Inledning
När man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.
Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde ($\,y\,$) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet ($\,x\,$).
Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{skillnad i y-led}}{\text{skillnad i x-led}}$$
Exempel 1
De linjära funktionerna $\,f(x)=x\,$ respektive $\,g(x)=-2x\,$ förändras på samma sätt hela tiden. Deras förändringsgrad är $\,1\,$ resp. $\,−2\,$, vilket vi känner till som linjernas respektive riktningskoefficient.
För en linjär funktion gäller alltså att funktionens förändringsgrad är samma som linjens riktningskoefficient.
Om man har en funktion där funktionsvärdet förändras med tiden är det naturligt att använda begreppet förändringshastighet, eftersom förändringsgraden här anger hur funktionsvärdet ändras per tidsenhet.
Om en bil rör sig med hastigheten 80 km/h så kan den tillryggalagda sträckan, s km, efter t timmar beskrivas med funktionen $\,s(t)=80 t\,$.
Funktionens förändringsgrad anger hur funktionsvärdet ändras per timme, vilket naturligtvis är detsamma som bilens hastighet, 80 km/h.
För icke-linjära funktioner gäller ju att lutningen på funktionskurvan ändras hela tiden och därmed också funktionens förändringsgrad. För att bestämma hur en sådan funktion förändras kan vi antingen ange funktionens genomsnittliga förändring (medelförändringen) mellan två punkter på funktionskurvan, eller den momentana förändringsgraden i en punkt på kurvan.
Exempel 2
För funktionen $\,f(x)=4x-x^2\,$ är $\,f(1)=3\,$, $\,f(2)=4\,$ och $\,f(4)=0\,$.
- Medelförändringen (medellutningen) från $\,x = 1\,$ till $\,x = 2\,$ är
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}$$
och funktionen ökar i detta intervall.
- Medelförändringen från $\,x = 2\,$ till $\,x = 4\,$ är
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}$$
och funktionen avtar i detta intervall.
- Mellan $\,x = 1\,$ och $\,x = 4\,$ är medelförändringen
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(1)}{4-1}= \frac{0-3}{3}=-1\,\mbox{.}$$
I genomsnitt är funktionen avtagande i detta intervall, även om funktionen både växer och avtar i intervallet.
Derivatans definition
För att beräkna den momentana förändringsgraden hos en funktion, dvs. funktionskurvans lutning i en punkt $\,P\,$, tar vi temporärt hjälp av ytterligare en punkt $\,Q\,$ i närheten av $\,P\,$ och bildar ändringskvoten mellan $\,P\,$ och $\,Q\,$:
Derivatans definition:
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Om vi låter $\,Q\,$ närma sig $\,P\,$ (dvs. låter $\,h \rightarrow 0\,$) så kan vi lista ut vad värdet blir om punkterna sammanfaller och därmed få fram lutningen i punkten $\,P\,$. Vi kallar detta värde för derivatan av $\,f(x)\,$ i punkten $\,P\,$, vilket kan tolkas som den momentana förändringsgraden av $\,f(x)\,$ i punkten $\,P\,$.
Derivatan av en funktion $\,f(x)\,$ betecknas $\,f^{\,\prime}(x)\,$ och kan formellt definieras så här:
Derivatan av en funktion $\,f(x)\,$, definieras som
$$f^{\,\prime}(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,.$$
Om $\,f^{\,\prime}(x_0)\,$ existerar, säger man att $\,f(x)\,$ är deriverbar i punkten $\,x=x_0\,$.
Olika symboler för derivatan förekommer, t.ex.
| Funktion
| Derivata
|
| $f(x)$
| $f^{\,\prime}(x)$
|
| $y$
| $y^{\,\prime}$
|
| $y$
| $Dy$
|
| $y$
| $\displaystyle\frac{dy}{dx}$
|
| $s(t)$
| $\dot s(t)$
|
Derivatans tecken
Derivatans tecken (+/−) visar oss om funktionens graf lutar uppåt eller nedåt, dvs. om funktionen är växande eller avtagande:
- $f^{\,\prime}(x)>0\,$ (positiv lutning) medför att $\,f(x)\,$ är växande.
- $f^{\,\prime}(x)<0\,$ (negativ lutning) medför att $\,f(x)\,$ är avtagande.
- $f^{\,\prime}(x)=0\,$ (ingen lutning) medför att $\,f(x)\,$ är stationär (horisontell).
Exempel 3
- $f(2)=3\ $ betyder att funktionens värde är $\,3\,$ när $\,x=2\,$.
- $f^{\,\prime}(2)=3\ $ betyder att derivatans värde är $\,3\,$ när $\,x=2\,$, vilket i sin tur betyder att funktionens graf har lutningen $\,3\,$ när $\,x=2\,$.
Exempel 4
I figuren kan man utläsa att
|
|
$\displaystyle\eqalign{f^{\,\prime}(a) &> 0\cr f(b) &= 0\cr f^{\,\prime}(c) &= 0\cr f(d) &= 0\cr f^{\,\prime}(e) &= 0\cr f(e) &< 0\cr f^{\,\prime}(g) &> 0} $
|
|
|
Notera betydelsen av $\,f(x)\,$ respektive $\,f^{\,\prime}(x)\,$.
Exempel 5
Temperaturen i en termos beskrivs av en funktion, där $\,T(t)\,$ är temperaturen i termosen efter $\,t\,$ minuter. Skriv följande med matematiska symboler:
- Efter 10 minuter är temperaturen 80°.
$T(10)=80$
- Efter 2 minuter sjunker temperaturen i termosen med 3° per minut.
$T'(2)=-3\,$ (funktionen är avtagande, varför derivatan är negativ)
Exempel 6
Funktionen $\,f(x)=|x|\,$ saknar derivata då $\,x=0\,$. Man kan nämligen inte bestämma hur funktionens graf lutar i punkten $\,(0,0)\,$ (se figuren nedan).
Man kan uttrycka detta på exempelvis något av följande sätt: "$\,f^{\,\prime}(0)\,$ existerar inte" , "$\,f^{\,\prime}(0)\,$ är ej definerad" eller "$\,f(x)\,$ är inte deriverbar i $\,x=0\,$".
Deriveringsregler
Med hjälp av derivatans definition kan man bestämma derivatan för de vanliga funktionstyperna.
Exempel 1
Om $\,f(x)=x^2\,$ så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten
$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}$$
Om vi sedan låter $\,h\,$ gå mot noll så ser vi att lutningen i punkten blir $\,2x\,$. Vi har därmed visat att lutningen i en godtycklig punkt på kurvan $\,y=x^2\,$ är $\,2x\,$, dvs. derivatan av $\,x^2\,$ är $\,2x\,$.
På liknande sätt kan man härleda allmänna deriveringsregler:
| Funktion
| Derivata
|
| $x^n$
| $n \cdot x^{n-1}$
|
| $\ln x$
| $1/x$
|
| $e^x$
| $e^x$
|
| $\sin x$
| $\cos x$
|
| $\cos x$
| $-\sin x$
|
| $\tan x$
| $1/\cos^2 x$
|
Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att
$$D(f(x) +g(x))= f'(x) + g'(x)\,\mbox{.}$$
Samt, om k är en konstant, att
$$D(k \cdot f(x)) = k \cdot f'(x)\,\mbox{.}$$
Exempel 2
- $D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 6x^2 - 4 + 0 - \cos x$
- $ y= 3 \ln x + 2e^x \quad$ ger att $\,\displaystyle y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x$
- $\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl({\textstyle\frac{3}{5}}x^2 - {\textstyle\frac{1}{2}}x^3\bigr)= {\textstyle\frac{3}{5}}\cdot 2x - {\\textstyle\frac{1}{2}}\cdot 3x^2= {\textstyle\frac{6}{5}}x - {\textstyle\frac{3}{2}}x^2$
- $\displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad$ ger att $\displaystyle s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at$
Exempel 3
- $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad$ ger att $\displaystyle f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
- $\displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \frac{1}{3} \cdot x^{-2} \quad$ ger att $\displaystyle f'(x) = {\textstyle\frac{1}{3}}\cdot(-2)x^{-3} = -\frac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3} $
- $\displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad$ ger att $g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$
- $\displaystyle y = \left( x^2 + \frac{1}{x} \right)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x} \right)^2 = x^4 + 2x + x^{-2} \quad$
$\qquad\quad$ ger att $\displaystyle y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}$
Exempel 4
Funktionen $\,f(x)=x^2 + x^{-2}\,$ har derivatan $\displaystyle \,f'(x) = 2x^1 -2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}$. Detta betyder att
- $\displaystyle f'(2) = 2\cdot 2 - \frac{2}{2^3}= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$
- $\displaystyle f'(-1) = 2 \cdot (-1) - \frac{2}{(-1)^3} = -2 + 2 = 0$
- $ f'(0) =$ ej def.
Exempel 5
Ett föremål rör sig enligt $\,s(t) = t^3 -4t^2 +5t\,$, där $\,s(t)\,$ km är avståndet från startpunkten efter $\,t\,$ timmar. Beräkna $\,s'(3)\,$ och förklara vad värdet står för.
Tidsderivatan ges av
$$s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad\text{vilket ger att}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8\,\mbox{.}$$
Detta kan tolkas som att efter 3 timmar är föremålets hastighet 8 km/h.
Exempel 6
Totalkostnaden $\,T\,$ kr för tillverkning av $\,x\,$ gummidräkter ges av funktionen
$$ T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2 \quad \text{för} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}$$
Beräkna och förklara
- $T(120)$
$T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104$
Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr.
- $T'(120)$
$T'(x)= 370 - 0{,}18x$
$T'(120) = 370 - 0{,}18 \cdot 120 \approx 348$
Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.
Tangenter och normaler
En tangent till en kurva är en rät linje som tangerar kurvan.
En normal till en kurva är en rät linje som är vinkelrät mot kurvan i en viss punkt på kurvan (och därmed också vinkelrät mot kurvans tangent i denna punkt).
För vinkelräta linjer gäller att produkten av deras riktningskoefficienter är $\,–1\,$, dvs. om tangentens riktningskoefficient betecknas $\,k_T\,$ och normalens $\,k_N\,$ så är $\,k_T \cdot k_N = -1\,$. Eftersom vi kan bestämma lutningen på en kurva med hjälp av derivatan så kan vi också bestämma ekvationen för en tangent eller normal om vi känner till funktionsuttrycket för kurvan.
Exempel 7
Bestäm ekvationen för tangenten respektive normalen till kurvan $\,y=x^2 + 1\,$ i punkten $\,(1,2)\,$.
Lösning
Tangentens ekvation är $\,y = kx + m\,$, där $\,k= y'(1)\,$.
$y' = 2x\,,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2\,$.
Eftersom linjen också passerar punkten $\,(1,2)\,$ har vi att
$2 = 2 \cdot 1 + m \quad \rightarrow \quad m = 0\,$.
Tangentens ekvation är alltså $\,y=2x\,$.
Riktningskoefficienten för normalen är $\displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}$ .
Normalen går också genom punkten $\,(1, 2)\,$ , dvs.
$2= -\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1 + m \quad \rightarrow \quad m = \displaystyle \frac{5}{2}\,$.
Normalen har ekvationen $\,y= -\displaystyle \frac{x}{2} + \displaystyle \frac{5}{2} = \displaystyle \frac{5-x}{2}\,$.
Exempel 8
Kurvan $\,y = 2 \, e^x - 3x\,$ har en tangent vars riktningskoefficient är $\,–1\,$. Bestäm tangeringspunkten.
Lösning
$y' = 2 \, e^x -3$
$ y' = -1 \quad \rightarrow \quad 2 \, e^x = 2 \quad \rightarrow \quad x=0$
$ y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2 $
Tangeringspunkten är $\,(0,2)\,$.
|
|
