild:Normal-tangent.gif‎|200px|right|]]
Vi skriver tangentens ekvation som $\,y = kx + m\,$. Eftersom den ska tangera kurvan i $\,x=1\,$ har vi att $\,k= y'(1)\,$, dvs.

$\qquad y' = 2x\,,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2\,$.

Tangentlinjen ska också passerar genom punkten $\,(1,2)\,$ och därför måste $\,(1,2)\,$ uppfylla tangentens ekvation

$\qquad 2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad m = 0\,$.

Tangentens ekvation är alltså $\,y=2x\,$.

Riktningskoefficienten för normalen är $\displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}$ .

Vidare går normalen också genom punkten $\,(1, 2)\,$ , dvs.

$\qquad\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}\,$.

Normalen har ekvationen $\,\displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}\,$.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 14'''

Kurvan $\,y = 2 \, e^x - 3x\,$ har en tangent vars riktningskoefficient är $\,–1\,$. Bestäm tangeringspunkten.
<br>
<br>
Derivatan av högerledet är $\,y' = 2 \, e^x -3\,$ och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med $\,-1\,$, dvs.
$\,y' = -1\,$, och detta ger oss ekvationen
$$2 \, e^x - 3=-1 $$
som har lösningen $\,x=0\,$. I punkten $\,x=0\,$ har kurvan $\,y\,$-värdet $\,y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2\,$ och därmed är tangeringspunkten $\,(0,2)\,$.

</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övn 2

2007-06-25T09:15:46Z

Sammanfattning: /* Övning 2.1:2 */

__NOTOC__
==Övning 2.1:1==
<div class="ovning">Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle\int_{-1}^{2} 5\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle\int_{0}^{1} (2x+1)\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle \int_{0}^{2} (3-2x)\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle\int_{-1}^{2}|x| \, dx$</td>
</tr>
</table>
Ledning d) För $a < b < 0$ gäller $\displaystyle\int_{a}^{b}|x|\, dx=\int_{a}^{b} -x\,dx$
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext">$15$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext">$2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext">$2$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle\frac{5}{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.1:2==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{2} (x^2+3x^3)\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int_{4}^{9} \left(\sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx$</td>
</tr>
</table>
Ledning c,d) skriv om $\sqrt x=x^{1/2}$, och använd eventuellt potenslagarna.
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{44}{3}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle-\frac{9}{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{32}{3}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.1:3==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \sin x\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx$</td>
</tr>
</table>
Ledning b) Använd att $\sin2v=2\sin v\cos v$<br\>
Ledning d) $\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x}\, dx=\int\frac{x^2}{x}\, dx+\int\frac{1}{x}\, dx$
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-\cos x + C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle-\frac{\cos 2x}{2}+C$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{e^{3x}}{3}+\frac{e^{2x}}{2}+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{x^2}{2}+\ln x + C$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.1:4==
<div class="ovning">
<table cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean mellan kurvan $y=\sin x$ och $x$-axeln när $0\le x \le \frac{5\pi}{4}$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna den del av kurvan $y=-x^2+2x+2$ ovanför $x$-axeln</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean av det ändliga området mellan kurvorna $y=\frac{1}{4}x^2+2$ och $y=8-\frac{1}{8}x^2$ (studentexamen 1965).</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean av det ändliga området som kurvorna $y=x+2, y=1$ och $y=\frac{1}{x}$ innesluter.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean av området som ges av olikheterna $x+2\le y\le x^2$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" align="left">a)     $3-\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}$ a.e.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)     $\displaystyle 4.\sqrt{3}$ a.e.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)     $32$ a.e.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)     $\sqrt{2}-1-\ln(\sqrt{2}-1)\,$ a.e.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr><tr align="left">
<td class="ntext">e)     $\displaystyle\frac{9}{2}$ a.e.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.1:5==
<div class="ovning">
Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad$ (Ledning: förläng med nämnarens konjugat)</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int \sin^2 x\quad$ (Ledning: skriv om integranden med en trigonometrisk formel)</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" align="left">a)     $\displaystyle\frac{2}{27}\left((x+9)\sqrt{x+9}+x\sqrt{x}\right)+C$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)     $-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:1==
<div class="ovning">
Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{(3x-1)^4}$ genom att använda substitution $u=3x-1$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int (x^2+3)^5x \, dx$ genom att använda substitution $u=x^2+3$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \, dx$ genom att använda substitution $u=x^3$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{13}{1000}$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{(x^2+3)^6}{12}+C$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{1}{3}e^{\scriptstyle x^3}+C$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:2==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos 5x\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1/2} e^{2x+3}\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int_{0}^{5} \sqrt{3x + 1} \, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[\scriptstyle3]{1 - x}\, dx$</td>
</tr>
</table>
Ledning b) Använd substitutionen $u=2x+3$<br\>
Ledning c) Använd substitutionen $u^2=3x+1$<br\>
Ledning d) Använd substitutionen $u^3=1-x$
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$0$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}(e^4-e^3)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$14$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3}{4}$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:3==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2x \sin x^2\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \sin x \cos x\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{\ln x}{x}\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2+2x+2}\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{x^2+1}\, dx$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$</td>
</tr>
</table>
Ledning c) $\displaystyle \frac{\ln x}{x}=\ln x\cdot \frac{1}{x}= \ln x \cdot (\ln x)'$<br>
Ledning d, e) $\left(\ln \, f(x)\right)'=\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$<br>
Ledning f) Använd substitutionen $u=\sqrt x$
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\cos x^2+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{\sin^2x}{2}+C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\frac{1}{2}(\ln x)^2+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2x+2\right)+C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-2\cos\sqrt{x}+C$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:4==
<div class="ovning">Använd formeln $$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$$ för att beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4x+8}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{x^2}{x^2 +1}\, dx$</td>
</tr>
</table>
Ledning: Substituera så att $x^2+a = au^2+a =a(u^2+1)$
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt3}\right)+C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right)+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x-\arctan x + C$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:1==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2x e^{-x} \, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int(x+1) \sin x \, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int x^2 \cos x \, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int x \ln x \, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-2(x+1)e^{-x}+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-(x+1)\cos x+\sin x + C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2x\cos x + (x^2-2)\sin x + C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{x^2}{2}\left(\ln x - \frac{1}{2}\right) + C$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:2==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int e^{\sqrt x}\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1} x^3 e^{x^2} \, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \tan x \, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \ln x\, dx$</td>
</tr>
</table>
Ledning c) $\displaystyle\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \left(\ln\, f(x)\right)'=\frac{f'(x)}{f(x)}$ <br\>
Ledning d) Använd substitutionen $u=\ln x$
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x}-1\right)+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\ln|\cos x|+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x(\ln x-1)+C$</td>
</tr>
</table>
</div>

Övn 1

2007-06-25T08:52:47Z

Sammanfattning: /* Övning 1.3:1 */ Lade till "... för funktionerna som beskrivs i graferna nedan". /Johan T

__NOTOC__
==Övning 1.1:1==
<div class="ovning">
Grafen till $f(x)$ är ritad i figuren. BILD
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Vilket tecken har $f'(-4)$ respektive $f'(1)$?</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">För vilka $x$-värden är $f'(x)=0$?</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">I vilket eller vilka intervall är $f'(x)$ negativ?</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$f'(-4)>0, \,\,\,\, f'(1)<0$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$x=-3$ och $x=2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-3\le x \le 2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>

</div>

==Övning 1.1:2==
<div class="ovning">
Bestäm $f'(x)$ om
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x) = x^2 -3x +1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=\cos x -\sin x$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)= e^x-\ln x$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=\sqrt{x}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x) = (x^2-1)^2$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)= \cos (x+\pi/3)$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a) $f'(x)=2x-3$ </td>
</tr><tr>
<td class="ntext">b) $f'(x)=-\sin x -\cos x$ </td>
</tr><tr>
<td class="ntext">c) $f'(x)=e^x-\displaystyle\frac{1}{x}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d) $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}$</td>
</tr><tr>
<td class="ntext">e) $f'(x)=4x(x^2-1)$</td>
</tr><tr>
<td class="ntext">f) $f'(x)=-\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 1.1:3==
<div class="ovning">
En liten boll som släpps från höjden $h=10$m ovanför marken vid tidpunkten $t=0$, har vid tiden $t$ (mätt i sekunder) höjden $h(t)=10-\displaystyle\frac{9,\!82}{2}\,t^2$. Vilken fart har bollen när den slår i backen?
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$14{,}0\,$ m/s</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.1:4==
<div class="ovning">
Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan $y=x^2$ i punkten $(1,1)$.
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">
Tangentens ekvation: $\ y=2x-1$<br>
Normalens ekvation: $\ y=-\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.1:5==
<div class="ovning">
Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$.
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$\bigl(1-\sqrt2, -3+2\sqrt2\bigr)\,$ och $\,\bigl(1+\sqrt2, -3-2\sqrt2\bigr)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.2:1==
<div class="ovning">
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos x \cdot \sin x$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2\ln x$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2+1}{x+1}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\sin x}{x}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x}{\ln x}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x \ln x}{\sin x}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2x\ln x+ x$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=1-\frac{2}{(x+1)^2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{(\ln x)^2}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\ln x + 1}{\sin x}-\frac{x\ln x \cos x}{\sin^2x}$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 1.2:2==
<div class="ovning">
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$ \sin x^2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$e^{x^2+x}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sqrt{\cos x}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\ln \ln x$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x(2x+1)^4$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos \sqrt{1-x}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos x^2 \cdot 2x$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$e^{x^2+x}(2x+1)$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{x\ln x}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(2x+1)^3(10x+1)$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 1.2:3==
<div class="ovning">
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$ \ln (\sqrt{x} + \sqrt{x+1})$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sqrt{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin \cos \sin x$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$e^{\sin x^2}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^{\tan x}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{1-2x^2}{x^2(1-x^2)^{3/2}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-\cos\cos\sin x \cdot \sin\sin x \cdot \cos x$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$e^{\sin x^2}\cdot \cos x^2 \cdot 2x$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x^{\tan x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2x}+\frac{\tan x}{x}\Bigr)$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 1.2:4==
<div class="ovning">
Beräkna andraderivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$ \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x ( \sin \ln x +\cos \ln x )$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle - \frac{2\sin \ln x}{x}$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:1==
<div class="ovning">
Bestäm kritiska punkter, terasspunkter, lokala extrempunkter och globala extrempunkter för funktionerna som beskrivs i graferna nedan. Ange också de intervall där funktionen är strängt växande respektive strängt avtagande.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1a.gif]]</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1b.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1c.gif]]</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1d.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="5px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext">Kritiska punkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Terasspunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">saknas</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Lokala extrempunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Globala extrempunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Strängt växande</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x\ge 0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Strängt avtagande</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x\le 0$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext">Kritiska punkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=-1$,  $x=1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Terasspunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">saknas</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Lokala extrempunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=-3$,  $x=-1$,  $x=1$,  $x=3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Globala extrempunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=-3$,  $x=3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Strängt växande</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$-3\le x\le -1$  och  $1\le x\le 3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Strängt avtagande</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$-1\le x\le 1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext">Kritiska punkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=-2$,  $x=-1$,  $x=\frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Terasspunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=-1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Lokala extrempunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=-3$,  $x=-2$,  $x=\frac{1}{2}$,  $x=2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Globala extrempunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=\frac{1}{2}$,  $x=2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Strängt växande</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$-2\le x\le \frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Strängt avtagande</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$-3\le x\le -2$  och  $\frac{1}{2}\le x\le 2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext">Kritiska punkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=-\frac{5}{2}$,  $x=\frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Terasspunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">saknas</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Lokala extrempunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=-\frac{5}{2}$,  $x=-\frac{4}{5}$,  $x=-\frac{1}{2}$,  $x=\frac{1}{2}$,  $x=2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Globala extrempunkter</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=-\frac{5}{2}$,  $x=-\frac{4}{5}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Strängt växande</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$-\frac{5}{2}\le x\le -\frac{4}{5}$  och  $-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext"></td>
<td class="ntext">Strängt avtagande</td>
<td>   </td>
<td class="ntext" width="100%">$-3\le x\le -\frac{5}{2}$,   $-\frac{4}{5}\le x\le -\frac{1}{2}$  och  $\frac{1}{2}\le x\le 2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:2==
<div class="ovning">
Bestäm lokala extrempunkter och skissera funktionsgrafen till
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)= x^2 -2x+1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=2+3x-x^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)= 2x^3+3x^2-12x+1$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=x^3-9x^2+30x-15$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=1\,$ (lokal minimipunkt)</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\frac{3}{2}\,$ (lokal maximipunkt)</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-2\,$ (lokal maximipunkt)<br> $x=1\,$ (lokal minimipunkt)</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">lokal extrempunkt saknas</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:3==
<div class="ovning">
Bestäm alla lokala extrempunkter till
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=-x^4+8x^3-18x^2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=e^{-3x} +5x$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)= x\ln x -9$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=\displaystyle\frac{1+x^2}{1+x^4}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$f(x)=(x^2-x-1)e^x$ då $-3\le x\le 3$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=0\,$ (lokal maximipunkt)</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-\frac{1}{3}\ln\frac{5}{3}\,$ (lokal minimipunkt)</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=1/e\,$ (lokal minimipunkt)</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt)<br>$x=0\,$ (lokal minimipunkt)<br>$x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt)</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-3\,$ (lokal minimipunkt)<br>$x=-2\,$ (lokal maximipunkt)<br>$x=1\,$ (lokal minimipunkt)<br>$x=3\,$ (lokal maximipunkt)</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:4==
<div class="ovning">
Var på kurvan $y=1-x^2$ i första kvadranten ska punkten $P$ väljas för att rektangeln i figuren till höger ska ha maximal area? <br\>
<div align="center">[[Bild:O_1_3_4.gif]]</div>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Svar</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/>$P = \bigl(1/\sqrt{3},2/3\bigr)$</tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:5==
<div class="ovning">
En $30$ cm bred pilt ska användas för att tillverka en ränna. Parallellt med plåtens långsidor viks kanterna upp enligt figuren. Hur stor ska vinkeln $\alpha$ vara för att ränna ska rymma så mycket vatten som möjligt? <br\>
<div align="center">[[Bild:O_1_3_6.gif]]</div>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Svar</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/>$\alpha=\pi/6$</tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:6==
<div class="ovning">
En plåtmugg som har formen av en rät cirkulär cylinder ska tillverkas. Vilken radie och höjd ska muggen ha om man vill att den har en bestämd volym $V$ samtidigt som man använder så lite plåt som möjligt.
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Svar</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/>radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ </tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:7==
<div class="ovning">
Ur en cirkulär skiva skärs en cirkelsektor bort och de två radiella kanter som uppstår fästs ihop så att man får en konformad strut. Hur stor vinkel ska den borttagna cirkelsektorn ha för att konen ska få maximal volym?
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Svar</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/>Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort.</tr>
</table>
</div>

Sammanställning övningar

2007-06-21T13:14:52Z

Sammanfattning: Ersätter sidans innehåll med '__NOTOC__ [[övn 1|1 Derivata]] [[övn 2|2 Integraler]] [[övn 3|3 Komplexa tal]]'

__NOTOC__

[[övn 1|1 Derivata]]

[[övn 2|2 Integraler]]

[[övn 3|3 Komplexa tal]]

Kommer senare...

2007-06-18T11:57:09Z

Sammanfattning: Ny sida: Detta avsnitt kommer publiceras vid en senare tidpunkt.

Detta avsnitt kommer publiceras vid en senare tidpunkt.

3.4 Övningar

2007-06-05T06:53:47Z

Sammanfattning:

==Övning 3.4:1==
<div class="ovning">Utför följande polynomdivisioner (alla går inte jämnt ut)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{x^3 +x+2}{x+1}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" >$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x+1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x-1+\frac{1}{x+1}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-ax+a^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-x+2$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x-1+\frac{2x+2}{x^2+3x+1}$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_1a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_1b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_1c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_1d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning e </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga e
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_1e.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.4:2==
<div class="ovning">
Ekvationen $\,z^3-3z^2+4z-2=0\,$ har roten $\,z=1\,$. Bestäm övriga rötter.
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">
$ z = \Bigl\{\eqalign{&1+i\cr &1-i}$
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning  </div>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_2.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 3.4:3==
<div class="ovning">
Ekvationen $\,z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0\,$ har rötterna $\,z=2i\,$ och $\,z=-1-i\,$. Lös ekvationen.
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">
$z = \left\{\begin{matrix}-1+i\cr -1-i\cr \phantom{-}2i\cr -2i\end{matrix}\right.$
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning  </div>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_3.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 3.4:4==
<div class="ovning">
Bestäm två reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^3+az+b=0\ $ har roten $\,z=1-2i\,$. Lös sedan ekvationen.
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">
Välj $\,a=1\,$ och $\,b=10\,$. Lösningarna är $\ z = \left\{ \begin{matrix} 1-2i \\ 1+2i \\ -2 \end{matrix} \right.$
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning  </div>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_4.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 3.4:5==
<div class="ovning">
Bestäm $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^4-6z^2+az+b=0\ $ har en trippelrot. Lös sedan ekvationen.
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">
Två fall:
* Välj $\,a=8\,$ och $\,b=-3\,$. Lösningarna är $\,z=1\,$ (trippelroten) och $\,z=-3\,$.
* Välj $\,a=-8\,$ och $\,b=-3\,$. Lösningarna är $\,z=-1\,$ (trippelroten) och $\,z=3\,$.
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning  </div>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_5.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 3.4:6==
<div class="ovning">
Ekvationen $\ z^4+3z^3+z^2+18z-30=0\ $ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter.
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">
$ z = \left\{ \begin{matrix} \phantom{-}i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{29} \\ -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{29} \end{matrix} \right.$
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning  </div>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_6.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 3.4:7==
<div class="ovning">
Bestäm polynom som har följande nollställen
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1\,$, $\,2\,$ och $\,4$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-1+ i\,$ och $\,-1-i$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_7a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_4_7b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

2.3 Övningar

2007-06-05T06:43:52Z

Sammanfattning:

==Övning 2.3:1==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2x e^{-x} \, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int(x+1) \sin x \, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int x^2 \cos x \, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int x \ln x \, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågorna<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-2(x+1)e^{-x}+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-(x+1)\cos x+\sin x + C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2x\cos x + (x^2-2)\sin x + C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{x^2}{2}\left(\ln x - \frac{1}{2}\right) + C$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_3_1a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_3_1a-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_3_1b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_3_1c-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_3_1c-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_3_1d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 2.3:2==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int e^{\sqrt x}\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1} x^3 e^{x^2} \, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \tan x \, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \ln x\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågorna<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x}-1\right)+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\ln|\cos x|+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x(\ln x-1)+C$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_3_2a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_3_2a-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_3_2b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_3_2b-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_3_2c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_3_2d-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_3_2d-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

3.3 Övningar

2007-06-04T14:16:25Z

Sammanfattning: Korrigerat 3.3:1a

==Övning 3.3:1==
<div class="ovning">
Skriv följande tal i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(i+1)^{12}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,\Bigr)^{12}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ (4\sqrt{3} -4i)^{22}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\Bigl(\displaystyle\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\,\Bigr)^{12}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{(1+i\sqrt{3}\,)(1-i)^8}{(\sqrt{3}-i)^9}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-64$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2^{65}+2^{65}\sqrt{3}\,i$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-64$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{32} - \frac{i}{32} $</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_1a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_3_1a-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_1b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_1c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_1d-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_3_1d-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning e </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga e
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_1e-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_3_1e-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.3:2==
<div class="ovning">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z^4=1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z^3=-1$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$ z^5=-1-i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(z-1)^4+4=0$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\Bigl(\frac{z+i}{z-i}\Bigr)^2 = -1$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}1 \\ -1 \\ \phantom{-}i \\ -i\\ \end{matrix}\right.$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i \\ -1\phantom{{}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i \\ \end{matrix}\right.$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle z=2^{1/10}\exp\Bigl(\frac{\pi i}{4}+\frac{2k\pi i}{5}\Bigr)$ för $\ k=0,1,2,3,4$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z= \left\{\begin{matrix} 2+i \\ 2-i \\ \phantom{-}i \\ -i\\ \end{matrix}\right.$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$z = \left\{\begin{matrix} \phantom{-}1 \\ -1 \end{matrix}\right.$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_2a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_3_2a-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_2b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_3_2b-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_2c-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_3_2c-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_2d-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_3_2d-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning e </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga e
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_2e-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_3_2e-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.3:3==
<div class="ovning">
Kvadratkomplettera följande uttryck
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2 +2z+3$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2 +3iz-\frac{1}{4}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-z^2-2iz +4z+1$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$iz^2+(2+3i)z-1$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(z+1)^2+2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\left(z+\frac{3}{2}i\,\right)^2+2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-(z-2+i)^2+4(1-i)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$i\bigl(z+\frac{3}{2}-i\bigl)^2-4-\frac{5}{4}\,i$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_3a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_3b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_3c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_3d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.3:4==
<div class="ovning">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2=i$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2-4z+5=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-z^2+2z+3=0$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{z} + z = \frac{1}{2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}(1+i)/\sqrt{2}\\ -(1+i)/\sqrt{2}\\ \end{matrix}\right.$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z = \left\{\begin{matrix} 2+i \\ 2-i \\ \end{matrix}\right.$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} -1 \\ \phantom{-}3 \\ \end{matrix}\right. $</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} (1+i\sqrt{15})/4\\ (1-i\sqrt{15})/4 \end{matrix}\right.$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_4a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_4b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_4c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_4d-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_3_4d-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.3:5==
<div class="ovning">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2-2(1+i)z+2i-1=0$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2-(2-i)z+(3-i)=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z^2-(1+3i)z-4+3i=0$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(4+i)z^2+(1-21i)z=17$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} 2+1 \\ i \\ \end{matrix}\right.$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z = \left\{\begin{matrix} 1+i\phantom{2} \\ 1-2i \\ \end{matrix}\right.$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}2+i\phantom{2} \\ -1+2i \\ \end{matrix}\right. $</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} i \\ 1+4i \\ \end{matrix}\right.$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_5a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_5b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning  </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_5c-1(4).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5c-2(4).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5c-3(4).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5c-4(4).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_5d-1(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5d-2(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5d-3(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5d-4(5).gif]] <br\>[[Bild:3_3_5d-5(5).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.3:6==
<div class="ovning">
Bestäm lösningarna till $\,z^2=1+i\,$ dels i polär form, dels i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal. Använd resultatet för att beräkna $\; \tan \frac{\pi}{8}\,$.
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">Lösningar:</td>
<td class="ntext" width="100%">$z= \left\{\eqalign{&\textstyle\sqrt[\scriptstyle 4]{2}\bigl(\cos\frac{\pi}{8}+i\,\sin\frac{\pi}{8}\bigr)\cr &\textstyle\sqrt[\scriptstyle 4]{2}\bigl(\cos\frac{9\pi}{8}+i\,\sin\frac{9\pi}{8}\bigr)}\right. = \left\{\eqalign{&\textstyle\phantom{-}{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}+2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}+i\,{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}-2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}\cr &\textstyle -{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}+2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}-i\,{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}-2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}}\right.$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">Uttryck:</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning  </div>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_3_6-1(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_6-2(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_6-3(5).gif]]<br\> [[Bild:3_3_6-4(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_6-5(5).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>

3.2 Övningar

2007-06-04T13:02:50Z

Sammanfattning: /* Övning 3.2:6 */

==Övning 3.2:1==
<div class="ovning">
Givet de komplexa talen $\,z=2+i\,$, $\,w=2+3i\,$ och $\,u=-1-2i\,$. Markera följande tal i det komplexa talplanet
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z\,$ och $\,w$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z+u\,$ och $\,z-u$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2z+w$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z-\overline{w}+u$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)<br\>[[Bild:f_3_2_1a.gif]]</td>
<td class="ntext">b)<br\>[[Bild:f_3_2_1b.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)<br\>[[Bild:f_3_2_1c.gif]]</td>
<td class="ntext">d)<br\>[[Bild:f_3_2_1d.gif]]</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_1a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_1b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_2_1b-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_1c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_1d-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_2_1d-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.2:2==
<div class="ovning">
Rita in följande mängder i det komplexa talplanet
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$0\le \mbox{Im}\, z \le 3$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$0 \le \mbox{Re} \, z \le \mbox{Im}\, z \le 1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ |z|=2$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$|z-1-i|=3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \mbox{Re}\, z = i + \bar z$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2<|z-i|\le3$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)<br\>[[Bild:f_3_2_2a.gif]]</td>
<td class="ntext">b)<br\>[[Bild:f_3_2_2b.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)<br\>[[Bild:f_3_2_2c.gif]]</td>
<td class="ntext">d)<br\>[[Bild:f_3_2_2d.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)<br\>[[Bild:f_3_2_2e.gif]]</td>
<td class="ntext">f)<br\>[[Bild:f_3_2_2f.gif]]</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_2a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_2b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_2_2b-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_2c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_2d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning e </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga e
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_2e.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning f </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga f
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_2f.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.2:3==
<div class="ovning">
De komplexa talen $\,1+i\,$, $\,3+2i\,$ och $\,3i\,$ bildar i det komplexa talplanet tre hörn i en kvadrat. Bestäm kvadratens fjärde hörn.
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
$2+4i$
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning  </div>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_3-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_2_3-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 3.2:4==
<div class="ovning">
Bestäm beloppet av
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3+4i$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(2-i) + (5+3i)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(3-4i)(3+2i)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3-4i}{3+2i}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$5$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{53}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$5\sqrt{13}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{5}{\sqrt{13}}$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_4a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_4b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_4c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_4d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.2:5==
<div class="ovning">
Bestäm argumentet av
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-10$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-2+2i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ (\sqrt{3} +i)(1-i)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{i}{1+i}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\pi$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3\pi}{4}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\displaystyle\frac{\pi}{12}\,$ eller $\,\displaystyle\frac{23}{12}\pi$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{\pi}{4}$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_5a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_5b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_5c-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_2_5c-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_5d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.2:6==
<div class="ovning">
Skriv följande tal i polär form
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-11i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ -4-4i$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{10} + \sqrt{30}\,i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3}\,)}{3i(\sqrt{12} -2i)}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor
<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle3(\cos 0 + i\,\sin 0)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle11\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\right)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle4\sqrt2\left(\cos \frac{5\pi}{4} + i\,\sin\frac{5\pi}{4}\right)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle2\sqrt{10}\left(\cos \frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\right)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{12} + i\,\sin\frac{\pi}{12}\right)$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{\sqrt2}{3}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\right)$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_6a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_2_6a-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_6b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_6c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_6d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning e </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga e
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_6e-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_2_6e-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning f </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga f
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_2_6f-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_2_6f-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

3.1 Övningar

2007-06-04T13:02:26Z

Sammanfattning: /* Övning 3.1:4 */

==Övning 3.1:1==
<div class="ovning">
Skriv i formen $\,a+bi\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(5-2i)+(3+5i)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3i -(2-i)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ i(2+3i)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(3-2i)(7+5i)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ (1+i)(2-i)^2$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$i^{\,20} + i^{\,11}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$8+3i$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-2+4i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-3+2i$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$31+i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$7-i$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1-i$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_1a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_1b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_1c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_1d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning e </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga e
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_1e.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning f </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga f
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_1f.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.1:2==
<div class="ovning">Skriv i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3-2i}{1+i}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3i}{4-6i} - \displaystyle\frac{1+i}{3+2i}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\frac{(2-i\sqrt{3}\,)^2}{1+i\sqrt{3}}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{5-\displaystyle\frac{1}{1+i}}{3i + \displaystyle\frac{i}{2-3i}}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{5}{2}\,i$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle -\frac{19}{26} + \frac{2}{13}\,i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle -\frac{11}{4}-\frac{5\sqrt3}{4}\,i$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{7}{130} -\frac{93}{65}\,i$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_2a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_1_2a-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_2b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_1_2b-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_2c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_2d-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_1_2d-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 3.1:3==
<div class="ovning">
Bestäm det reella tal $\,a\,$ så att uttrycket $\ \displaystyle\frac{3+i}{2+ai}\ $ blir rent imaginärt (dvs. realdel lika med noll).
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>

$a=-6$

</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning  </div>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_3.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 3.1:4==
<div class="ovning">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z+3i=2z-2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(2-i) z= 3+2i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ iz+2= 2z-3$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(2+i) \overline{z} = 1+i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\frac{iz+1}{z+i} = 3+i$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(1+i)\overline{z}+iz = 3+5i$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=2+3i$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=\displaystyle\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=2+i$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=\displaystyle \frac{3}{5} - \frac{1}{5}i$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=\displaystyle \frac{2}{3}-i$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z=3+i$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_4a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_4b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_4c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_4d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning  </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_4e-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_1_4e-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning f </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga f
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:3_1_4f-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_1_4f-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

2.2 Övningar

2007-06-04T13:00:52Z

Sammanfattning: /* Övning 2.2:4 */

==Övning 2.2:1==
<div class="ovning">
Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{(3x-1)^4}\quad$ genom att använda substitution $u=3x-1$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int (x^2+3)^5x \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^2+3$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^3$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågorna<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{13}{1000}$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{(x^2+3)^6}{12}+C$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{1}{3}e^{\scriptstyle x^3}+C$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_1a-1(3).gif]]<br\>[[Bild:2_2_1a-2(3).gif]]<br\>[[Bild:2_2_1a-3(3).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_1b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_2_1b-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_1c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 2.2:2==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos 5x\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1/2} e^{2x+3}\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int_{0}^{5} \sqrt{3x + 1} \, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[\scriptstyle3]{1 - x}\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågorna<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$0$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}(e^4-e^3)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$14$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3}{4}$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_2a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_2_2a-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_2b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_2c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_2d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 2.2:3==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2x \sin x^2\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \sin x \cos x\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{\ln x}{x}\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2+2x+2}\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{3x}{x^2+1}\, dx$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågorna<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\cos x^2+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{\sin^2x}{2}+C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\frac{1}{2}(\ln x)^2+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2x+2\right)+C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-2\cos\sqrt{x}+C$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_3a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_3b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_3c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_3d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning e </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga e
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_3e.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning f </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga f
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_3f.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 2.2:4==
<div class="ovning">Använd formeln $$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$$ för att beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4x+8}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{x^2}{x^2 +1}\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågorna<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt3}\right)+C$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right)+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x-\arctan x + C$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_4a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_4b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_2_4b-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_4c-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_2_4c-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_2_4d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

2.1 Övningar

2007-06-04T12:45:28Z

Sammanfattning: /* Övning 2.1:5 */

==Övning 2.1:1==
<div class="ovning">Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle\int_{-1}^{2} 2\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle\int_{0}^{1} (2x+1)\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle \int_{0}^{2} (3-2x)\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext">$\displaystyle\int_{-1}^{2}|x| \, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor</div>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$6$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{5}{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>

</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
<br \>[[Bild:2_1_1a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_1b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_1b-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
<br \>[[Bild:2_1_1c-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_1c-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
Lösning till delfråga d<br \>[[Bild:2_1_1d-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_1d-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 2.1:2==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{2} (x^2+3x^3)\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int_{4}^{9} \left(\sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{44}{3}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle-\frac{9}{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{32}{3}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_2a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_2a-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_2b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_2c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_2d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 2.1:3==
<div class="ovning">Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \sin x\, dx$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\cos x + C$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle-\frac{\cos 2x}{2}+C$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{e^{3x}}{3}+\frac{e^{2x}}{2}+C$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{x^2}{2}+\ln x + C$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_3a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_3b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_3c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_3d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 2.1:4==
<div class="ovning">
<table cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean mellan kurvan $y=\sin x$ och $x$-axeln när $0\le x \le \frac{5\pi}{4}$</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean av det område under kurvan $y=-x^2+2x+2$ och ovanför $x$-axeln</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean av det ändliga området mellan kurvorna $y=\frac{1}{4}x^2+2$ och $y=8-\frac{1}{8}x^2$ (studentexamen 1965).</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean av det ändliga området som kurvorna $y=x+2, y=1$ och $y=\frac{1}{x}$ innesluter.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="100%">Beräkna arean av området som ges av olikheterna $x^2\le y\le x+2$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" align="left">a)     $3-\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}$ a.e.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)     $\displaystyle 4.\sqrt{3}$ a.e.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)     $32$ a.e.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)     $\sqrt{2}-1-\ln(\sqrt{2}-1)\,$ a.e.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr><tr align="left">
<td class="ntext">e)     $\displaystyle\frac{9}{2}$ a.e.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_4a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4a-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_4b-1(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4b-2(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4b-3(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4b-4(4).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_4c-1(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4c-2(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4c-3(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4c-4(4).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_4d-1(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-2(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-3(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-4(5).gif]] <br\>[[Bild:2_1_4d-5(5).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning e </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga e
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_4e-1(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4e-2(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4e-3(3).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 2.1:5==
<div class="ovning">
Beräkna integralerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad$ (Ledning: förläng med nämnarens konjugat)</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int \sin^2 x\quad$ (Ledning: skriv om integranden med en trigonometrisk formel)</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" align="left">a)     $\displaystyle\frac{2}{27}\left((x+9)\sqrt{x+9}+x\sqrt{x}\right)+C$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)     $-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_5a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_5a-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:2_1_5b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>