1.3 Max- och minproblem

Övningar

Växande och avtagande

Begreppen växande och avtagande känns kanske självklara när man pratar om matematiska funktioner; om funktionen är växande så lutar grafen uppåt och vice versa.

De matematiska definitionerna är följande:

En funktion är växande i ett intervall om för alla $x$ inom intervallet gäller att

$$x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$$

En funktion är avtagande i ett intervall om för alla $x$ inom intervallet gäller att $$x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)$$

Med vardagligt språk säger alltså definitionen av t.ex. växande funktion att för ett x-värde till höger på x-axeln är funktionsvärdet minst lika stort som för ett x-värde till vänster. Lägg märke till att denna definition innebär att en funktion kan vara konstant i ett intervall och ändå vara växande eller avtagande. En funktion som är konstant i hela det aktuella intervallet är enligt definitionen både växande och avtagande.

En strängare definition av växande/avtagande är följande:

En funktion är strängt växande i ett intervall om för alla $x$ inom intervallet gäller att

$$x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) < f(x_2)$$

En funktion är strängt avtagande i ett intervall om för alla $x$ inom intervallet gäller att

$$x_1 < x_2 \rightarrow f(x_1) > f(x_2)$$

(En strängt växande/avtagande funktion får alltså inte vara konstant i någon del av intervallet.)

Exempel 1

$y= f(x)$ är växande i intervallet $0 \le x \le 10$.

Funktionen $y=-x^3$ är en strängt avtagande funktion.

$y=x^2$ är strängt växande för $x \ge 0$.

Derivatan kan givetvis användas för att undersöka om en funktion är växande eller avtagande. Vi har ju att $$ f'(x) > 0 \quad \rightarrow \quad f(x) \mbox{ är (strängt) växande.}$$ $$ f'(x) < 0 \quad \rightarrow \quad f(x) \mbox{ är (strängt) avtagande.}$$

Observera att även enstaka punkter där $f'(x) = 0$ kan ingå i ett strängt växande eller avtagande intervall.

Kritiska punkter

Punkter där $f'(x) = 0$ kallas kritiska (eller stationära) punkter och kan vara av tre olika slag:

Funktionen ovan har en lokal minimipunkt för $x = -2$, terrasspunkt för $x = 0$ och lokal maximipunkt för $x = 2$.

Teckentabell

Genom att studera derivatans tecken (+, – eller 0) kan vi alltså få en bra uppfattning om kurvans utseende.

Detta utnyttjar man i en s.k. teckentabell. Man bestämmer först de x-värden där $f'(x) =0$ och beräknar sedan derivatans tecken på båda sidor om dessa. Med hjälp av en eller annan ”stödpunkt” på kurvan kan man dessutom utifrån teckentabellen skissera kurvan på ett ofta godtagbart sätt.

Exempel 2

Gör en teckentabell över funktionen $f(x) = x^3 -12x + 6$ och skissera därefter funktionens graf.

Lösning

$f'(x) = 3x^2 -12$

$f'(x) = 0 \quad \rightarrow \quad 3x^2 = 12 \quad \rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \rightarrow \quad x= \pm 2$

Teckentabell:

$x$		$-2$		$2$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$\rightarrow$	$\searrow$	$\rightarrow$	$\nearrow$

$f(-2) = 22$

$f(2) = -10$

$f(x)$ har en lokal max.punkt i $(–2, 22)$ och en lokal min.punkt i $(2, –10)$. Grafen kan nu skissas:

Max- och min-punkter (extrempunkter)

Punkter där en funktion antar sitt största eller minsta värde i jämförelse med omgivningen kallas för lokala maximi- eller minimipunkter (förkortas ofta max- och min-punkter). Med ett gemensamt namn kallas dessa punkter för extrempunkter.

En extrempunkt kan uppträda i tre olika slags punkter:

• i en kritisk punkt $(\, f'(x)=0 \,)$
• i en punkt där derivatan inte existerar (s.k. singulär punkt).
• i en ändpunkt till definitionsmängden.

Exempel 3

Funktionen nedan har fyra extrempunkter; max-punkter i $c$ och $e$ och min-punkter i $a$ och $d$.

I $a$, $b$ och $d$ är $f'(x) =0$ , men det är endast i $a$ och $d$ som vi har extrempunkter, eftersom $b$ är en terrasspunkt.

I $c$ är inte derivatan definierad (eftersom det är en spets, eller hörn, på kurvan och lutningen inte går att bestämma). Punkten $e$ är en ändpunkt.

När man letar efter extrempunkter hos en funktion gäller det alltså att ta reda på och undersöka alla tänkbara kandidater av punkter. En lämplig arbetsgång är:

1. Derivera funktionen
2. Kontrollera om det finns några punkter där $f'(x)$ inte är definierad.
3. Bestäm alla punkter där $f'(x) = 0$.
4. Gör en teckentabell för att få fram alla extrempunkter.
5. Beräkna funktionsvärdet i alla extrempunkter, samt i ev. ändpunkter.

Exempel 5

Bestäm alla extrempunkter på kurvan $y= x - x^{\frac{2}{3}}$

Lösning

$y' = 1 - \displaystyle \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = 1- \displaystyle \frac {2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \quad \quad \quad y'$ är alltså inte definierad för $x = 0$ (vilket dock $y$ är).

$ y'=0 \quad \rightarrow \quad 1= \displaystyle \frac {2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \quad \rightarrow \quad \sqrt[3]{x} = \displaystyle \frac {2}{3} \quad \rightarrow \quad x = \left( \displaystyle \frac {2}{3} \right)^3 = \displaystyle \frac {8}{27}$

Teckentabell:

$x$		$0$		$\frac{8}{27}$
$y'$	$+$	$ ej def.$	$-$	$0$	$+$
$y$	$\nearrow$		$\searrow$	$\rightarrow$	$\nearrow$

$y(0)=0$ $y(\frac{8}{27}) = -\frac{4}{27}$

Kurvan har alltså en max-punkt i $(0, 0)$ (en spets) och en min-punkt i $( \frac{8}{27} , -\frac{4}{27})$.

Absolut max/min

En funktion har ett absolut (eller globalt) maximum (minimum) i en punkt om funktionsvärdet inte är större (mindre) i någon annan punkt i hela definitionsmängden. Ofta kallar man också detta för funktionens största (minsta) värde.

För att bestämma en funktions absoluta max. eller min. så måste man alltså hitta alla extrempunkter och beräkna funktionsvärdena i dessa. Om definitionsmängden har ändpunkter måste man givetvis också undersöka funktionens värde i dessa punkter.

Observera att en funktion kan sakna såväl absolut max. som absolut min. Notera också att en funktion kan ha flera lokala extrempunkter utan att ha ett globalt max. eller min.

I tillämpningar ger omständigheterna ofta en begränsad definitionsmängd, dvs. man betraktar endast en del av funktionens graf. Man måste därför vara vaksam på att ett globalt max. eller min. mycket väl kan ligga i intervallets ändpunkter.

Funktionen ovan betraktas endast i intervallet $a\le x \le e$. Vi ser att funktionens minsta värde i detta intervall inträffar i $x=b$ , medan största värdet återfinns i ändpunkten $x=e$.

Exempel 7

Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x) = x^3 -3x + 2$ i intervallet $-0{,}5 \le x \le 1$.

Lösning

$f'(x) = 3x^2 -3$

$f'(x) = 0 \quad \rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \rightarrow \quad x= \pm 1 $

$x = –1$ ligger dock utanför den aktuella definitionsmängden och $x = 1$ sammanfaller med definitionsmängdens ena ändpunkt, varför största och minsta värde för $f(x)$ måste finnas i intervallets ändpunkter.

$f(-0{,}5) = 3{,}375$

$f(1)=0$

Funktionens största värde i det givna intervallet är alltså $3{,}375$. Minsta värdet är $0$ (se fig.)

Figuren visar funktionens hela graf streckad, med den del som ligger inom det givna intervallet heldragen.

Andraderivatan

Tecknet på derivatan av en funktion ger oss information om huruvida funktionen är växande eller avtagande. På samma sätt kan andraderivatans tecken visa om förstaderivatan är växande eller avtagande. Detta kan man bl.a. utnyttja för att ta reda på om en given extrempunkt är en max-, eller min-punkt.

Om $f(x)$ har en max-punkt, där $f'(x)=0$ :

Om $f(x)$ har en min-punkt, där $f'(x)= 0$:

Om $f{'}{'}(x)=0$, får vi ingen information utan ytterligare undersökning krävs, t.ex. teckentabell.