Övningar 3.3
Sommarmatte 2
Övning 3.3:1
Skriv följande tal i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal.
| a) | $(i-1)^{12}$ | b) | $\displaystyle\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,\Bigr)^{12}$ | c) | $(4\sqrt{3} -4i)^{22}$ |
| d) | $\Bigl(\displaystyle\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\,\Bigr)^{12}$ | e) | $\displaystyle\frac{(1+i\sqrt{3}\,)(1-i)^8}{(\sqrt{3}-i)^9}$ |
Övning 3.3:2
Lös ekvationerna
| a) | $z^4=1$ | b) | $z^3=-1$ | c) | $ z^5=-1-i$ |
| d) | $(z-1)^4+4=0$ | e) | $\displaystyle\Bigl(\frac{z+i}{z-i}\Bigr)^2 = -1$ |
Övning 3.3:3
Kvadratkomplettera följande uttryck
| a) | $z^2 +2z+3$ | b) | $z^2 +3iz-\frac{1}{4}$ |
| c) | $-z^2-2iz +4z+1$ | d) | $iz^2+(2+3i)z-1$ |
Övning 3.3:4
Lös ekvationerna
| a) | $z^2=i$ | b) | $z^2-4z+5=0$ |
| c) | $-z^2+2z+3=0$ | d) | $\displaystyle\frac{1}{z} + z = \frac{1}{2}$ |
Övning 3.3:5
Lös ekvationerna
| a) | $z^2-2(1+i)z+2i-1=0$ | b) | $z^2-(2-i)z+(3-i)=0$ |
| c) | $z^2-(1+3i)z-4+3i=0$ | d) | $(4+i)z^2+(1-21i)z=17$ |
Övning 3.3:6
Bestäm lösningarna till $\,z^2=1+i\,$ dels i polär form, dels i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal. Använd resultatet för att beräkna $\ \tan \frac{\pi}{8}\,$.
