Facit

Sommarmatte 2

Övning 1.1:1

a)	$f'(-4)>0, \,\,\,\, f'(1)<0$
b)	$x=-3$ och $x=2$
c)	$-3\le x \le 2$

Övning 1.1:2

a) $f'(x)=2x-3$

b) $f'(x)=-\sin x -\cos x$

c) $f'(x)=e^x-\displaystyle\frac{1}{x}$

d) $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}$

e) $f'(x)=4x(x^2-1)$

f) $f'(x)=-\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$

Övning 1.1:3

$14{,}0\,$ m/s

Övning 1.1:4

Tangentens ekvation: $\ y=2x-1$ Normalens ekvation: $\ y=-\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$

Övning 1.1:5

$\bigl(1-\sqrt2, -3+2\sqrt2\bigr)\,$ och $\,\bigl(1+\sqrt2, -3-2\sqrt2\bigr)$

Övning 1.2:1

a)	$\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$	b)	$2x\ln x+ x$	c)	$\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=1-\frac{2}{(x+1)^2}$
d)	$\displaystyle\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$	e)	$\displaystyle\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{(\ln x)^2}$	f)	$\displaystyle \frac{\ln x + 1}{\sin x}-\frac{x\ln x \cos x}{\sin^2x}$

Övning 1.2:2

a)	$\cos x^2 \cdot 2x$	b)	$e^{x^2+x}(2x+1)$	c)	$\displaystyle - \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$
d)	$\displaystyle\frac{1}{x\ln x}$	e)	$(2x+1)^3(10x+1)$	f)	$\displaystyle\frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}$

Övning 1.2:3

a)	$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$	b)	$\displaystyle - \frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}$	c)	$\displaystyle - \frac{1-2x^2}{x^2(1-x^2)^{3/2}}$
d)	$-\cos\cos\sin x \cdot \sin\sin x \cdot \cos x$	e)	$e^{\sin x^2}\cdot \cos x^2 \cdot 2x$	f)	$\displaystyle x^{\tan x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2x}+\frac{\tan x}{x}\Bigr)$

Övning 1.2:4

a)

$\displaystyle\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}$

b)

$\displaystyle - \frac{2\sin \ln x}{x}$

Övning 1.3:1

a)	Funktionen har en kritisk punkt då $x = 1$. Funktionen saknar terrasspunkt. Då $x = 1$ har funktionen som extrempunkt ett lokalt och globalt minimum. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le 0$, funktionen är strängt växande i intervallet $x\ge 0$.	b)	Funktionen har en kritisk punkt då $x = -1$ och då $x=1$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som lokala extrempunkter ett lokalt minimum då $x = -1$ och ett lokalt maximum då $x=1$. Funktionen har ett lokalt och globalt minimum i den vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt och globalt maximum i den högra ändpunkten. Funktionen är strängt växande i intervallen $x\le -1$ och $x\ge 1$, funktionen är strängt avtagande i intervallet $-1\le x\le 1$.
c)	Funktionen har kritiska punkter då $x = -2$, då $x=-1$ och då $x=1/2$. Funktionen har en terrasspunkt då $x=-1$. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt och globalt minimum då $x = -2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$, ett lokalt och globalt maximum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt minimum i den högra ändpunkten för definitionsintervallet. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -2$, strängt växande i intervallet $-2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$.	d)	Funktionen har kritiska punkter då $x = -5/2$ och då $x=1/2$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt minimum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall, ett lokalt och globalt minimum då $x = -5/2$, ett lokalt och globalt maximum då $x=-1$, ett lokalt miminum då $x=-1/2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$ och ett lokalt maximum i högra ändpunkten för funktionens definitionsintervall. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -5/2$, strängt växande i intervallet $-5/2\le x\le -3/4$, strängt avtagande i intervallet $-3/4\le x\le -1/2$, strängt växande då $-1/2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$.

Övning 1.3:2

a)	$x=1\,$ (lokal minimipunkt)	b)	$x=\frac{3}{2}\,$ (lokal maximipunkt)
c)	$x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt)	d)	lokal extrempunkt saknas

Övning 1.3:3

a)	$x=0\,$ (lokal maximipunkt)	b)	$x=-\frac{1}{3}\ln\frac{5}{3}\,$ (lokal minimipunkt)
c)	$x=1/e\,$ (lokal minimipunkt)	d)	$x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt) $x=0\,$ (lokal minimipunkt) $x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt)
e)	$x=-3\,$ (lokal minimipunkt) $x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt) $x=3\,$ (lokal maximipunkt)

Övning 1.3:4

Svar

$P = \bigl(1/\sqrt{3},2/3\bigr)$

Övning 1.3:5

Svar

$\alpha=\pi/6$

Övning 1.3:6

radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$

Övning 1.3:7

Svar

Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort.