Derivering av produkt och kvot
Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:
Deriveringsregler för produkter och kvoter:
$$\eqalign{D\,\bigl(\,f(x) \cdot g(x) \bigr) &= f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\cr D\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\bigl( g(x)\bigr)^2}}$$
(Observera att derivering av produkter och kvoter inte är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)
Exempel 1
- $ D\,(x^2 e^x) = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (2x +x^2)\,e^x\,$.
- $ D\,(x \sin x) = 1\cdot \sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x \cos x\,$.
- $\displaystyle D\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 -1 = \ln x\,$.
- $\displaystyle D\,\tan x = D\,\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{ \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\,$.
- $\displaystyle D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}} = \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x} - (1+x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2} = \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac { \displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,$.
- $\displaystyle D\,\frac{x\,e^x}{1+x} = \frac{(1\cdot e^x + x\cdot e^x)(1+x) - x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} = \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,$.
Derivering av sammansatta funktioner
En funktion $\,y=f(g)\,$ där variabeln $\,g\,$ i sin tur är beroende av en variabel $\,x\,$ får formen $\,y=f \bigl( g(x)\bigr)$ och kallas sammansatt funktion.
Om man deriverar en sammansatt funktion med avseende på den oberoende variabeln $\,x\,$, använder man följande regel:
$$y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr) \cdot g'(x)\,\mbox{.}$$
Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter $y=f(u)$ och $u=g(x)$ kan kedjeregeln skrivas
$$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\,\mbox{.}$$
Man brukar säga att den sammansatta funktionen $\,y\,$ består av den yttre funktionen $\,f\,$ och den inre funktionen $\,g\,$. Analogt kallas $\,f^{\,\prime}\,$ för den yttre derivatan och $\,g'\,$ den inre derivatan.
Exempel 2
För funktionen $y=(x^2 + 2x)^4$ är
| $y=u^4\quad$
| yttre funktionen, och
| $\quad u=x^2 + 2x\quad$
| inre funktion.
|
| $\displaystyle \frac{dy}{du} = 4 u^3\quad$
| yttre derivatan, och
| $\quad\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x + 2\quad$
| inre derivatan.
|
Derivatan av funktionen $\,y\,$ med avseende på $\,x\,$ blir enligt kedjeregeln
$$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \displaystyle \frac{dy}{du} \cdot \displaystyle \frac{du}{dx} = 4 u^3 \cdot (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \cdot (2x +2)\,\mbox{.}$$
När man vant sig vid kedjeregeln inför man sällan nya beteckningar för yttre och inre funktion, utan man lär sig känna igen dessa och deriverar ”rakt på”, enligt mönstret
$$(\text{yttre derivata})\cdot (\text{inre derivata})\,\mbox{.}$$
Kom ihåg att även använda produkt- eller kvotregeln när detta är nödvändigt.
Exempel 3
- $ f(x) = \sin (3x^2 + 1)$
$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&\cos (3x^2 +1)\cr \text{Inre derivatan:}&6x\end{array}$
$\,f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos (3x^2 +1)$
- $ y = 5 \, e^{x^2}$
$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&5 \, e^{x^2}\cr \text{Inre derivatan:}&2x\end{array}$
$\,y' = 5 \, e^{x^2} \cdot 2x = 10x\, e^{x^2}$
- $ f(x) = e^{x\cdot \sin x}$
$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&e^{x\cdot \sin x}\cr \text{Inre derivatan:}&1\cdot \sin x + x \cos x\end{array}$
$\,f^{\,\prime}(x) = e^{x\cdot \sin x} (\sin x + x \cos x)$
- $ s(t) = t^2 \cos (\ln t) $
$ s'(t) = 2t \cdot \cos (\ln t) + t^2 \cdot\Bigl(-\sin (\ln t) \cdot \displaystyle \frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)$
- $ D\,a^x = D\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x = D\,e^{\ln a \cdot x} = e^{\ln a \cdot x} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a $
- $ D\,x^a = D\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = D\,e^{ a \cdot \ln x } = e^{a \cdot \ln x} \cdot a \cdot \displaystyle \frac{1}{x} = x^a \cdot a \cdot x^{-1} = ax^{a-1}$
Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen $y= f \bigl( g(h(x))\bigr)$ har derivatan
$$y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\,\mbox{.}$$
Exempel 4
- $ D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x =3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)$
$ \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\cdot\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x$
- $ D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot D\,\bigl((x^2 -3x)^4\bigr)$
$\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot D\,(x^2-3x)$
$\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3\cdot (2x-3) $
- $ D\,\sin^4 (x^2 -3x) = D\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4 = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot D\,\sin(x^2-3x)$
$\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x) \cdot D(x^2 -3x)$
$\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x)\cdot (2x-3)$
- $\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr) = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot D\,\sqrt{x^3-1} = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot D\,(x^3-1)$
$\displaystyle\phantom{\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{}= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}}$
Derivator av högre ordningar
Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv.
Andraderivatan brukar betecknas $f^{\,\prime\prime}$ (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc, betecknas $\,f^{\,(3)}\,$, $\,f^{\,(4)}\,$ osv.
Även beteckningarna $\,D^2 f\,$, $\,D^3 f\,$, $\,\ldots\,$ och $\,\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\,$, $\,\displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}\,$, $\,\ldots\,$ är vanliga.
Exempel 5
- $ f(x) = 3\,e^{x^2 -1}$
$ f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot D\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}$
$ f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) $
- $ y = \sin x\,\cos x$
$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}$
$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x $
- $ D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$
$ D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr)=e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x)= 2\,e^x \cos x\vphantom{\biggl(}$
$D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x) = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )$
|
