Facit
Sommarmatte 2
Övning 1.1:1
| a) | $f'(-4)>0, \,\,\,\, f'(1)<0$ |
| b) | $x=-3$ och $x=2$ |
| c) | $-3\le x \le 2$ |
Övning 1.1:2
| a) $f'(x)=2x-3$ |
| b) $f'(x)=-\sin x -\cos x$ |
| c) $f'(x)=e^x-\displaystyle\frac{1}{x}$ |
| d) $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}$ |
| e) $f'(x)=4x(x^2-1)$ |
| f) $f'(x)=-\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ |
Övning 1.1:3
| $14{,}0\,$ m/s |
Övning 1.1:4
|
Tangentens ekvation: $\ y=2x-1$ |
Övning 1.1:5
| $\bigl(1-\sqrt2, -3+2\sqrt2\bigr)\,$ och $\,\bigl(1+\sqrt2, -3-2\sqrt2\bigr)$ |
Övning 1.2:1
| a) | $\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$ | b) | $2x\ln x+ x$ | c) | $\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=1-\frac{2}{(x+1)^2}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$ | e) | $\displaystyle\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{(\ln x)^2}$ | f) | $\displaystyle \frac{\ln x + 1}{\sin x}-\frac{x\ln x \cos x}{\sin^2x}$ |
Övning 1.2:2
| a) | $\cos x^2 \cdot 2x$ | b) | $e^{x^2+x}(2x+1)$ | c) | $\displaystyle - \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{1}{x\ln x}$ | e) | $(2x+1)^3(10x+1)$ | f) | $\displaystyle\frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}$ |
Övning 1.2:3
| a) | $\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ | b) | $\displaystyle - \frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}$ | c) | $\displaystyle - \frac{1-2x^2}{x^2(1-x^2)^{3/2}}$ |
| d) | $-\cos\cos\sin x \cdot \sin\sin x \cdot \cos x$ | e) | $e^{\sin x^2}\cdot \cos x^2 \cdot 2x$ | f) | $\displaystyle x^{\tan x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2x}+\frac{\tan x}{x}\Bigr)$ |
Övning 1.2:4
| a) | $\displaystyle\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}$ | b) | $\displaystyle - \frac{2\sin \ln x}{x}$ |
Övning 1.3:1
| a) | Funktionen har en kritisk punkt då $x = 1$. Funktionen saknar terrasspunkt. Då $x = 1$ har funktionen som extrempunkt ett lokalt och globalt minimum. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le 0$, funktionen är strängt växande i intervallet $x\ge 0$. | b) | Funktionen har en kritisk punkt då $x = -1$ och då $x=1$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som lokala extrempunkter ett lokalt minimum då $x = -1$ och ett lokalt maximum då $x=1$. Funktionen har ett lokalt och globalt minimum i den vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt och globalt maximum i den högra ändpunkten. Funktionen är strängt växande i intervallen $x\le -1$ och $x\ge 1$, funktionen är strängt avtagande i intervallet $-1\le x\le 1$. |
| c) | Funktionen har kritiska punkter då $x = -2$, då $x=-1$ och då $x=1/2$. Funktionen har en terrasspunkt då $x=-1$. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt och globalt minimum då $x = -2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$, ett lokalt och globalt maximum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt minimum i den högra ändpunkten för definitionsintervallet. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -2$, strängt växande i intervallet $-2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$. | d) | Funktionen har kritiska punkter då $x = -5/2$ och då $x=1/2$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt minimum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall, ett lokalt och globalt minimum då $x = -5/2$, ett lokalt och globalt maximum då $x=-1$, ett lokalt miminum då $x=-1/2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$ och ett lokalt maximum i högra ändpunkten för funktionens definitionsintervall. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -5/2$, strängt växande i intervallet $-5/2\le x\le -3/4$, strängt avtagande i intervallet $-3/4\le x\le -1/2$, strängt växande då $-1/2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$. |
Övning 1.3:2
| a) | $x=1\,$ (lokal minimipunkt) | b) | $x=\frac{3}{2}\,$ (lokal maximipunkt) |
| c) | $x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt) |
d) | lokal extrempunkt saknas |
Övning 1.3:3
| a) | $x=0\,$ (lokal maximipunkt) | b) | $x=-\frac{1}{3}\ln\frac{5}{3}\,$ (lokal minimipunkt) |
| c) | $x=1/e\,$ (lokal minimipunkt) | d) | $x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt) $x=0\,$ (lokal minimipunkt) $x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt) |
| e) | $x=-3\,$ (lokal minimipunkt) $x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt) $x=3\,$ (lokal maximipunkt) |
||
Övning 1.3:4
| $P = \bigl(1/\sqrt{3},2/3\bigr)$ |
Övning 1.3:5
| $\alpha=\pi/6$ |
Övning 1.3:6
| radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ |
Övning 1.3:7
| Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort. |
Övning 2.1:1
| a) | $6$ | b) | $2$ |
| c) | $2$ | d) | $\displaystyle\frac{5}{2}$ |
Övning 2.1:2
| a) | $\displaystyle\frac{44}{3}$ | b) | $\displaystyle-\frac{9}{2}$ |
| c) | $\displaystyle\frac{32}{3}$ | d) | $1$ |
Övning 2.1:3
| a) | $-\cos x + C$ | b) | $\displaystyle-\frac{\cos 2x}{2}+C$ |
| c) | $\displaystyle\frac{e^{3x}}{3}+\frac{e^{2x}}{2}+C$ | d) | $\displaystyle\frac{x^2}{2}+\ln x + C$ |
Övning 2.1:4
| a) $3-\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}$ a.e. |
| b) $\displaystyle 4.\sqrt{3}$ a.e. |
| c) $32$ a.e. |
| d) $\sqrt{2}-1-\ln(\sqrt{2}-1)\,$ a.e. |
| e) $\displaystyle\frac{9}{2}$ a.e. |
Övning 2.1:5
| a) $\displaystyle\frac{2}{27}\left((x+9)\sqrt{x+9}+x\sqrt{x}\right)+C$ |
| b) $-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$ |
Övning 2.2:1
| a) | $\displaystyle\frac{13}{1000}$ |
| b) | $\displaystyle\frac{(x^2+3)^6}{12}+C$ |
| c) | $\displaystyle\frac{1}{3}e^{\scriptstyle x^3}+C$ |
Övning 2.2:2
| a) | $0$ | b) | $\displaystyle\frac{1}{2}(e^4-e^3)$ |
| c) | $14$ | d) | $\displaystyle\frac{3}{4}$ |
Övning 2.2:3
| a) | $-\cos x^2+C$ | b) | $\displaystyle\frac{\sin^2x}{2}+C$ |
| c) | $\frac{1}{2}(\ln x)^2+C$ | d) | $\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2x+2\right)+C$ |
| e) | $\displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C$ | f) | $-2\cos\sqrt{x}+C$ |
Övning 2.2:4
| a) | $\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C$ | b) | $\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt3}\right)+C$ |
| c) | $\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right)+C$ | d) | $x-\arctan x + C$ |
